Determine a solução geral das equações diferenciais homogênea

d ) y ' ' ' - 15 y ' ' + 64 y ' - 50 y = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial ordinária homogênea com coeficientes constantes

y ' ' ' - 15 y ' ' + 64 y ' - 50 y = 0

Para resolvê-la vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim

m 3 - 1 5 m 2 + 64 m - 50 = 0

m 1 , m 2 , m 3 (polinômio de terceira ordem). E agora?

Com as raízes é só montar nossa solução!

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t + c 3 e m 3 t

Beleza? Se encontrarmos raízes reais é só substituir na solução. Caso encontremos alguma raiz complexa, aí temos que fazer uma pequena modificação. Mas vamos ver isso mais para frente!

Ah, mais uma coisa! Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução em termos das constantes mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver essa equação aqui

m 3 - 15 m 2 + 64 m - 50 = 0

As possíveis raízes são os divisores inteiros do termo independente:

D 9 = ± 1 ,   ± 2 ,   ± 5 , ± 25 , ± 50

Substituindo esses valores na equação o primeiro valor que encontramos zero é o m 1 = 1 . Para saber as outras raízes vamos dividir nossa equação por m - 1 . Aqui você pode usar o método que quiser!

Fazendo a divisão encontramos a seguinte forma fatorada

m - 1 m 2 - 14 m + 50 = 0

Por fim para encontrar as outras raízes vamos aplicar báskara:

m = - ( - 14 ) ± ( - 14 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 50 ) 2 ( 1 ) = 7 ± i

No nosso caso temos uma raiz real (cuja solução é uma exponencial) e outras duas complexas, aí podemos transformar uma exponencial complexo em termos de senos e cossenos assim

e a + i b t = e a t cos ⁡ b t + sin ⁡ b t

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que sabemos as raízes podemos montar nossa solução

y = c 1 e m 1 t + e a t c 2 cos ⁡ b t + c 3 sin ⁡ b t

Temos que m 1 = 1 , a = 7   e   b = 1 .

y = c 1 e t + e 7 t c 2 cos ⁡ t + c 3 sin ⁡ t

Beleza?

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = c 1 e t + e 7 t c 2 cos ⁡ t + c 3 sin ⁡ t

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2