2) Considere a função f definida como:

f x = 3 x - 1 - 3 x + 1 x ,     p a r a   x > 0 a ,     p a r a   x = 0 sin ⁡ a x x ,     p a r a   x < 0

Determine o valor de a para que tenhamos f contínua em I R

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vou te contar um segredo: módulos são assustadores. E enrolam um pouco a gente. Então vamos tirar eles daí pra entender melhor essa função. Da definição de módulo:

k x = k x ,     k x ≥ 0 - k x ,     k x < 0

Primeiro para k x = 3 x + 1 , vamos ter:

3 x + 1 = 3 x + 1 ,     3 x + 1 ≥ 0 - 3 x - 1 ,     3 x + 1 < 0

O que é o mesmo que:

3 x + 1 = 3 x + 1 ,     x ≥ - 1 3 - 3 x - 1 ,     x < - 1 3

Mas veja bem, como a lei de formação que envolve módulos está definida pra x > 0 somente, nem precisamos nos preocupar com a expressão - 3 x - 1 ,     x < - 1 3 desse módulo! Ficamos então com:

f x = 3 x - 1 - 3 x + 1 x ,     p a r a   x > 0 a ,     p a r a   x = 0 sin ⁡ a x x ,     p a r a   x < 0

Agora para k x = 3 x - 1 , vamos ter:

3 x - 1 = 3 x - 1 ,     3 x - 1 ≥ 0 - 3 x + 1 ,     3 x - 1 < 0

O que é o mesmo que:

3 x - 1 = 3 x - 1 ,     x ≥ 1 3 - 3 x + 1 ,     x < 1 3

Como a lei de formação que envolve módulos está definida para x > 0 , dessa vez precisamos nos preocupar com as duas partes desse módulo. A função vai ganhar na verdade uma quarta linha, ficando assim:

f x = 3 x - 1 - 3 x + 1 x ,     p a r a   x ≥ 1 3 - 3 x + 1 - 3 x + 1 x ,     p a r a   1 3 > x > 0 a ,     p a r a   x = 0 sin ⁡ a x x ,     p a r a   x < 0

f x = 3 x - 1 - 3 x - 1 x ,     p a r a   x ≥ 1 3 - 3 x + 1 - 3 x - 1 x ,     p a r a   1 3 > x > 0 a ,     p a r a   x = 0 sin ⁡ a x x ,     p a r a   x < 0

O que é o mesmo que:

f x = - 2 x ,     p a r a   x ≥ 1 3 - 6 ,     p a r a   1 3 > x > 0 a ,     p a r a   x = 0 sin ⁡ a x x ,     p a r a   x < 0

Passo 2

Agora que nos livramos do módulo, podemos checar a continuidade. Pra isso, vamos calcular:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

Porque o 0 ? Bem, - 2 x não tem nenhum problema no intervalo x ≥ 1 3 , isto é, está sempre definido nesse intervalo. O mesmo vale pra - 6 no intervalo 1 3 > x > 0 e para sin ⁡ a x x no intervalo x < 0 . O único ponto que resta dúvida é x = 0 . Fazendo então os limites, temos:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ sin ⁡ a x x

Resolvendo esse limite, multiplicamos em cima e em baixo por a e olha só o que acontece:

lim x → 0 - ⁡ sin ⁡ a x x = lim x → 0 - ⁡ a sin ⁡ a x a x = lim x → 0 - ⁡ a ∙ lim x → 0 - ⁡ sin ⁡ a x a x

Opa, limite fundamental trigonométrico aparecendo aí em! Sendo assim, temos:

lim x → 0 - ⁡ a ∙ lim x → 0 - ⁡ sin ⁡ a x a x = a ∙ 1 = a

Agora pro outro limite, temos:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ - 6 = - 6

E por fim, como o próprio enunciado diz, temos:

f 0 = a

No final das contas, temos:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

a = - 6 = a

Então a condição pra que a função seja contínua é que:

a = - 6

Resposta

a = - 6

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )