Lançamento Oblíquo

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Teoria

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um projétil lançado para cima, sob um ângulo de 60 ° com a horizontal, tem velocidade de 30   m / s no ponto culminante de sua trajetória. Calcule a velocidade do projétil ao retornar ao solo.

Passo 1

Falaaa aiiii galeraaaa, animados para começar esta seção?

Espero que siiim ein !!

Vamos começar desenhando o que está acontecendo:

É importante vocês lembrarem que ponto culminante significa a parte mais alta da trajetória, ok?

Neste ponto não há velocidade na direção y porque atingimos o ponto mais alto e agora é a hora dele descer !! Sendo assim, a velocidade neste ponto é igual a velocidade na direção x :

v x = v t o p o = 30   m / s

Na direção x não há aceleração, então o movimento é uniforme e v x é a mesma ao longo de toda a trajetória !

Vamos guardar esta infomação no coração, ok?

Passo 2

Bom, mas o que queremos é a velocidade final!! Ou seja, a velocidade do projétil quando ele toca no chão !!

Para resolvermos esta questão precisamos lembrar que a velocidade com que ele chega é igual a velocidade com que ele sai:

v 0 = v f

Então só precisamos achar v 0 !!

Vamos dar uma olhada mais de perto na relação entre v 0 e v x :

Segundo o trigonometria:

cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ 60 ° = v x v 0

Para achar v 0 , vamos passá-lo multiplicando para o outro lado:

v 0 cos ⁡ 60 ° = v x

E agora o cosseno passa para o outro lado dividindo:

v 0 = v x cos ⁡ 60 °

E agora é só substituir:

v 0 = 30   m / s 0,5

v 0 = 60   m / s

Então:

v f = 60   m / s

Legal, não foi?!

Resposta

v f = 60   m / s

Exercício Resolvido #2

A velocidade de lançamento de um projétil é cinco vezes maior que a velocidade na altura máxima. Determine o ângulo de lançamento θ 0 .

Passo 1

Vamos para mais uma, galerinha ?!

Vamos começar desenhando o que está acontecendo:

É importante vocês lembrarem que na altura máxima não há velocidade na direção y porque atingimos o ponto mais alto e agora é a hora dele descer !! Sendo assim, a velocidade neste ponto é igual a velocidade na direção x :

v x = v t o p o

Na direção x não há aceleração, então o movimento é uniforme e v x é a mesma ao longo de toda a trajetória !

Bom, o problema nos disse que a velocidade de lançamento de um projétil é cinco vezes maior que a velocidade na altura máxima:

v 0 = 5 v x

Vamos guardar esta infomação no coração, ok?

Passo 2

Vamos dar uma olhada mais de perto na relação entre v 0 e v x :

Segundo o trigonometria:

cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ θ = v x v 0 = v x 5 v x

cos ⁡ θ = 1 5

Para o cosseno sumir do termo a esquerda e sobrar só o ângulo precisamos aplicar o arcocosseno nos dois lados:

θ = cos - 1 ⁡ 1 5

θ = 78,5 °

O que acharam desta?!

Resposta

θ = 78,5 °

Exercício Resolvido #3

Um canhão dispara projéteis num ângulo de 30 ° em relação à horizontal, com velocidade de 720   k m / h . Qual é o alcance do projétil? Qual é a velocidade no ponto mais alto da trajetória?

Passo 1

Animados para seguir ?!

Então bora desenhar !!

É importante vocês lembrarem que no ponto mais alto da trajetória não há velocidade na direção y porque atingimos o ponto mais alto e agora é a hora dele descer !! Sendo assim, a velocidade neste ponto é igual a velocidade na direção x :

v x = v t o p o

Na direção x não há aceleração, então o movimento é uniforme e v x é a mesma ao longo de toda a trajetória !

Vamos guardar esta infomação no coração, ok?

Passo 2

Bom, vamos começar achando a velocidade no ponto mais alto?

Para isso basta nós lembrarmos da relação entre v 0 e v x :

Segundo o trigonometria:

cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ 30 ° = v x v 0

Para achar v x , vamos passá-lo multiplicando para o outro lado:

v x = v 0 cos ⁡ 30 °

Podemos só substituir, mas normalmente usamos a velocidade em m / s por isso vamos transformar v 0 antes de coloca-lo na fórmula.

Para transforma k m / h em m / s nós dividimos por 3,6 :

v 0 = 720   k m / h 3,6 = 200   m / s

E agora é só substituir:

v x = 200 cos ⁡ 30 °

v x = 173,2   m / s

Já achamos uma resposta!! Bora pra outro ?!

Passo 3

Para calcular o alcance máximo nós podemos usar uma fórmula um pouco diferente das que estamos acostumados!

Bora rever?

A l c a n c e = d p e r c o r r i d a = v 0 2 . sen ⁡ 2 θ g

Lembrando que:

g = 9,8   m / s 2

Agora é só substituir:

d p e r c o r r i d a = 200 2 . sen ⁡ ( 2 × 30 ° ) 9,8

d p e r c o r r i d a = 3534,8   m

O que acharam?

Resposta

v x = 173,2   m / s

d p e r c o r r i d a = 3534,8   m

Exercício Resolvido #4

Uma graduada em física joga uma bola pelo o ar com uma velocidade inicial de 24,5   m / s a 36 , 9 ° acima da horizontal. A bola é posteriormente capturada por outro aluno. Encontre (a) o tempo total em que a bola fica no ar e (b) a distância horizontal total percorrida. (Ignore os efeitos da resistência do ar).

Passo 1

Animados para seguir ?!

Então bora desenhar !!

Para resolver este problema aqui precisamos assumir que a bola sai da altura zero e o outro aluno a pega na mesma altura, tranquilinho ?

Para calcular o tempo que a bola fica no ar vamos usar as relações para o movimento na direção y , porque na direção x praticamente não há dados !

∆ y = v y t - g t 2 2

Sabemos que que seu deslocamento total na direção zero foi nulo:

∆ y = 0

g = 9,8   m / s 2

Não sabemos a velocidade inicial em y , mas sabemos que existe uma relação entre elas:

Segundo o trigonometria:

s en ⁡ θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

Neste caso:

s en ⁡ 3 6,9 ° = v y v 0

Para achar v y , vamos passá-lo multiplicando para o outro lado:

v y = v 0 s en ⁡ 3 6,9 °

Substituindo na equação para achar o tempo:

∆ y = v 0 sen ⁡ 36,9 ° t - g t 2 2

E colocando t em evidência:

∆ y = t v 0 sen ⁡ 36,9 ° - g t 2

Substituindo:

0 = t 24,5 . sen ⁡ 36,9 ° - 9,8 . t 2

O tempo em evidência passa para o outro lado dividindo:

24,5 . sen ⁡ 36,9 ° - 4,9 t = 0

Isso já facilita as coisas, não é?!

Agora o termo 4,9 t passa para o outro lado da igualdade com sinal oposto:

24,5 . sen ⁡ 36,9 ° = 4,9 t

O termo 4,9   passa para o outro lado dividindo:

t = 24,5 . sen ⁡ 36,9 ° 4,9  

t = 3   s

E assim chegamos ao fim da letra (a) !!

Passo 2

Precisamos achar a distância horizontal total percorrida, ou seja, o alcance!!

Na direção x não há velocidade, então usamos a fórmula para o movimento uniforme:

v x = x t

Para isolar o x , passamos o t para o outro lado multiplicando:

x = v x t

Lembrando do triângulo do passo anterior:

Segundo o trigonometria:

co s ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ 36,9 ° = x v 0

Para achar v y , vamos passá-lo multiplicando para o outro lado:

v x = v 0 co s ⁡ 36,9 °

Substituindo v x na fórmula:

x = v 0 cos ⁡ 36,9 ° t

E agora os valores:

x = 24,5 3 cos ⁡ 36,9 °

x = 58,8   m

E assim finalizamos mais uma !!

Resposta

  1. t = 3   s
  2. x = 58,8   m

Exercício Resolvido #5

Na Fig. 4 - 36 , uma pedra é lançada em um rochedo de altura h com uma velocidade inicial de 42   m / s e um ângulo θ 0 = 60 ° com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, 5,5   s após o lançamento. Determine (a) a alutura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A e (c) a máxima altura H alcançada acima do solo.

Passo 1

Vamos continuado galerinha??

Bom, a pedra se move em y e em x , certo? Como a letra (a) pediu a altura h do rochedo precisamos avaliar este movimento na direção y , não é?

O deslocamento nesta direção é dado por:

∆ y = v 0 y t - g t 2 2

Esta variação em y representa a altura do rochedo:

∆ y = h

E já sabemos que:

t = 5,5   s

g = 9,8   m / s 2

A única coisa que não temos é v 0 y !! Mas conhecemos como esta velocidade se relaciona com a incial:

A trigonometria diz que:

s en ⁡ θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

Neste caso:

s en ⁡ 6 0 ° = v 0 , y v 0

Para achar v 0 , y , vamos passar v 0 -lo multiplicando para o outro lado:

v 0 , y = v 0 s en ⁡ 6 0 °

Colocando este dado na fórmula que achamos para a altura:

∆ y = t v 0 sen ⁡ 60 ° - g t 2 2

E lembrando que a velocidade inicial foi dada:

v 0 = 42   m / s

Vamos só substituir:

h = 5,5 42 sen ⁡ 60 ° - 9,8 t 2 2

h = 51,8   m

Passo 2

Agora vamos tentar achar a velocidade final da pedra?

O movimento ocorre em duas dimensões, x e y , então a velocidade final deve ter duas componentes !!

Como o na direção x não possui aceleração, a velocidade inicial nesta direção é a mesma ao longo de toda a trajetória !!

Usando o triângulo do Passo 1 e com ajuda da trigonometria:

cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ 6 0 ° = v x v 0

Para achar v x , vamos passar v 0 multiplicando para o outro lado:

v x = v 0 cos ⁡ 6 0 °

Substituindo:

v x = 42 cos ⁡ 60 °

v x = 21   m / s

Na direção y já tem aceleração da gravidade, não é ?! Então usamos as equações do MRUV, que tal:

v y = v 0 y - g t

Substituindo o que achamos no Passo 1 para v 0 y :

v y = v 0 sen ⁡ 60 ° - g t

E colocando valores:

v y = 42 sen ⁡ 60 ° - 9,8 5,5

v y = - 17,5   m / s

O sinal negativo indica que o vetor da velocidade na direção y aponta para baixo, o que super faz sentido já que a pedra está descendo, não é?

Mas a velocidade final é uma combinação destas duas componentes, certo? E para achar seu módulo usamos a relação:

v f = v x 2 + v y 2

Subsituindo:

v f = 21 2 + - 17,5 2

v f = 27,35   m / s

Passo 3

E para finaliza, a letra (c) quer a altura máxima!!

E para lançamentos oblíquos existe uma fórmula bem legal e beem prática:

H = v 0 2 sin 2 ⁡ θ 2 g

Substituindo os dados:

H = 42 2 sin 2 ⁡ 60 ° 2 9,8

H = 67,5   m

Molezinha, não foi?

Resposta

  1. h = 51,8   m
  2. v f = 27,35   m / s

Exercício Resolvido #6

Um corpo é lançado para cima segundo um ângulo de 30 ° com a horizontal, com velocidade de 400   m / s . Admitindo-se g   =   10   m / s 2 pedem-se:

  1. O tempo que o corpo leva para atingir a altura máxima em relação ao solo;
  2. A altura máxima;
  3. O alcance.

Passo 1

Vamos para mais uma, galerinha ?!

Vamos começar desenhando o que está acontecendo:

É importante vocês lembrarem que na altura máxima não há velocidade na direção y porque atingimos o ponto mais alto e agora é a hora dele descer !! Sendo assim, a velocidade neste ponto é igual a velocidade na direção x :

v x = v t o p o

Na letra (a) o que queremos é achar o tempo que o corpo leva para atingir o ponto mais alto, certo?

Quando o corpo se move na direção vertical, existe aceleração !! E nestes casos o movimento é MRUV !!

No ponto mais alto, vimos que não há velocidade na direção y , somente na x !

Sabendo de tudo isso podemos usar a equação:

v y = v 0 ,   y - g t s

Não se esqueçam, negativo porque está subindo !!

Sabendo que:

v y = 0   m / s

Então:

0 = v 0 ,   y - g t s

O termo g t s passa para o outro lado com sinal oposto:

g t s = v 0 ,   y

E agora o g   vai dividindo:

t s = v 0 ,   y g

Ainda não temos a velocidade inicial na direção y , mas olhando mais de perto a relação entre v 0 , v x e v y :

Segundo o trigonometria:

sen ⁡ θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

Neste caso:

sen ⁡ 30 ° = v o , y v 0

Para achar v 0 , y , vamos passa v 0 multiplicando para o outro lado:

v 0 , y = v 0 sen ⁡ 30 °

Substituindo na fórmula do tempo:

t s = v 0 sen ⁡ 30 ° g

Sabemos que:

v 0 = 400   m / s

g = 10   m / s 2

Então vamos substituir:

t s = 400 sen ⁡ 30 ° 10

t s = 20   s

Tranquilinho?!

Passo 2

Na letra (b) queremos a altura máxima, não é?

Podemos escolher qualquer uma das outras equações do MRUV, ok? Vou optar por:

h = h 0 + v y t s + g t s 2 2

E já sabemos que no ponto mais alto:

h 0 = 0 m

v y = 0   m / s

t s = 20   s

g = 10   m / s 2

Substituindo:

h = 0 + 0 20 + 10 20 2 2

h = 2000   m

E vamos para a últimaa !!

Passo 3

Agora vamos tentar achar a que distância do seu ponto de lançamento o projétil aterrissa!!

O tempo para o projétil cair será o tempo que ela leva para subir mais o tempo que ela leva para descer:

t = t s + t d

Como o projétil leva o mesmo tempo para descer e para subir:

t s = t d

Então:

t = 2 t s = 2 20   s = 40   s

Bom, agora que sabemos disso precisamos lembrar que na direção x do movimento não há aceleração, ou seja o movimento é uniforme!!

Nestes casos vamos usar:

v x = x t

Isolando x , o t vai para o outro lado multiplicando:

x = v x t

Mas não temos v x , certo? Então, olhando novamente a relação entre v 0 , v x e v y :

Segundo o trigonometria:

cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ 30 ° = v x v 0

Para achar v x , vamos passa v 0 multiplicando para o outro lado:

v x = v 0 cos ⁡ 30 °

Sunstituindo a velocidade inicial nesta fórmula:

v x = 400 . cos ⁡ 30 °

v x = 346,4   m / s

Substituindo na fórmula do alcance:

x = v x t

Substituindo:

x = 346,4 40

x = 13856,4   m

O que acharam desta ?!

Resposta

  1. t s = 20   s
  2. h = 2000   m
  3. x = 13856,4   m

Exercício Resolvido #7

Durante as erupções vulcânicas, grandes pedaços de pedras podem ser lançados para fora do vulcão, são os projéteis que estão na mesma altitude do monte fuji.a) Com que velocidade inicial um bloco vulcânico deve ser ejetado com ângulo de 35 ° em

relação a horizontal a uma distância x = 9,40 k m .

b) Qual o tempo de voo?

Passo 1

Bora seguir ?!

Sabemos que o projétil percorreu 9,4   k m na direção horizontal, certo? Também sabemos que na direção x do movimento não há aceleração, ou seja o movimento é uniforme!!

Nestes casos vamos usar:

v 0 , x = x t

Mas não temos v 0 , x nem o t !

Vamos começar olhando novamente a relação entre v 0 , v x e v y :

Segundo o trigonometria:

cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ 35 ° = v 0 , x v 0

Para achar v 0 , x , vamos passa v 0 multiplicando para o outro lado:

v 0 , x = v 0 cos ⁡ 35 °

Substituindo na fórmula do MRU:

v 0 cos ⁡ 35 ° = x t

E passando o cos ⁡ 35 ° dividindo:

v 0 = x t . cos ⁡ 35 °

Então, para achar a velocidade inicial, que foi pedida na letra (a), precisamos do tempo, que foi pedido na letra (b)! Então faremos o inverso, acharemos (b) e depois (a) !!

Passo 2

O tempo para o projétil cair, ou seja, o tempo que ele fica no ar, será o tempo que ela leva para subir mais o tempo que ela leva para descer:

t = t s + t d

Como o projétil leva o mesmo tempo para descer e para subir:

t s = t d

Então:

t = 2 t s

Então só precisamos do tempo de subida !!

Quando o corpo se move na direção vertical, existe aceleração !! E nestes casos o movimento é MRUV !!

No ponto mais alto, vimos que não há velocidade na direção y , somente na x !

Sabendo de tudo isso podemos usar a equação:

h = h 0 + v 0 , y t s - g t s 2 2

A altura do monte Fuji podemos achar pesquisando na internet, certo?

h 0 = 3776   m

g = 9,8   m / s s

Como o projétil chega no chão:

h = 0   m

A única coisa que não temos é v 0 , y !! MAs olhando a relação do Passo 1:

Segundo o trigonometria:

sen ⁡ θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

Neste caso:

sen ⁡ 35 ° = v 0 , y v 0

Para achar v 0 , y , vamos passa v 0 multiplicando para o outro lado:

v 0 , y = v 0 sen ⁡ 35 °

Colocando todos os dados na fórmula:

0 = 3776 + v 0 sen ⁡ 35 ° t s - 9,8 t s 2 2

0 = 3776 + v 0 sen ⁡ 35 ° t s - 4,9 . t s 2

O Passo 1 nos deu uma expressão para v 0 então vamos coloca-la aqui:

0 = 3776 + x t . cos ⁡ 35 ° sen ⁡ 35 ° t s - 4,9 . t s 2

E lembrando que t = 2 t s :

0 = 3776 + x 2 t s . cos ⁡ 35 ° sen ⁡ 35 ° t s - 4,9 . t s 2

O t s no segundo termo pode cancelar, já que estão presentes no numerador e denominador:

0 = 3776 + x 2 . cos ⁡ 35 ° sen ⁡ 35 ° - 4,9 . t s 2

Lembrando que:

x = 9,4   k m = 9,4 × 10 3 m

Então:

0 = 3776 + 9,4 × 10 3 2 . cos ⁡ 35 ° sen ⁡ 35 ° - 4,9 . t s 2

0 = 7066,9 - 4,9 . t s 2

O termo 4,9 . t s 2 passa para o outro lado com sinal oposto:

4,9 . t s 2 = 7066,9

E agora o 4,9 passa dividindo:

t s 2 = 7066,9 4,9  

t s 2 = 1442,2

Tiramos raiz dos dois lados:

t s 2 = 1442,2

t s = 37,9   s

E achando o tempo total:

t = 2 t s = 2 37,9   s = 75,9   s

Passo 3

Achamos a letra (b) e agora podemos achar a letra (a) !! Bora substituir este tempo na equação do Passo 1?

v 0 = 9,4 × 10 3 75,9 . cos ⁡ 35 °

v 0 = 151,1   m / s

Bem legal, não foi ?!

Resposta

  1. v 0 = 151,1 m s
  2. t = 75,9   s

Exercício Resolvido #8

Um projétil de massa 100   g é lançado obliquamente a partir do solo, para o alto, numa direção que forma 60 ° com a horizontal com velocidade de 120   m / s , primeiro na Terra e posteriormente na Lua. Considerando a aceleração da gravidade da Terra o sêxtuplo da gravidade lunar, e desprezíveis todos os atritos nos dois experimentos, analise as proposições a seguir:

I- A altura máxima atingida pelo projétil é maior na Lua que na Terra.II- A velocidade do projétil, no ponto mais alto da trajetória será a mesma na Lua e na Terra.III- O alcance horizontal máximo será maior na Lua.

Passo 1

Vamos começar uma teórica, para quebrar um pouco as continhas ?!

É importante vocês lembrarem que ponto culminante significa a parte mais alta da trajetória, ok?

Neste ponto não há velocidade na direção y porque atingimos o ponto mais alto e agora é a hora dele descer !! Sendo assim, a velocidade neste ponto é igual a velocidade na direção x :

Vamos guardar esta informação, ok?

Para o tópico I precisamos lembrar que quando o projétil está se movendo na direção vertical, existe aceleração !! E nestes casos o movimento é MRUV !!

No ponto mais alto vimos que não há velocidade na direção y , somente na x !

v y = 0   m / s  

Como não temos o tempo podemos usar a equação:

v y 2 = v 0 2 - 2 g h

Substituindo só o que temos:

0 2 = v 0 2 - 2 g h

0 = v 0 2 - 2 g h

Para isolar a altura máxima, o termo 2 g h passa para o outro lado com sinal oposto:

2 g h = v 0 2

E o 2 g passa dividindo:

h = v 0 2 2 g

Bom, v 0 2 é constante e não depende da gravidade, ok? Então não vamos olhar para ele, vamos olhar só para a gravidade!!

E o problema nos disse que:

g T e r r a = 6 . g L u a

Achando a altura máxima para os dois casos:

h L u a = v 0 2 2 g L u a

h T e r r a = v 0 2 2 g T e r r a

Substituindo g T e r r a pelo que o problema nos disse:

h T e r r a = v 0 2 2 6 . g L u a

Vamos colocar este 6 separado para facilitar nossa análise:

h T e r r a = 1 6 . v 0 2 2 g L u a

O termo v 0 2 2 g L u a nós conhecemos, então é só substituir:

h T e r r a = h L u a 6

Passando o 6 multiplicando:

h L u a = 6 . h T e r r a

Então, a altura máxima na Lua é seis vezes maior que a altura máxima na Terra !!

Concluindo que a afirmativa I está correta !!

Passo 2

A afirmativa II nos diz que velocidade do projétil, no ponto mais alto da trajetória será a mesma na Lua e na Terra!

O que vocês acham?

A velocidade no ponto mais alto é igual a velocidade na direção x ! Como não há aceleração nesta direção, a v x = v 0 , x , tranquilo?

Vamos dar uma olhada mais de perto na relação entre v 0 , v x e v y :

Segundo o trigonometria:

cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ 60 ° = v x v 0

Para achar v x , vamos passa v 0 multiplicando para o outro lado:

v x = v 0 cos ⁡ 60 °

Se a velocidade do projétil é igual, assim como seu ângulo, a velocidade no topo será igual !!

E a afirmativa II é verdadeira !!

Passo 3

Na afirmativa III temos que o alcance horizontal máximo será maior na Lua, certo?

O alcance é quanto o projétil percorre na direção x , como neste caso não há aceleração, o movimento é uniforme !!

E qual fórmula usamos neste caso?

v x = x t

O t passa multiplicando:

x = v x t

Já vimos que a velocidade não varia com as situações descritas, então poderíamo falar que o alcance não vai mudar ! Mas temos um porém !!

O tempo que o objeto permanece no ar depende do seu movimento na direção y , concordam?

O projétil leva um tempo t 1 para subir em um tempo t 2 para descer, como o movimento de subida e descida são iguais:

t = t 1 + t 2

t = 2 t 1

Colocando na fórmula:

x = v x 2 t 1

x = 2 v x t 1

E como calculamos este tempo de subida? Como existe acleleração o movimento é uniformemente variado, e podemos optar pela fórmula:

v y = v 0 ,   y - g t 1

No ponto máximo já vimos que v y = 0   m / s :

0 = v 0 ,   y - g t 1

Passando o termo g t 1   para o outro lado com sinal oposto:

g t 1 = v 0 ,   y

E a gravidade passa dividindo:

t 1 = v 0 ,   y g

No alcance:

x = 2 v x v 0 ,   y g

x = 2 v x v 0 ,   y g

Agora vamos substituir as gravidades?

x L u a = 2 v x v 0 ,   y g L u a

x T e r r a = 2 v x v 0 ,   y g T e r r a

Substituindo g T e r r a pelo que o problema nos disse:

x T e r r a = 2 v x v 0 ,   y 6 . g L u a

Vamos colocar este 6 separado para facilitar nossa análise:

x T e r r a = 1 6 . 2 v x v 0 ,   y g L u a

O termo 2 v x v 0 ,   y g L u a nós conhecemos, então é só substituir:

x T e r r a = x L u a 6

Passando o 6 multiplicando:

x L u a = 6 . x T e r r a

Então, realmente, o alcance é máximo na Lua !!

E a afirmativa é verdadeira !!

Bora seguir?

Resposta

I – Correta;

II - Correta;

III – Correta.

Exercício Resolvido #9

Um policial persegue um mestre ladrão de joias pelos telhados da cidade. Ambos estão correndo quando chegam a um vão entre edifícios de 4,00   m de largura e uma queda de 3,00   m (Figura 3-19). O ladrão, tendo estudado um pouco de física, salta a 5,00   m / s , em um ângulo de 45,0 ° acima da horizontal, e salta a lacuna facilmente. O policial não estudou física e acha que deveria maximizar sua velocidade horizontal, então ele salta horizontalmente a 5,00   m / s . (a) Ele consegue chegar do outro lado? (b) Por quanto o ladrão consegue chegar ao outro lado?

Passo 1

Bora pra mais uma?!

Bom galerinha, precisamos descobrir se o policial consegue ou não chegar na outra coluna, certo?

Ou seja, precisamos saber se ele consegue ou não percorrer uma distância de 4   m na direção horizontal ! Sabemos que na direção x não há aceleração e o movimento é uniforme, nestes casos a única possibilidade que temos é usar a relação para a velocidade:

v x = x t

Para saber o x , o t deve passar para o outro lado multiplicando:

x = v x t

A velocidade na direção x do policial o problema deu, mas não temos o tempo !

Entãi vamos usar o deslocamento dele na vertical para conseguí-lo, ok?

Assumindo que onde o policial e o ladrão pularam era o ponto de origem, x = 0   m e y = 0   m , O policial deve descer até 3   m abaixo de zero!!

Então:

y 0 = 0   m

y = - 3   m

v o , y = 0   m / s

v o , x = v x = 5   m / s

g = 9,8   m / s 2

Como existe aceleração no sentido vertical, o movimento é MRUV !! Para nos ajudar vou usar a equação:

y = y 0 + v o , y t - g t 2 2

Substituindo o que já temos:

- 3 = 0 + 0 t - 9,8 . t 2 2

- 3 = - 4,9   t 2

Multiplicamos ambos os lados por - 1 :

4,9   t 2 = 3

O termo 4,9 passa dividindo:

t 2 = 3 4,9

t 2 = 0,6122

Aplicando a raiz de ambos os lados:

t 2 = 0,6122

t = 0,782   s

E com o tempos podemos achar a distância colocando ele lá na fórmula que vimos no início deste Passo:

x = 5 0,782  

x = 3,91   m

E o policial caiu no buraco, por pouco, mas caiu !!

Passo 2

Na letra (b) queremos saber por qual distância o ladrão consegue se safar e não cair no buraco, certo?

Para saber disso, precisamos saber o deslocamento dele na direção x , e novamente podemos usar a relação obtida no Passo 1:

x = v x t

Não temos nenhum dos dois !

Vamos dar uma olhada mais de perto na relação entre v 0 , v x e v y :

Segundo o trigonometria:

cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

sen ⁡ θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ 45 ° = v x v 0

sen ⁡ 45 ° = v y v 0

Para achar v x e v y , vamos passar v 0 multiplicando para o outro lado:

v 0 , x = v 0 cos ⁡ 45 °

v 0 , y = v 0 sen ⁡ 45 °

Sabemos que:

v 0 ,   l a d r ã o = 5   m / s

Então vamos só precisar de substituir:

v 0 , x = 5 . cos ⁡ 45 °           ∴           v 0 , x = 3,53   m / s

v 0 , y = 5 . sen ⁡ 45 °           ∴           v 0 , y = 3,53   m / s

De boa, não foi?!

Passo 3

Achamos as componentes da velocidade, mas nada do tempo, certo?

Usando a mesma equação que obtivemos no Passo 1:

y = y 0 + v o , y t - g t 2 2

E agora colocando nossos dados para o ladrão:

- 3 = 0 + 3,53 t - 9,8 . t 2 2

- 3 = 3,53 t - 4,9 t 2

Passando o termo 3,53 t - 4,9 t 2 para o outro lado da igualdade com sinal oposto:

4,9 t 2 - 3,53 t - 3 = 0

Para resolver uma equação de segundo grau usamos a fórmula quadrática:

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Quem acompanha o t 2 é chamado de a , o que acompanha o t chama-se b e o solitário é o c ! Então, olhando a equação:

a = 4,9

b = - 3,53

c = - 3

Colocando na fórmula quadrática:

t = 3,53 ± - 3,53 2 - 4 4,9 - 3 2 × 4,9

t = 3,53 ± 8,44 2 × 4,9

Teremos dois valores para t :

t 1 = 3,53 + 8,44 2 × 4,9 = 1,22   s

t 2 = 3,53 - 8,44 2 × 4,9 = - 0,5   s

Como o tempo dever ser positivo:

t = t 1 = 1,22   s

E agora que achamos tudo, usamos estes valores para axhar x :

x = 3,53 1,22

x = 4,31   m

Portanto, o ladrão percorreu na direção x 4,31   m , como a lacuna tinha uma distância de 4   m ,   o ladrão aterrissou a 0,31   m da beirada !!

