Conceitos Básicos de CA (Corrente Alternada)

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Teoria

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Os aerogeradores da Olha de Fernando de Noronha são de baixa tensão e valores 240 V / 60 H z . Num determinado local de inspeção dessa energia gerada há equipamentos que monitoram a tensão senoidal e a frequência geradas. Dentre os equipamentos abaixo, qual poderia realizar essa tarefa?

  1. Multímetro analógico
  2. Wattímetro
  3. Osciloscópio
  4. Voltímetro de ferro móvel
  5. Amperímetro de quadro móvel

Passo 1

Bom, pessoal, queremos monitorar uma forma de onda senoidal que representa a tensão, uma das características da onda é a frequência.

Analisando cada uma das opções, vamos ver o que cada um dos instrumentos mede!

Passo 2

A primeira opção é o Multímetro que é um instrumento que mede tanto o valor da tensão de pico e eficaz, mas não mostra a forma de onda. O multímetro também é capaz de medir a corrente e a potência do circuito.

Ou seja, não serve para nosso propósito.

Passo 3

Próxima opção é o wattímetro que é responsável por medir a potência, nadinha de tensão.

Passo 4

O osciloscópio é exatamente o medidor que mostra todas as formas de onda e suas características, como frequência, tensão de pico, período e fase.

Esse é o instrumento que nós queremos usar!

Passo 5

As últimas duas opções são o voltímetro que mede a tensão média ou eficaz, enquanto o amperímetro mede a corrente média ou eficaz.

Ou seja, também não servem.

Resposta

c) Osciloscópio

Exercício Resolvido #2

Expresse as seguintes funções na forma de cosseno:

  1. 10 s e n ( ω t + 30 ° )
  2. - 9 s e n ( 8 t )
  3. - 2 0 s e n ( ω t + 45 ° )

Passo 1

Gente, é uma questão bem simples, temos duas regras bem fáceis.

Caso o sinal que acompanha o seno for negativo, somaremos 90 ° ao ângulo do seno para transformar em cosseno:

- s e n ω t + ∅ = c o s ( ω t + ∅ + 90 ° )

Caso o sinal que acompanha o seno for positivo, subtrairemos 90 ° ao ângulo do seno para transformar em cosseno:

s e n ω t + ∅ = c o s ⁡ ( ω t + ∅ - 90 ° )

Passo 2

Não se preocupe, vamos verificar qual caso se aplica em cada uma das opções. A letra “a” traz a seguinte expressão:

10 s e n ( ω t + 30 ° )

Percebe que o número que acompanha o seno é 10 , ou seja, é positivo. Dessa forma devemos subtrair 90 ° :

s e n ω t + ∅ = c o s ⁡ ( ω t + ∅ - 90 ° )

Passando a expressão para cosseno:

10 s e n ( ω t + 30 ° )

É igual a:

10 c o s ( ω t + 30 ° - 90 ° )

Fazendo essa subtração dentro do cosseno:

30 - 90 = - 60

Chegamos a expressão final:

10 c o s ( ω t - 6 0 ° )

Passo 3

O próximo item “b” tem a expressão:

- 9 s e n ( 8 t )

Percebe que o número que acompanha o seno é - 9 , ou seja, é negativo. Dessa forma devemos somar 90 ° :

- s e n ω t + ∅ = c o s ⁡ ( ω t + ∅ + 90 ° )

Passando a expressão para cosseno:

- 9 s e n ( 8 t )

É igual a:

- 9 c o s ( 8 t + 90 ° )

Não temos outro ângulo dentro do cosseno, então essa já é a expressão final!

