Questão 2:

Para quais valores de c a função abaixo é contínua em - ∞ ,   ∞ ?

f x = c 2 x 2 + 2 x                       s e                       x < 2 x 3 - c x                                 s e                       x ≥ 2

Passo 1

Primeiro eu quero que você entenda o porquê que vamos avaliar a continuidade em 2 e não em outro lugar.

E o motivo é que o x = 2 é o ponto onde a função f x muda de expressão: a direita de x = 2 ela é x 3 - c x enquanto que a esquerda, por exemplo, no x = 1,99 , a função é c 2 x 2 + 2 x .

Beleza?

Passo 2

Show, então o que diz a condição de continuidade?

Diz que para uma função ser contínua a função deve existir e, além disso, os limites laterais devem existir.

Então se tendermos o x pela direita, a função tem que ser igual ao limite tendendo para a esquerda...

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ f x

Portanto...

lim x → 2 + ⁡ x 3 - c x = lim x → 2 - ⁡ c 2 x 2 + 2 x

Calculando cada um desses limites separados...

Passo 3

E começando por...

lim x → 2 + ⁡ x 3 - c x

Basta substituir o 2 ma função...

lim x → 2 + ⁡ 2 3 - c 2 = 8 - 2 c

Para o outro limite...

lim x → 2 - ⁡ c 2 x 2 + 2 x = lim x → 2 - ⁡ c 2 2 2 + 2 2 =

4 c 2 + 4

Passo 4

Igualando essas duas coisas...

lim x → 2 + ⁡ x 3 - c x = lim x → 2 - ⁡ c 2 x 2 + 2 x

8 - 2 c = 4 c 2 + 4

Passando tudo para um lado...

4 c 2 + 2 c - 4 = 0

Resolvendo a equação por Báskara...

c = - 2 ± 4 - 4 4 - 4 8

c = - 2 ± 68 8

c = - 2 ± 4 ⋅ 17 8 = - 2 ± 2 17 8                       →                   c 1 = - 1 + 17 4 c 2 = - 1 - 17 4

Então, se c for qualquer um desses dois valores a função é contínua em 2 (já que a função também existe em 2 ).

Resposta

c 1 = - 1 + 17 4 c 2 = - 1 - 17 4

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )