Considere a função f definida pelo gráfico abaixo.

  1. Determine o lim x → a ⁡ f x para a = 0,1 , 2,3 , 4 se existir
  2. Em que ponto f não é contínua

Passo 1

a )

O limite de cada um desses pontos é o valor que a função se aproxima, vamos olhar cada ponto separado começando com o a = 0 , conseguimos ver que, neste caso

lim x → 0 ⁡ f x = 2

Isso é possível de ver pelo gráfico.

Passo 2

Vamos ver agora quando a = 1

lim x → 1 ⁡ f x = 8

Também vemos isso pelo gráfico

Passo 3

Vamos ver agora quando a = 2 , repara que dessa vez se olharmos valores menores que 2 o limite vai ser 3 , ou seja, o limite lateral pela direita vai ser 3

lim x → 2 - ⁡ f x = 3

Agora se olharmos valores maiores que 2 o limite vai ser 6 , ou seja, o limite lateral pela direita vai ser 6

lim x → 2 + ⁡ f x = 6

Como os limites laterais são diferentes, esse limite não existe.

Passo 4

Vamos agora para o ponto a = 3 , se liga que o valor da função em 3 vai ser 5 , que é onde está a bolinha preta, mas o seu limite não é esse, o limite é o valor que a função se aproxima, então é a parte da bolinha aberta, ou seja,

lim x → 3 ⁡ f x = 1

Sacou? Sempre olha o gráfico da função perto do ponto e não necessariamente no ponto, a mesma coisa vai acontece se pegarmos a = 4 , o valor da função vai ser 4 enquanto o limite vai ser a parte da bolinha branca, ou seja, 7 .

lim x → 4 ⁡ f x = 7

Passo 5

b )

A primeira coisa é o limite precisar existir, e já vimos no item a que o limite quando x → 2 não existe, então a função não vai ser contínua nesse ponto.

Agora temos que ver quando o limite no ponto é igual a função, vimos no passo 4 que nem x → 3 e nem x → 4 vão ter o limite igual aos valores do ponto, então já temos mais dois pontos que não são contínuas.

Se olharmos x = 1 não vai ter valor para a função nesse ponto, porque afinal não tem bolinha fechada em lugar nenhum com x = 1 então f não é continua ali também.

Em x = 0 podemos ver que a bolinha fechada está exatamente em cima da função então o limite vai ser igual ao valor da função no ponto.

Conclusão, os pontos que a função não é continua são:

x = 1

x = 2

x = 3

x = 4

Resposta

  1. lim x → 0 ⁡ f x = 2
  2. lim x → 1 ⁡ f x = 8

    Não existe lim x → 2 ⁡ f x

    lim x → 3 ⁡ f x = 1

    lim x → 4 ⁡ f x = 7

  3. Os pontos que a função não é continua são:

x = 1

x = 2

x = 3

x = 4

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )