Questão 2 - Seja f : R → R , definida por

f x = s e n a x 5 x - 1 , s e   x < 0 x 2 - 4 x + 3 x - 1 , s e   0 ≤ x < 1 b , s e   x = 1 x c x - 1 s e   x > 1

Determine o valor das constantes reais a , b e c que tornam f contínua em todo R .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos uma função que é definida em quatro partes diferentes. Se x < 0 , a função se comporta como s e n a x 5 x - 1 , se 0 ≤ x < 1 a função se comporta como x 2 - 4 x + 3 x - 1 , se x = 1 a função é igual a b e se x > 1 a função se comporta como x c x - 1 .

Nosso objetivo é determinar os valores de a , b e c de modo que a função f x seja constante para qualquer valor R .

O que podemos fazer nesse caso?? 🤔

Para a função ser contínua o que deve acontecer é que quando acontecer as mudanças de comportamento que vimos anteriormente não pode haver uma descontinuidade no gráfico de f x , ou seja, o comportamento posterior de uma mudança deve dar continuidade no comportamento anterior.

De forma mais matemática dizemos que o limite de uma função infinitesimalmente antes da mudança deve igual ao limite da outra função infinitesimalmente depois da mudança.

Sacou? Bora ver na prática? 😁

Passo 2

Vamos chamar f x de

f x = g x , s e   x < 0 h x , s e   0 ≤ x < 1 p x , s e   x = 1 q x s e   x > 1

A primeira mudança ocorre em x = 0 , então

lim x → 0 - ⁡ g x = lim x → 0 + ⁡ h x

Se g x = s e n a x 5 x - 1 e h x = x 2 - 4 x + 3 x - 1

Calculando o limite de g x pelo método de substituição, temos

lim x → 0 - ⁡ s e n a x 5 x - 1 = s e n a 0 5 0 - 1 = 0 0

Caímos em uma indeterminação, então temos que usar algum método para sair desse problema.

Aplicando L’Hopital, derivando em cima e em baixo, temos

lim x → 0 - ⁡ d s e n a x d x d 5 x - 1 d x

Pela regra da cadeia d s e n a x d x é obtido pelo produto da derivada de dentro e da derivada de fora

d s e n a x d x = d a x d x · d s e n u d u

d s e n a x d x = a · cos ⁡ u

Voltando u para a x ...

d s e n a x d x = a cos ⁡ a x

Já a derivada d 5 x - 1 d x é obtido por uma regra de derivação que diz que d α x d x = α x ln ⁡ α , onde α é uma constante.

d 5 x - 1 d x = 5 x ln ⁡ 5 - 1 0 = 5 x ln ⁡ 5

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Substituindo os resultados no limite

lim x → 0 - ⁡ a cos ⁡ a x 5 x ln ⁡ 5

Agora sim substituindo x por 0 , vamos obter

lim x → 0 - ⁡ a cos ⁡ a 0 5 0 ln ⁡ 5 = a ln ⁡ 5

Com isso, vemos que quando x se aproxima de 0 pela esquerda, a função f x tende a a ln ⁡ 5 .

Agora calculando o limite de h x substituindo x por 0 , temos

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 4 x + 3 x - 1 = 0 2 - 4 0 + 3 0 - 1 = 3 - 1

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 4 x + 3 x - 1 = 3

Então se lim x → 0 - ⁡ g x = lim x → 0 + ⁡ h x

a ln ⁡ 5 = 3

a = 3 ln ⁡ 5

Assim, vemos que a deve ser igual a 3 ln ⁡ 5 para que a primeira mudança de comportamento seja contínua!

Bacana, não é? 😉

Passo 4

A próxima mudança acontece em x = 1 , infinitesimalmente antes f x assume comportamento h x e em x = 1 f x = p x .

Aplicando o mesmo método dos limites das funções, temos que

lim x → 1 - ⁡ h x = lim x → 1 ⁡ p x

Se h x = x 2 - 4 x + 3 x - 1 e p x = b .

Calculando o limite de h x pelo método de substituição

lim x → 1 - ⁡ x 2 - 4 x + 3 x - 1 = 1 2 - 4 1 + 3 1 - 1 = 0 0

Caímos em outra indeterminação e como temos um modulo no denominador, a aplicação de L’Hopital não é tão simples.

Fatorando o numerador da função, vamos ter

lim x → 1 - ⁡ x - 1 x - 3 x - 1

Como o x tende a um número negativo e menor que 1 , podemos reescrever o módulo como - x - 1 , concorda?

lim x → 1 - ⁡ x - 1 x - 3 - x - 1 = lim x → 1 - ⁡ - x - 3

Substituindo x por 1 agora, vamos obter

lim x → 1 - ⁡ - x - 3 = 2

Já no limite de p x , temos

lim x → 1 ⁡ b

Pelas propriedades dos limites, sabemos que o limite de uma constante é igual a própria constante

lim x → 1 ⁡ b = b

Portanto, se lim x → 1 - ⁡ h x = lim x → 1 ⁡ p x , então

2 = b

Com isso, para haver continuidade na segunda mudança de comportamento, b deve ser igual a 2 .

Está acompanhando? 👍

Passo 5

Por fim, na última mudança de comportamento que também ocorre em x = 1 , temos que

lim x → 1 ⁡ p x = lim x → 1 + ⁡ q x

Já temos o resultado de

lim x → 1 ⁡ p x = 2

Então temos que forçar o limite de q x ser igual a 2

Se q x = x c x - 1

lim x → 1 + ⁡ x c x - 1 = 2

Se substituirmos x por 1 , temos

lim x → 1 + ⁡ x c x - 1 = 1 c 0

Obtemos algo sendo dividido por 0 o que não pode acontecer, então temos que arrumar uma forma de reescrever essa função de integração

Reescrevendo x como e ln ⁡ x e substituindo no limite, vamos poder aplicar L’Hopital, já que 0 0 é uma indeterminação.

lim x → 1 + ⁡ e ln ⁡ x c x - 1 = lim x → 1 + ⁡ e c ln ⁡ x x - 1

Pelas propriedades dos limites, sabemos que lim x → a ⁡ e f x = e lim x → a ⁡ f x , ou seja

lim x → 1 + ⁡ e c ln ⁡ x x - 1 = e lim x → 1 + ⁡ c ln ⁡ x x - 1

Aplicando L’Hopital em lim x → 1 + ⁡ c ln ⁡ x x - 1 temos que pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de ln ⁡ x é igual a 1 x e a derivada de x - 1 pelo método da derivação polinomial é igual a 1 , logo

e lim x → 1 + ⁡ c ln ⁡ x x - 1 = e lim x → 1 + ⁡ c 1 x 1

Agora substituindo x por 1

e lim x → 1 + ⁡ c 1 x 1 = e lim x → 1 + ⁡ c = e c

E como lim x → 1 ⁡ p x = lim x → 1 + ⁡ q x

2 = e c

Aplicando l n nos dois lados da igualdade para tirar c do exponencial, temos

ln ⁡ 2 = ln ⁡ e c

c = ln ⁡ 2

E com isso, para a função f x ser contínua em todo o domínio de R , a deve ser igual a 3 ln ⁡ 5 , b deve ser igual a 2 e c igual a ln ⁡ 2 !!

Legal, não é? 😎

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a = 3 ln ⁡ 5

b = 2

c = ln ⁡ 2

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )