Considere f definida por:

f x = x 2 - 9 x + 3 s e   x > - 3 4 s e   x = - 3 x 2 + a s e   x < - 3

  1. Determine a tal que lim x → - 3 - ⁡ f x = f - 3
  2. Para o valor de a calculado no item anterior, f é contínua em x = - 3 ?
  3. Calcule lim n → ∞ ⁡ f - 3 + 1 n , se existir

Passo 1

a )

Vamos começar calculando o limite lateral dessa função e ver quando vai dar

lim x → - 3 - ⁡ f x = lim x → - 3 - ⁡ x 2 + a = - 3 2 + a = 9 + a

Ele quer que isso seja igual a f - 3 = 4 então vamos ter

9 + a = 4

a = 4 - 9

a = - 5

Passo 2

b )

Para sabermos se a função é continua devemos achar o limite lateral pela direita dessa função e ver se ele vai ser igual ao que achamos no passo 1

lim x → - 3 + ⁡ f x = lim x → - 3 + ⁡ x 2 - 9 x + 3 = - 3 2 - 9 - 3 + 3 = 9 - 9 - 3 + 3 = 0 0

Isso deu uma indeterminação, vamos fazer um algebrismo para tentar resolver isso

x 2 - 9 x + 3 = x - 3 x + 3 x + 3 = x - 3

Assim é mais fácil fazer o limite, vamos ter

lim x → - 3 + ⁡ f x = lim x → - 3 + ⁡ x - 3 = - 3 - 3 = - 6

Como o limite lateral pela direita é - 6 e o limite lateral pela esquerda é 4 eles são diferentes, então não existe o limite, e com isso a função não é contínua.

Passo 3

c )

Vamos achar o limite usando as propriedades de limite

lim n → ∞ ⁡ f - 3 + 1 n = f lim n → ∞ ⁡ - 3 + 1 n = f - 3 + 1 ∞ = f - 3

Aqui vai ter um problema sério, quando estamos pegando o limite, esse limite deu igual ao limite de f x quando x → 3 , como essa função é descontínua como vamos fazer? Repara que - 3 + 1 n → - 3 + ele se aproxima de - 3 sempre positivamente, então na verdade

lim n → ∞ ⁡ f - 3 + 1 n = lim x → - 3 + ⁡ f x

E esse limite lateral já foi calculado, vamos ter

lim n → ∞ ⁡ f - 3 + 1 n = lim x → - 3 + ⁡ f x = - 6

lim n → ∞ ⁡ f - 3 + 1 n = - 6

Resposta

  1. a = - 5
  2. Não, f não é contínua
  3. - 6

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )