Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

a) f x , y =   - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4 ,             s e   x , y ≠ ( 0 , - 1 ) 0 ,                                         s e   x , y = 0 , - 1

Passo 1

Fala aí povo bonito, tudo tranquilo?

Nessa questão nos é dada uma função, de duas variáveis, definida por partes da seguinte forma:

f x , y =   - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4 ,             s e   x , y ≠ ( 0 , - 1 ) 0 ,                                         s e   x , y = 0 , - 1

O enunciado nos pede pra verificar se a função é contínua no ponto ( 0,0 ) .

Vocês lembram como verificamos continuidade de uma função em certo ponto?

O conceito é bem parecido com o que fizemos nas funções de apenas uma variável. Precisamos verificar se:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ f ( x , y ) = f ( x 0 ,   y 0 )

Então, é isso que vamos fazer aqui! Vamos calcular o lim x → 0 y → 0 ⁡ f ( x , y ) e f ( 0 , 0 ) e verificar se eles são iguais!

Passo 2

Vamos começar calculando:

lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y

Vimos que f ( x , y ) é definida por parte da seguinte forma:

f x , y =   - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4 ,             s e   x , y ≠ ( 0 , - 1 ) 0 ,                                         s e   x , y = 0 , - 1

Como queremos calcular o limite da função quando ela está tendendo a ( 0,0 ) , a lei que rege a função nesses pontos é:

f x , y = - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4  

Assim:

lim x → 0 y → 0 ⁡ f x , y = lim x → 0 y → 0 ⁡ - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4

Muito bom! Nossa missão então é calcular:

lim x → 0 y → 0 ⁡ - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4

A primeira etapa quando vamos calcular um limite é substituir os valores que x e y estão tendendo. Se não ocorrer nenhuma indeterminação matemática, já temos o nosso resultado.

Fazendo isso, temos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4 = - 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 1 0 2 + 0 + 1 4

= 0 1 = 0

Não ocorreu nenhuma indeterminação matemática, logo a gente pode concluir que:

lim x → 0 y → 0 ⁡ - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4 = 0

Perfeito!

Passo 3

Agora vamos verificar o valor da nossa função no ponto ( 0,0 ) .

f x , y =   - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4 ,             s e   x , y ≠ ( 0 , - 1 ) 0 ,                                         s e   x , y = 0 , - 1

Como 0,0 ≠ ( 0 , - 1 ) , temos que a função assumirá o valor:

f x , y = - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4  

Portanto:

f 0,0 =   - 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 1 0 2 + 0 + 1 4

Ou seja galera, como encontramos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ - 2 x y + 1 x 2 + y + 1 4 = f 0,0 = 0

Podemos concluir que a função f ( x , y ) é contínua em ( 0,0 ) !

Resposta

É contínua.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )