1. Determine os possíveis valores de a , b e c que tornam continuas as funções abaixo e esboce seus gráficos.

f x = x 2 - 4 x - 2 ,   s e   x < 2 a x 2 - b x + 3 ,   s e   2 ≤ x < 3 2 x - a + b ,   s e   x ≥ 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar de uma coisinha:

Para a função ser continua, os seus limites laterais tem que ser iguais entre si e iguais à função no ponto, ou seja,

f k = lim x → k + ⁡ f x = lim x → k - ⁡ f x

Onde k , neste caso, são justamente pontos onde a função muda de comportamento.

Agora repara que os pontos x = 2 e x = 3 são, justamente, os pontos em que a função muda de comportamente.

(Nos outros pontos não precisamos analisar, porque as 3 funções são polinomiais e funções polinomiais são contínuas. A primeira só é descontínua em x = 2 , que zera o denominador, mas esse já é um dos pontos que a gente vai olhar).

Em outras palavras, vamos ter que avaliar esses limites laterais para encontrar quem é a e b .

Passo 2

Começando por lim x → 2 ⁡ f x .

Para valores menores que 2 , a função tem esse comportamento x 2 - 4 x - 2 . Então vamos fazer,

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 x - 2 = 0 0

Repara que caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Mas a gente consegue resolver, reescrevendo o nosso numerador assim:

lim x → 2 - ⁡ x 2 - 4 x - 2 = lim x → 2 - ⁡ x - 2 x + 2 x - 2 = lim x → 2 - ⁡ x + 2 = 4

Fica ligado, porque várias vezes a fatoração de polinômios é o que resolve as indeterminações.

Agora vamos olhar para valores maiores que 2 , onde a função terá esse comportamento   a x 2 - b x + 3 . Logo,

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ a x 2 - b x + 3 = 4 a - 2 b + 3

Para função ser continua, precisamos que os limites laterais sejam iguais

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ f x

Podemos dizer que,

4 = 4 a - 2 b + 3

4 a - 2 b = 1

Opaaa, temos uma equação e duas icognitas! Então vamos avaliar a próxima condição para montar esse sistema.

Passo 3

Fazendo agora lim x → 3 ⁡ f x .

Temos que para valores menores que 3 , a função tem esse comportamento a x 2 - b x + 3 . Então vamos fazer,

lim x → 3 - ⁡ f x = lim x → 3 - ⁡ a x 2 - b x + 3 = 9 a - 3 b + 3

Agora vamos olhar para valores maiores que 3 , onde a função terá esse comportamento 2 x - a + b . Logo,

lim x → 3 + ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ 2 x - a + b = 6 - a + b

E para função ser continua precisamos que os limites laterais sejam iguais

lim x → 3 - ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ f x

Podemos dizer que,

9 a - 3 b + 3 = 6 - a + b

10 a - 4 b = 3

Agora vamos montar o sistema!

Passo 4

Juntando as duas informações temos que

4 a - 2 b = 1 10 a - 4 b = 3

Isolando a da primeira linha, ficamos com

a = 1 + 2 b 4

Substituindo na segunda linha, ficamos com

10 1 + 2 b 4 - 4 b = 3

5 2 + 5 b - 4 b = 3

b = 3 - 5 2 = 1 2

Logo,

a = 1 + 2 b 4 = 1 + 2 1 2 4 = 1 2

Resposta

a = 1 2

b = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )