UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 34a
Considere a equação diferencial ordinária
Determine os valores de para os quais existem soluções não nulas desta equação que satisfazem as condições de fronteira abaixo. Obtenha também a expressão destas soluções. Considere .
, .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Nós temos a seguinte equação diferencial ordinária
temos que encontrar os valores de tal que existam soluções não nulas da expressão acima. Em geral, poderíamos ter qualquer valor de , mas ao considerarmos as seguintes condições de contorno
, .
Isso limita as nossas opções! Vamos escrever o polinômio característico para em diferentes intervalos dos reais e ver o que as condições de contorno acarretam. Vem comigo!
Passo 2
Primeiro, vamos considerar , temos que o polinômio característico é da forma
e, portanto, as raízes são da forma
e, as soluções são da forma
O que acontece se aplicarmos as condições de contorno? Temos que , portanto
Derivando a solução temos que
aplicando a condição, temos que , obtendo
Da equação obtemos que e, substituindo este resultado na equação , temos que
Como as exponenciais são funções positivas, a única solução é . Sendo assim, não há solução não-nula nestas condições de contorno para . Vamos tentar outra possibilidade agora!
Passo 3
Fazendo um processo análogo ao anterior, mas com , temos que o polinômio característico é
que resulta em duas raízes repetidas nulas, de forma que a solução pode ser escrita como
com derivada dada por
aplicando as condições de contorno obtemos novamente duas equações lineares da forma
e
Sendo assim, como , necessariamente, . Ou seja, também não há solução não-nula para . Vamos agora analisar a última possibilidade.
Passo 4
Vamos considerar , ou seja, vou substituir em nossa equação , em que . Assim, a nossa equação se torna
Essa expressão tem o seguinte polinômio característico
e, portanto, obtemos raízes complexas da forma
sendo assim, nossa solução é uma combinação linear de senos e cossenos da forma
a sua derivada é dada por
sob as condições de contorno, obtemos mais uma vez duas equações
e
ou seja, temos , e portanto, a seguinte relação resta
Note que isso é zero quando (Mas não queremos isso) ou quando
em que é um número ímpar. Usando então que
ou seja
Temos infinitas soluções da forma
em que
Portanto, temos soluções não nulas apenas com . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!