Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

d) f : ℝ → ℝ dada por

Passo 1

Olá pessoal lindo do Responde Aí, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos começar?

A nossa questão deseja que esbocemos o gráfico da função f ( x )   e além disso, faça a verificação se essa função é contínua ou não em relação ao seu domínio. Bom, a nossa função f é uma função com domínio e imagem no conjunto dos números reais. Não só mas também, a função f ( x ) é uma função por partes, ou seja, para cada intervalo no domínio a função muda de “cara”. E agora?? Como fazemos o gráfico??

Como a função é definida por partes, iremos também fazer o esboço do gráfico por partes.

Passo 2

Como vocês já pensaram em alguns jeitos de construir o gráfico da função, vamos para a estratégia que eu pensei. Particularmente gosto de fazer o uso de uma tabela para nos auxiliar com os valores do gráfico, bora lá!!!

Primeiro para o intervalo onde x   < 2 : Trata-se de uma função do primeiro grau, ou seja, é do tipo f ( x )   = a x   +   b .

A função em questão é: f ( x )   =   2 x + 7

Lembrando que não há uma regra específica de que valores precisamos colocar na tabela, basicamente coloco valores aleatórios apenas para ter noção de como se comporta o gráfico. E que o gráfico dessa questão trata-se também de uma função modular, logo não haverá imagens negativas para esse intervalo.

Construindo o gráfico…

Passo 3

Agora iremos fazer o mesmo passo a passo anterior.

Segundo para o intervalo onde x   =   2   . Trata-se de uma função constante.

A função em questão é: f ( x )   =   10,999999

Passo 4

E por fim, seguiremos fazendo o mesmo passo a passo só que agora para o intervalo x   >   2 . Trata-se de uma função do segundo grau, ou seja, é do tipo f ( x )   = a x ² + b x   + c .

A função em questão é: f ( x )   =   x ² + 2 x + 3

E o esboço para esse intervalo será:

Passo 5

Assim, o gráfico final fica com essa aparência:

Passo 6

E em relação a continuidade? Vocês acham que essa função é contínua ou não???

Uma função f é contínua num ponto a de seu domínio quando l i m x → a =   f ( a ) . Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua.

Assim, sabemos que o domínio de f são os números reais e pelo gráfico esboçado no passo anterior, vemos que para cada ponto do domínio de f existe um l i m x → a =   f ( a ) . Até mesmo quando o x   =   2 , temos que a função f ( x ) se aproxima do valor 11 por ambos os lados. Portanto, a função f é contínua.

Resposta

Resolução nos passos acima

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )