3) Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções no ponto indicado:

a)

y = 4 3 - x ;             a = 1

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, essa questão deu pra gente uma função e pediu pra calcular a sua derivada no ponto a = 1 usando a definição. Então o que devemos fazer é aplicar a seguinte relação:

y ' x = lim x → 1 ⁡ y x - y ( 1 ) x - 1

Então, bora comigo que te ajudo com isso!

Passo 2

Como a derivada que queremos calcular é

y ' x = lim x → 1 ⁡ y x - y ( 1 ) x - 1

teremos:

y ' x = lim x → 1 ⁡ 4 3 - x - 4 3 - 1 x - 1

Podemos colocar o 4 em evidência

y ' x = lim x → 1 ⁡ 4 ⋅ 1 3 - x - 1 2 x - 1

E resolvendo a diferença de frações no numerador, teremos:

y ' x = lim x → 1 ⁡ 4 ⋅ 2 - ( 3 - x ) 2 ( 3 - x ) x - 1

Que se tornará

y ' x = lim x → 1 ⁡ 4 ⋅ x - 1 2 ( 3 - x ) x - 1

E podemos usar a regra de divisão de frações fazendo:

y ' x = lim x → 1 ⁡ 4 ⋅ x - 1 2 ( 3 - x ) x - 1 1

y ' x = lim x → 1 ⁡ 4 ⋅ ( x - 1 ) 2 3 - x ⋅ 1 ( x - 1 )

E contando ( x - 1 ) , teremos:

y ' x = lim x → 1 ⁡ 4 2 3 - x

Agora já podemos aplicar o limite de x → 1

y ' x = lim x → 1 ⁡ 4 2 3 - x = 4 2 3 - 1 = 4 4 = 1

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

y ' 1 = 1

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