Legal, não foi ?!

Resposta

  1. N ã o   !
  2. 0,31   m

Exercício Resolvido #10

No nível do solo, uma bomba é disparada com velocidade inicial de 90   m / s , a 60 ° com a horizontal e sem sofrer resistência significativa do ar.

  1. Ache as componenetes horizontal e vertical da velocidade inicial da bomba.
  2. Quanto tempo ela leva para atingir o ponto mais alto?
  3. Ache sua altura máxima.
  4. A que distância do seu ponto de disparo a bomba aterrissa?

Passo 1

Bora finalizar?!

Vamos começar desenhando o que está acontecendo:

É importante vocês lembrarem que ponto culminante significa a parte mais alta da trajetória, ok?

Neste ponto não há velocidade na direção y porque atingimos o ponto mais alto e agora é a hora dele descer !! Sendo assim, a velocidade neste ponto é igual a velocidade na direção x .

Vamos guardar esta informação, ok?

A letra (a) quer as componenetes horizontal e vertical da velocidade inicial da bomba, certo?

Vamos dar uma olhada mais de perto na relação entre v 0 , v x e v y :

Segundo o trigonometria:

cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

sen ⁡ θ = C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

Neste caso:

cos ⁡ 60 ° = v x v 0

sen ⁡ 60 ° = v y v 0

Para achar v x e v y , vamos passa v 0 multiplicando para o outro lado:

v x = v 0 cos ⁡ 60 °

v y = v 0 sen ⁡ 60 °

Sabemos que:

v 0 = 90   m / s

Então vamos só precisar de substituir:

v x = 90 . cos ⁡ 60 °           ∴           v x = 45   m / s

v y = 90 . sen ⁡ 60 °           ∴           v y = 77,9   m / s

De boa, não foi?!

Passo 2

Na letra (b) o que queremos é achar o tempo que a bomba leva para atingir o ponto mais alto, certo?

Quando a bomba se move na direção vertical, existe aceleração !! E nestes casos o movimento é MRUV !!

No ponto mais alto, vimos no Passo 1 , que não há velocidade na direção y , somente na x !

Sabendo de tudo isso podemos usar a equação:

v y = v 0 ,   y - g t

Não se esqueçam, negativo porque está subindo !!

Sabendo que:

v y = 0   m / s

v 0 ,   y = 77,9   m / s

g = 9,8   m / s 2

Substituindo:

0 = 77,9 - 9,8 t s

O termo 9,8 t s passa para o outro lado com sinal oposto:

9,8 t s = 77,9

E agora o 9,8   vai dividindo:

t s = 77,9 9,8

t s = 7,9   s

Bora seguir ?!

Passo 3

Já a letra (c) o que queremos é achar sua altura máxima, certo?

Podemos escolher qualquer uma das outras equações do MRUV, ok? Vou optar por:

h = h 0 + v y t s + g t s 2 2

E já sabemos que no ponto mais alto:

h 0 = 0 m

v y = 0   m / s

t s = 7,9   s

g = 9,8   m / s 2

Substituindo:

h = 0 + 0 7,9 + 9,8 7,9 2 2

h = 309,6   m

E vamos para a últimaa !!

Passo 4

Agora vamos tentar achar a que distância do seu ponto de disparo a bomba aterrissa!!

O tempo para a bomba cair será o tempo que ela leva para subir mais o tempo que ela leva para descer:

t = t s + t d

Como a bomba leva o mesmo tempo para descer e para subir:

t s = t d

Então:

t = 2 t s = 2 7,9   s = 15,8   s

Bom, agora que sabemos disso precisamos lembrar que na direção x do movimento não há aceleração, ou seja o movimento é uniforme!!

Nestes casos vamos usar:

v x = x t

Isolando x , o t vai para o outro lado multiplicando:

x = v x t

Substituindo:

x = 45 15,8

x = 711   m

Então a bomba cairá a 711   m de onde foi lançada !!

Legal, não é?!

Resposta

  1. v x = 45   m / s       |           v y = 77,9   m / s
  2. t = 7,9   s
  3. h = 309,6   m
  4. x = 711   m