Lançamento Vertical e Horizontal

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Teoria

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma fruta madura cai da árvore com velocidade inicial zero. Calcule a velocidade com que ela atinge o solo, sabendo que ela caiu de uma altura de 4,0 m .

Passo 1

Falaaa aiiii galeraaaa, animados para começar esta seção?

Espero que siiim ein !!

Vamos começar desenhando o que está acontecendo:

Bom, quando temos uma fruta, ou qualquer outro objeto, caindo existe uma aceleração aplicada neste corpo, certo?

Quem aí lembra o nome dela?! Acertou quem disse gravidade !!

Se o corpo é acelerado, temos um movimento uniformemente variado, neste caso na vertical, mas o raciocínio não muda !!

Se queremos a velocidade final, precisamos achar uma fórmula capaz de relacionar a distância com a aceleração e a velocidade, certo? Porque só temos isso !!

Como não temos o tempo podemos usar:

v = v 0 + 2 a d

Como estamos na direção vertical, podemos fazer algumas alterações na fórmula! A aceleração é a gravidade e a distância percorrida é a altura que a fruta percorreu:

v 2 = v 0 2 + 2 g h

Vamos olhar o que sabemos?

v 0 = 0   m / s

g = 9,8   m / s ²  

h = 4   m

Substituindo:

v 2 = 0 + 2 9,8 4

v 2 = 78,4  

Para tirar esse ao quadrado de cima do v vamos aplicar a raiz nos dois lados:

v 2 = 78,4  

v = 8,85   m / s

Tranquilinha ?!

Resposta

v = 8,85   m / s

Exercício Resolvido #2

Calcule o tempo gasto para um objeto cair de uma altura de 30   m , supondo que ele parte do repouso e não sofre resistência do ar durante a queda.

Passo 1

Bora pra mais uma ?!

Vamos começar desenhando o que está acontecendo:

Já sabemos que quando um objeto está caindo existe uma aceleração aplicada neste corpo, certo? A aceleração da gravidade !!

Se é assim podemos usar as equações para o MRUV, certo?

Mas qual fórmula usar?

Bom, nós queremos saber o tempo, mas temos apenas a altura percorrida pelo objeto, a gravidade e a velocidade inicial!!

Qual das fórmulas possui estes 4 termos?

h = v 0 t + g t 2 2

Vamos olhar o que sabemos?

v 0 = 0   m / s

g = 9,8   m / s ²  

h = 30   m

Substituindo:

30 = 0 t + 9,8 t 2 2

30 = 4,9 t 2

O termo 4,9 passa dividindo para o outro lado:

t 2 = 30 4,9

t 2 = 6,12

Aplicando a raiz dos dois lados para remover este ao quadrado:

t 2 = 6,12

t = 2,47   s

E finalizamos mais umaa !!

Resposta

t = 2,47   s

Exercício Resolvido #3

Da beira de um barranco situado a 39,2 m em relação ao nível inferior do solo, um garoto chuta uma bola imprimindo-lhe uma velocidade horizontal de 4 m / s . Na parte inferior do barranco, 40 m da vertical do primeiro garoto, um outro garoto vai tentar pegar a bola. Determine a que distância, à frente ou atrás, do segundo garoto, a bola chutada cairá.

Passo 1

Bora pra mais uma ?!

Vamos começar desenhando o que está acontecendo:

É importante percebermos aqui que nós queremos saber a que distância x do barranco a bola cai!!

Esta distância está relacionada a quanto a bola percorre na direção do eixo x , neste sentido não há nenhuma aceleração sendo aplicada na bola, e seu movimento é uniforme!! Quem aí se lembra da fómula para este movimento?

v = d p e r c o r r i d a t g a s t o

A velocidade na direção x já foi dada, mas não temos o tempo nem a distância!

Então precisamos descobrir este tempo, para poder calcular qual a distância x a bola percorreu, tranquilo?

O tempo para a bola percorrer esta distância x é o mesmo para a bola chegar ao solo, ou seja, percorrer a altura h .

Só que na direção vertical existe aceleração da gravidade e, por isso, o movimento é uniformemente variado !!

Nestes casos existem duas fómulas que podemos usar que possuem a variável de interesse, o tempo:

h = v 0 y t + g t 2 2

v y = v 0 y + g t

A velocidade final v y nós não temos, então vamos usar a primeira !!

Sabendo que:

h = 39,2   m

g = 9,8   m / s ²  

A velocidade que o menino aplicou na bola foi na direção horizontal, ou seja, não havia velocidade para a bolinha na vertical:

v 0 y = 0   m / s

Substituindo:

39,2 = 0 t + 9,8 t 2 2

39,2 = 4,9 t 2

O termo 4,9 passa dividindo para o outro lado:

t 2 = 3 9,2 4,9

t 2 = 8

Aplicando a raiz dos dois lados para remover este ao quadrado:

t 2 = 8

t = 2,8   s

Passo 2

Era isso que queríamos??

Que nada né !!

Queremos a diastância x , então vamos substituir na primeira equação que vimos:

v 0 = d p e r c o r r i d a t g a s t o

Passando o tempo para o outro lado multiplicando:

d p e r c o r r i d a = v 0 t g a s t o

Sabemos que:

d p e r c o r r i d a = x

v 0 = 4   m / s

t g a s t o = 2,8   s

Substituindo:

x = 4 2,8

x = 11,2   m

Então a bola cairá bem antes do garoto de baixo !!

Resposta

A n t e s   ‼

Exercício Resolvido #4

Um objeto é lançado verticalmente para cima e volta ao solo após 4 s do lançamento. Determine:

a) a velocidade de lançamento v 0 ;

b) a altura máxima atingida.

Passo 1

Bora pra mais uma ?!

Vamos começar desenhando o que está acontecendo:

Como existe a aceleração da gravidade atuando sobre o objeto, o movimento é uniformemente variado !!

Vamos ver quais fórmulas podmos usar neste movimento?

h = v 0 t + g t 2 2               ( 1 )

v f = v 0 + g t                   ( 2 )

v f 2 = v 0 2 + 2 g h               ( 3 )

Bom, como não temos a altura ainda não temos como usar as equações ( 1 ) e ( 3 ) !! O que nos resta? Apenas a equação 2 ‼

Se o tempo que o objeto leva para subir e descer é o mesmo, o tempo total pode ser escrito como:

t t o t a l = t s o b e + t d e s c e

t t o t a l = t + t

t t o t a l = 2 t

O problema disse que:

t t o t a l = 4   s

Quando substituímos:

2 t = 4

O termo 2 passa dividindo para o outro lado:

t = 4 2 = 2   s

Lembrando que quando o objeto atinge altura máxima, a sua velocidade é zero !!

v f = 0   m / s

E não se esqueçam que:

g = 9,8   m / s ²  

Como a gravidade está no sentido contrário ao movimento, a equação ( 2 ) fica um pouco diferente:

v f = v 0 - g t

Substituindo:

0 = v 0 - 9,8 2

0 = v 0 - 19,6

O termo - 19,6 passa para o outro lado com sinal oposto:

v 0 = 19,6   m / s  

Finalizamos a letra (a) e vamos seguindo pra (b)?

Passo 2

Na letra (b) precisamos achar a altura máxima, ou seja, quando sua velocidade final é zero!!

As equações que possuem a altura são as de número ( 1 ) e ( 2 ) , você pode escolher !!

Vou optar pela ( 3 ) , mas não se esqueçam que o movimento de subida é contrário à direção da aceleração:

v f 2 = v 0 2 - 2 g h

Substituindo:

0 2 = 19,6 2 - 2 9,8 h

0 = 384,16 - 19,6 h

O termo 19,6 h passa para o outro lado com cinal contrário:

19,6 h = 384,16

E agora o 19,6 passa para o outro lado dividindo:

h = 384,16 19,6

h = 19,6   m

E finalizamos mais umaa !!

Resposta

  1. v 0 = 19,6   m / s  
  2. h = 19,6   m

Exercício Resolvido #5

Um corpo é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 16   m / s . Determine:

a) a altura máxima;

b) o tempo empregado para atingir o ponto mais alto da trajetória.

Passo 1

Vamos seguindo, meus queridos ?!

Vamos começar desenhando o que está acontecendo:

Como existe a aceleração da gravidade atuando sobre o objeto, o movimento é uniformemente variado !!

Vamos ver quais fórmulas podmos usar neste movimento?

h = v 0 t + g t 2 2               ( 1 )

v f = v 0 + g t                   ( 2 )

v f 2 = v 0 2 + 2 g h               ( 3 )

Bom, a letra (a) pede a altura máxima, então qual fómula usar?

Não temos o tempo, então só nos resta a opção 3 ‼

Vamos rever o que temos?

v 0 = 16   m / s

v f = 0   m / s

g = 9,8   m / s ²  

Como a gravidade está no sentido contrário ao movimento (de subida), a equação ( 3 ) fica um pouco diferente:

v f 2 = v 0 2 - 2 g h

Substituindo:

0 2 = 16 2 - 2 9,8 h

0 = 256 - 19,6 h

O termo 19,6 h passa para o outro lado com cinal contrário:

19,6 h = 256

E agora o 19,6 passa para o outro lado dividindo:

h = 256 19,6

h = 13,06   m

Passo 2

Na letra (b) precisamos achar o tempo empregado para atingir o ponto mais alto da trajetória, certo?

Ou seja, precisamos decobrir quanto tempo o objeto leva para percorrer uma distância igual a a sua altura máxima, ponto em que ele para e começa a descer, ok?

Já sabemos que:

v 0 = 16   m / s

v f = 0   m / s

g = 9,8   m / s ²  

h = 13,06   m

Podemos optar pela fórmula ( 1 ) ou ( 2 ) , vou escolher a ( 2 ) !! Só não se esqueção que como a bolinha esta subindo:

v f = v 0 - g t

Substituindo:

0 = 16 - 9,8 t

O termo - 9 , 8 passa para o outro lado com sinal oposto:

9,8 t = 16

E agora o termo 9,8 passa para o outro lado dividindo:

t = 16 9,8

t = 1,6   s  

Legal, não foi?!

Resposta

  1. h = 13,06   m
  2. t = 1,6   s  

Exercício Resolvido #6

Quando um balão científico desgarrado está subindo a 19,6   m / s , um dos instrumentos se desprende e cai em queda livre. A figura mostra a velocidade vertical do instrumento em função do tempo, desde alguns instantes antes de se desprender até o momento em que atinge o solo.

  1. Qual é a altura máxima que o instrumento atinge em relação ao ponto em que se desprendeu?
  2. A que altura acima do solo o instrumento se desprendeu?

Passo 1

Bora pra mais uma ?!

Bom galerinha, o instrumento se desprende em um certo ponto, ok? O balão estava subindo com uma certa velocidade, quando ele se desprende, por inércia, o instrumento sobe mais um pouco antes de cair até que a velocidade se anule !!

Quando v = 0   m / s o objeto atinge sua altura máxima e começa a descer, tranquilo?!

Então, o tempo que o instrumento leva até que sua velocidade seja 0 é de 2   s até 4   s !! E a distância percorrida, ou seja, a altura pode ser calculada pela área abaixo do gráfico !!

Como a figura formada é um triângulo, a área é dada por:

H = A = b × h 2

A altura é dada ela velocidade:

h = 19,6   m / s

E a base o intervalo de tempo:

b = 2   s

Substituindo:

H = 19,6 × 2 2

H = 19,6   m

E assim terminamos a letra (a) !!

Passo 2

Na letra (b) precisamos achar altura acima do solo o instrumento se desprendeu, certo?

Como o instrumento leva o mesmo tempo para subir e para descer, se o instrumento leva 2   s para chegar a sua altura máxima ( 2   s até 4   s ) os próximos 2   s ele vai descer da altura máxima H até o ponto em que o instrumento se desprendeu ( 4   s até 6   s )!!

Então, o instrumento chega ao solo no intervalo de 6   s até 8   s !!

Se o balão está subindo, existe a aceleração da gravidade, e o movimento é retilíneo uniformemente variado. Neste caso poderemos usar a relação:

S = S 0 + v 0 t + g t 2 2

Assumindo que a altura em que o instrumento se desprendeu é o ponto inicial e a velocidade também:

S 0 = 0   m

v 0 = 19,6   m / s

g = 9,8   m / s 2

Como o instrumento desceu por 2   s :

t = 2   s

Vamos substituir?

S = 0 + 19,6   2 + 9,8 2 2 2

S = 58,8   m

Legal, não foi?!

Resposta

  1. H = 19,6   m
  2. S = 58,8   m

Exercício Resolvido #7

Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 12   m / s e está a 80   m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote.

  1. Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo?
  2. Com que velocidade atinge o solo?

Passo 1

Vamos seguindo?!

Vamos ver o que está acontecendo?

Bom galerinha, o objeto se desprende em um certo ponto, ok? O balão estava subindo com uma certa velocidade, quando ele se desprende, por inércia, o instrumento sobe mais um pouco antes de cair até que a velocidade se anule !!

Quando v = 0   m / s o objeto atinge sua altura máxima e começa a descer, tranquilo?!

Vamos ver quanto tempo o objeto leva até alcaçar v = 0 ? Para isso vamos usar as equações do MRUV:

v = v 0 - g t

Lembrando que:

v = 0   m / s

v 0 = 12   m / s

h 0 = 80   m

g = 9,8   m / s 2

Substituindo:

0 = 12 - 9,8 t s u b i d a

O termo 9,8 t s u b i d a passa para o outro lado com sinal oposto:

9,8 t s u b i d a = 12

E agora 9,8 passa para o outro lado dividindo:

t s u b i d a = 12 9,8

t s u b i d a = 1,22   s

Durante este tempo, o objeto sobe mais um pouquinho, certo? Vamos ver a distância em que ele se encontra do chão usando:

h = h 0 + v o t s u b i d a - g t s u b i d a 2 2

Substituindo os valores que já temos:

h = 80 + 12 1,22 - 9,8 1,22 2 2

h = 87,3   m

Beleza !!

Passo 2

Quando o objeto atinge esta altura, ele começa a descer, para achar o tempo de descida podemos usar a mesma relação que a anterior:

h = h 0 + v o t d e s c e n d o - g t d e s c e n d o 2 2

Analisando só a descida:

h = 0   m

h 0 = 87,3   m

v o = 0   m / s

Então:

0 = 87,3 + 0 t d e s c e n d o - 9,8 . t d e s c e n d o 2 2

0 = 87,3 - 4,9 . t d e s c e n d o 2

O termo 4,9 . t d e s c e n d o 2 passa para o outro lado da igualdade com sinal oposto:

4,9 . t d e s c e n d o 2 = 87,3

Agora o 4,9 passa dividindo:

t d e s c e n d o 2 = 87,3 4,9

t d e s c e n d o 2 = 17,8

Aplicando a raiz dos dois lados:

t d e s c e n d o 2 = 17 , 8

t d e s c e n d o = 4,22   s

E o tempo total é a soma do que ele leva para subir e descer:

t = t s u b i d a + t d e s c e n d o

t = 1,22   s + 4,22   s

t = 5,44   s

Bora pra (b) ?!

Passo 3

Agora precisamos saber a que velocidade o objeto atinge o solo, certo?

Como na descida a velocidade do objeto possui a mesma direção da velocidade, podemos usar a fórmula:

v = v 0 + g t

Podemos escolher outras, mas optei por esta pois achei que seria a mais tranquila neste caso!!

Considerando apenas o movimento de descida:

v o = 0   m / s

t d e s c e n d o = 4,22   s

Substituindo:

v = 0 + 9,8 × 4,22

v = 41,4   m / s

Legal, não foi?

Resposta

  1. t = 5,44   s
  2. v = 41,4   m / s

Exercício Resolvido #8

Gotas de chuva caem 1700   m de uma nuvem até o chão.

  1. Se elas não estivessem sujeitas à resistência do ar, qual seria a sua velocidade ao atingir o solo?
  2. Seria seguro caminhar na chuva?

Passo 1

Bora começar mais uma bem legal?!

Estão siiimboraa !!

Bom galerinha, queremos achar a velocidade final, certo? Mas não temos o tempo que a gota leva até atingir o chão !!

Como ela sofre ação da gravidade, precisamos de uma fórmula se o tempo e do MRUV, ok? A única que se encaixa é:

v 2 = v 0 2 + 2 g h

A gota estava incialmente quietinha lá na nuvem, certo? Então:

v 0 = 0   m / s

E o problema nos disse que:

h = 1700   m

g = 9,8   m / s 2

Substituindo para achar a velocidade final:

v 2 = 0 + 2 9,8 1700

v 2 = 33320  

Aplicamos raiz dos dois lados para remover este ao quadrado aí:

v 2 = 33320  

v = 182 ,   5   m / s

Isso é que é velocidade, não é?!

Passo 2

Quando não há resistência do ar as gotas chegam muito rápido aqui em baixo, certo?

Com uma velocidade tão rápida, seria seguro andar na chuva?

Seria não, né !! Ia ser perigoso !

Então a resposta para a letra (b) seria não é seguro !!

Tranquilo?!

Resposta

  1. v = 182 ,   5   m / s
  2. Não é seguro

Exercício Resolvido #9

Um tatu assustado pula verticalmente para cima, subindo 0 ,   544   m nos primeiros 0 ,   2   s .

  1. Qual é a velocidade do animal ao deixar o solo?
  2. Qual é a velocidade na altura de 0 ,   544   m ?
  3. Qual é a altura do salto?

Passo 1

Vamos seguindo?!

Bom galerinha, se o tatu está pulando existe a gravidade atuando sobre ele e o movimento é retilíneo uniformemente variado, certo?

Na letra (a) queremos a velocidade inical do tatu, sabendo que:

h = 0,544   m

h 0 = 0   m

t = 0,2   s

g = 9,8   m / s 2

Lembrando que o tatu está subindo, uma fórmula legal para usarmos neste caso seria

h = h 0 + v 0 t - g t 2 2

Então:

0,544 = 0 + v 0 0,2 - 9,8 0,2 2 2

0,544 = 0,2 . v 0 - 0,196

O termo 0,196 passa para o outro lado com sinal oposto:

0,2 . v 0 = 0,544 + 0,196

0,2 . v 0 = 0,74

E agora 0,2 passa para o outro lado dividindo:

v 0 = 0,74 0,2

v 0 = 3,7   m / s

Passo 2

Agora, na letra (b), queremos saber qual é a velocidade na altura de 0 ,   544   m , ok?

Se temos a velocidade inicial e o tempo, podemos usar:

v = v 0 - g t

Como ele está subindo sinal negativo para o g !!

Substituindo os dados que já temos:

v = 3,7 - 9,8 0,2

v = 1,74   m / s  

E para finalizar, a letra (c) pede a altura do salto!!

Bom galerinha, o tatu vai subir até que sua velocidade final seja zero, neste ponto ele atinge sua altura máxima, não é?

Como não temos o tempo que dura o salto, vamos usar a única fórmula de MRUV que não precisa dele:

v 2 = v 0 2 - 2 g h

Já temos todos os dados, então vamos substituir:

0 = 3,7 2 - 2 9,8 h

0 = 13,69 - 19,6 h

Agora o termo 19,6 h passa para o outro lado com sinal oposto:

19,6 h = 13,69

E agora, 19,6 passa dividindo:

h = 13,69 19,6  

h = 0,698   m

Molezinha, não foi?!

Resposta

  1. v 0 = 3,7   m / s
  2. v = 1,74   m / s  
  3. h = 0,698   m

Exercício Resolvido #10

No instante t   =   0 , uma pessoa deixa cair uma maçã 1 de uma ponte; pouco depois, a pessoa joga a maçã 2 verticalmente para baixo do mesmo local. A figura 8 mostra a posição vertical y das duas maçãs em função do tempo durante a queda até a estrada que passa por baixo da ponte. Qual a velocidade aproximada com a qual a maçã 2 foi jogada para baixo?

Passo 1

Já vamos finalizando, galerinha !!

Animados?!

Bom, não temos quase nenhum dado, certo? Só o tempo e a velocidade inicial da maçã 1, porque se ela caiu sua velocidade inicial era zero, concordam?

Então que tão usarmos os dados para a maçã 1 e descobrir qual a altura dessa ponte?

Sabendo que:

h 0 = 0   m         ( p o n t e )

v 0 ,   1 = 0   m / s

t 1 = 2   s

g = 9,8   m / s 2

Como há gravidade, o movimento é MRUV ! Então para achar o deslocamento que houve na vertical, ou seja, h , basta usarmos:

h = h 0 + v 0 t + g t 2 2

Substituindo:

h = 0 + 0 t + 9,8 2 2 2

h = 19,6   m

Então achamos que a ponte está a 19,6   m acima do chão !!

Passo 2

Era isso o que queríamos? Que nada, não é?!

Queremos a velocidade inicial da mação 2 !! Sabemos que ela foi lançada da mesma altura e que levou apenas 1,25   s para chegar ao solo, ou seja:

h = 19,6   m

t 2 = 1,25   s

Que fórmula do MRUV relaciona a distância percorrida, com o tempo e a velocidade inicial?

A mesma que usamos no Passo 1 , certo?

h = h 0 + v 0 t + g t 2 2

Substituindo o que já sabemos:

19,6 = 0 + v 0 1,25 + 9,8 1,25 2 2

19,6 = 0 + 1,25 . v 0 + 7,66

O termo 7,66 passa para o outro lado com sinal oposto:

1,25 . v 0 = 19,6 - 7,66

1,25 . v 0 = 11,9

E agora 1 , 2 5 passa para o outro lado dividindo:

v 0 = 11,9 1,25

v 0 = 9,6   m / s

Gostaram, não foi?!

Resposta

v 0 = 9,6   m / s