Passo 4

O último item que temos que analisar é:

- 20 s e n ( ω t + 45 ° )

Percebe que o número que acompanha o seno é - 20 , ou seja, é negativo. Dessa forma devemos somar 90 ° :

- s e n ω t + ∅ = c o s ⁡ ( ω t + ∅ + 90 ° )

Passando a expressão para cosseno:

- 20 c o s ( ω t + 45 ° + 90 ° )

Fazendo essa soma dentro do cosseno:

45 + 90 = 135

Chegamos a expressão final:

- 20 c o s ( ω t + 135 ° )

Resposta

  1. 10 c o s ( ω t - 60 ° )
  2. - 9 c o s ( 8 t + 90 ° )
  3. - 20 c o s ( ω t + 135 ° )

Exercício Resolvido #3

Em alguns países como Afeganistão, Alemanha e Chile tem como alimentação em residências tensão frequência igual a 50 H z , enquanto a frequência da rede em países como Brasil, Coreia do Sul e Estados Unidos, igual a 60 H z . Calcule a diferença em segundos entre o período das tensões de alimentação de Alemanha e Estados Unidos.

Passo 1

A relação entre a frequência f em H z para o período Τ de uma forma de onda é dada por:

Τ = 1 f

Passo 2

Vamos encontrar o período da tensão na Alemanha que tem a frequência igual a:

f = 50 H z

Substituindo a frequência:

Τ = 1 50

Que é igual a:

Τ A l e m a n h a = 0,02 s

Passo 3

Enquanto o período da tensão nos Estados Unidos que tem a frequência igual a:

f = 6 0 H z

Substituindo a frequência:

Τ = 1 6 0

Que é igual a:

Τ E s t a d o s   U n i d o s = 0,0 17 s

Passo 4

Logo quando fazemos a diferença entre eles, precisamos subtrair um do outro:

Τ A l e m a n h a - Τ E s t a d o s   U n i d o s = 0,02 s - 0,017 s

Realizando essa conta chegamos a conclusão que a diferença entre os períodos é igual a:

0,003   s e g u n d o s

Colocando em forma de potência de 10 , podemos reescrever como:

0,003   s e g u n d o s = 3 ⋅ 10 - 3 s

Resposta

3 ⋅ 10 - 3 s

Exercício Resolvido #4

A forma de onda da tensão em função do tempo em um sistema de controle é indicada pela figura abaixo. De acordo com isto é possível afirmar que o valor médio desta tensão é igual a:

  1. 0 , 35 V
  2. 0 , 20 V
  3. 0 , 25 V
  4. 0 , 10 V
  5. 0 , 40 V

Passo 1

Pessoal, o enunciado nos pede o valor médio dessa onda bem doida. Para isso, vamos fazer um processo bem simples, que consiste em somar todos os valores e dividir pela quantidade. Se não ficou tão fácil agora, vamos fazer juntos.

Entre os instantes 0 m s e 1 m s , a tensão é igual a:

V 0 - 1 = 1 V

Passo 2

Vamos verificar todos os outros momentos:

  • Entre os instantes 1 m s e 2 m s , a tensão é igual a:
  • V 1 - 2 = - 3 V

  • Entre os instantes 2 m s e 3 m s , a tensão é igual a:
  • V 2 - 3 = 2 V

  • Entre os instantes 3 m s e 4 m s , a tensão é igual a:
  • V 3 - 4 = 3 V

  • Entre os instantes 4 m s e 5 m s , a tensão é igual a:
  • V 4 - 5 = - 1 V

  • Entre os instantes 5 m s e 6 m s , a tensão é igual a:
  • V 5 - 6 = 1 V

  • Entre os instantes 6 m s e 7 m s , a tensão é igual a:
  • V 6 - 7 = - 3 V

  • Entre os instantes 7 m s e 8 m s , a tensão é igual a:
  • V 7 - 8 = 2 V

  • Entre os instantes 8 m s e 9 m s , a tensão é igual a:
  • V 8 - 9 = 3 V

  • Entre os instantes 9 m s e 1 0 m s , a tensão é igual a:

V 9 - 1 0 = - 1 V

Passo 3

Percebeu que temos 10 valores, certo? Vamos somar todos eles e dividir por 10 então.

M é d i a = V 0 - 1 + V 1 - 2 + V 2 - 3 + V 3 - 4 + V 4 - 5 + V 5 - 6 + V 6 - 7 + V 7 - 8 + V 8 - 9 + V 9 - 1 0 10

Substituindo os valores que conhecemos sem a unidade V :

M é d i a = 1 + ( - 3 ) + 2 + 3 + ( - 1 ) + 1 + ( - 3 ) + 2 + 3 + ( - 1 ) 10

Como temos alguns valores negativos sendo somados , vamos manter o sinal negativo e subtrair da conta:

M é d i a = 1 - 3 + 2 + 3 - 1 + 1 - 3 + 2 + 3 - 1 10

Essa conta é igual a:

M é d i a = 4 10

Dividindo 4 por 10 , chegamos a:

M é d i a = 0,4 V

Achamos a resposta final igual a letra “e”! Viu como foi fácil?

Resposta

e )   0,4 V

Exercício Resolvido #5

Qual o valor médio da seguinte corrente senoidal e qual o valor eficaz da mesma?

Passo 1

Você concorda comigo que em um ciclo completo, temos tanto uma parte positiva, quanto uma parte negativa:

E essas duas partes que chamamos de semiciclo positivo e semiciclo negativo são iguais.

Logo se somarmos um valor positivo com o valor negativo de mesmo módulo, será igual a zero:

S o m a = + V - V = 0

Passo 2

Vamos lembrar que a média nada mais é que a soma dos valores dividido pelo número de valores somados, por exemplo, se temos 3 valores iguais a 4 ,   - 1 e 3 e quisermos a média, ela será:

M é d i a = 4 + - 1 + 3 3 = 4 - 1 + 3 3 = 2

Se pensarmos na nossa onda, a soma de todos os semiciclos positivos com a soma de todos os semiciclos negativos é igual a zero. Como a média seria essa soma dividida pelo número de valores que contamos, a soma será igual a zero e a divisão de zero por qualquer número é igual a zero:

M é d i a = 0 n ú m e r o   d e   s e m i c i c l o s = 0

Logo o valor médio é igual a zero!

Passo 3

Através da forma de onda, descobrimos que o valor de pico ou amplitude vale:

V m = 15 - 0 = 15 V

Passo 4

A partir da amplitude da onda, podemos encontrar o valor eficaz V e f i c a z da onda senoidal através:

V e f i c a z = V m √ 2

Substituindo o valor da amplitude:

V e f i c a z = 15 √ 2

Encontramos o valor eficaz igual a:

V e f i c a z = 10,61 V

Percebe a importância do valor eficaz? Apenas a média não traria nenhuma informação sobre a forma de onda, mas temos a ferramenta do valor eficaz. Agora você não vai esquecer mais!

Resposta

V m é d i o = 0   e   V e f i c a z = 10,61 V

Exercício Resolvido #6

A senóide abaixo representa a tensão aplicada em um determinado circuito elétrico. Respectivamente, qual a tensão eficaz fornecida e frequência dessa forma de onda?

  1. 380 V e 0,4 H z
  2. 268,7 V e 2,5 H z
  3. 537,4 V e 2,5 H z
  4. 190 V e 0,4 H z
  5. 0 V e 1 , 4 H z

Passo 1

Bom, o enunciado nos deu o gráfico da tensão e vamos identificar que o valor de pico V P é:

Se esse valor é igual a esse trecho de 0 V a 380 V , a tensão de pico ou amplitude, vale:

V P = 380 - 0 = 380 V

Passo 2

A partir da tensão de pico igual a 380 V :

V P = 380 V

Como é uma forma de onda senoidal, o valor eficaz da senóide é igual ao divisão da tensão de pico pela raiz de dois:

V e f i c a z = V P 2

Substituindo o valor da tensão de pico 380 V :

V e f i c a z = 380 2

Chegamos ao resultado do valor eficaz igual a

V e f i c a z = 268,7 V

Passo 3

Para calcular a frequência da forma de onda, primeiro iremos checar o tempo de cada ciclo:

O intervalo de tempo entre uma onda sair de um ponto, completar uma oscilação no semiciclo positivo e uma no semiciclo negativo e retornar para o mesmo ponto de partida é igual ao período Τ .

Podemos ver no exemplo acima que a onda parte de 0 V percorre o semiclo positivo e depois o negativo e volta a 0 V , isso demora de 0 s até 0,4 s , dessa forma, o período é:

Τ = 0,4 - 0 = 0,4 s

Beleza, conseguimos achar o período.

Passo 4

Mas qual a relação entre período Τ e frequência f ? Bem simples, a relação é dada por:

f = 1 Τ  

Substituindo o valor do período que encontramos:

f = 1 0,4

Encontraremos a frequência igual a:

f = 2,5 H z

Passo 5

Ótimo, nossos resultados para o valor da tensão eficaz é:

268,7 V

Enquanto o valor da frequência é igual a:

2,5 H z

Não esqueça as unidades, campeão! Nos vemos na próxima!

Resposta

b) 268,7 V e 2,5 H z

Exercício Resolvido #7

Considere que uma fonte de corrente alternativa tem seu valor igual a v t = 5 s e n ( 120 π t - π / 6   ) . Assinale a alternativa correta abaixo:

  1. O valor eficaz da tensão será de 14,14 V .
  2. A fonte tem tensão de pico a pico de 5 V .
  3. O valor eficaz da tensão será de 7,07 V .
  4. O valor da tensão de pico vale 10 V .
  5. A fonte tem tensão de pico a pico de 10 V .

Passo 1

Bom, o enunciado nos deu a forma de onda da tensão:

v t = 5 s e n ( 120 π t - π / 6   )

E vamos identificar que o valor de pico é dado:

v t = 5 s e n ( 120 π t - π / 6   )

Já podemos descartar a letra “d”.

Passo 2

A partir da tensão de pico igual a 5 V :

V P = 5 V

Como é uma forma de onda senoidal, o valor eficaz da senóide é igual a divisão da tensão de pico pela raiz de dois:

V e f i c a z = V P 2

Substituindo o valor da tensão de pico 5 V :

V e f i c a z = 5 2

Chegamos ao resultado do valor eficaz igual a

V e f i c a z = 3,54 V

Ou seja, as letras “a” e “c” estão erradas!

Passo 3

A partir de tensão de pico V P , podemos chegar em tensão de pico a pico V P P :

V P P = 2 ⋅ V P

Substituindo o valor da tensão de pico:

V P P = 2 ⋅ 5

Chegamos ao valor de pico a pico é:

V P P = 10 V

Logo a opção correta é a letra “e”!

Resposta

e) A fonte tem tensão de pico a pico de 10 V .

Exercício Resolvido #8

Dada a tensão senoidal v t = 50 cos ⁡ 3 t + 10 ° V , determine:

  1. A amplitude V m ;
  2. O período Τ ;
  3. A frequência f ;
  4. v ( t ) em t = 10 m s ;

Passo 1

Vamos pegar a expressão da forma de onda da tensão:

v t = 50 cos ⁡ 3 t + 10 ° V

E retirar as informações de acordo com o modelo:

Comparando a expressão com o modelo, descobrimos que:

  • A amplitude V m é igual a 50 V
  • V m = 50 V

  • A frequência angular ω é igual a 3
  • ω = 3   r a d / s

  • A fase é igual a 10 °

ϕ = 10 °

Passo 2

Então já respondemos a letra “a”, a amplitude é igual a:

V m = 50 V

Passo 3

A partir da frequência angular:

ω = 3   r a d / s

Vamos descobrir a frequência f   em H z , através da equação:

ω = 2 π f

Substituindo a frequência angular:

3 = 2 π f

Vamos isolar a frequência f de um lado da igualdade:

f = 3 2 π = 0,477 H z

Passo 4

Agora que já temos a frequência f , podemos encontrar o período Τ simplesmente fazendo a inversão:

Τ = 1 f

Vamos logo substituir a frequência que encontramos:

Τ = 1 0,477

Encontramos logo o período igual a:

Τ = 2,09 s

Não esquece da unidade em segundos!

Passo 5

Para encontrar a tensão no tempo t = 10 m s , vamos substituir esse valor de tempo na expressão da tensão:

v t = 50 cos ⁡ 3 t + 10 ° V

Substituindo o tempo

t = 10 m s = 10 ⋅ 10 - 3 s

Na expressão:

v 10 ⋅ 10 - 3 = 50 cos ⁡ 3 ⋅ 10 ⋅ 10 - 3 + 10

Realizando essa multiplicação:

v 10 ⋅ 10 - 3 = 50 cos ⁡ 0,03 + 10

Nós não podemos apenas somar os argumentos que estão dentro do cosseno, porque estão em unidades diferentes. Um está em graus e outra em radiano.

Vamos converter 0,03 r a d para grau. Para isso temos que multiplicar 0,03 por 180 / π :

0,03 ⋅ 180 π = 1,72 °

Então a expressão se torna:

v 10 ⋅ 10 - 3 = 50 cos ⁡ 0,03 + 10 → v 10 ⋅ 10 - 3 = 50 cos ⁡ 1,72 + 10

Somando as parcelas dentro do cosseno:

v 10 ⋅ 10 - 3 = 50 cos ⁡ 1 1,72

Calculando o cosseno de 1 1 , 72 :

cos ⁡ 1 1 , 72 = 0,9 79

Substituindo esse resultado na expressão do cálculo da tensão que estamos fazendo:

v 10 ⋅ 10 - 3 = 50 ⋅ 0,9 79

Chegamos ao resultado:

v 10 m s = 4 8 , 96 V

Acabou a questão! Chegamos aos resultados!

Resposta

  1. V m = 50 V
  2. Τ = 2,09 s
  3. f = 0,477 H z
  4. v 10 m s = 48,96 V

Exercício Resolvido #9

Uma fonte de corrente em um circuito linear tem i s = 15 cos ⁡ 25 π t + 25 ° A .

  1. Qual a amplitude da corrente?
  2. Qual é a frequência angular?
  3. Determine a frequência da corrente?
  4. Calcule i s em t = 2 m s

Passo 1

Vamos pegar a expressão da forma de onda da tensão:

i s = 15 cos ⁡ 25 π t + 25 ° A

E retirar as informações de acordo com o modelo:

Comparando a expressão com o modelo, descobrimos que:

  • A amplitude I m é igual a 15 A
  • I m = 15 A

  • A frequência angular ω é igual a 25 π
  • ω = 25 π   r a d / s

  • A fase é igual a 25 °

ϕ = 25 °

Passo 2

Só no passo 1 já encontramos as respostas das letras “a” e “b”:

I m = 15 A

E

ω = 25 π   r a d / s

Passo 3

A partir da frequência angular ω chegamos no falor da frequência f em H z através da relação:

ω = 2 π f

Substituindo a frequência angular:

25 π = 2 π f

Vamos isolar a frequência f de um lado da igualdade:

f = 25 π 2 π

Cortamos o π que está tanto no numerador quanto no denominador e nos resta:

f = 25 2 = 12,5 H z

Foi rápido né? Essa já é a resposta do item “c”.

Passo 4

A última coisa que precisamos fazer para acabar a questão é substituir o tempo

t = 2 m s

Na expressão:

i s = 15 cos ⁡ 25 π t + 25 ° A

Sem esquecer que o tempo tem que estar em segundos, logo:

t = 2 m s = 2 ⋅ 10 - 3 s

Substituindo na equação:

i s = 15 cos ⁡ 25 π ⋅ 2 ⋅ 10 - 3 + 25 ° A

Realizando a multiplicação:

25 π ⋅ 2 ⋅ 10 - 3 = 0,05 ⋅ π

Substituindo na expressão:

i s = 15 cos ⁡ 0,05 ⋅ π + 25 ° A

Nós não podemos apenas somar os argumentos que estão dentro do cosseno, porque estão em unidades diferentes. Um está em graus e outra em radiano.

Vamos converter 0,0 5 ⋅ π   r a d para grau. Para isso temos que multiplicar 0,05 ⋅ π   por 180 / π :

0,0 5 ⋅ π ⋅ 180 π = 9 °

Então a expressão se torna:

i s = 15 cos ⁡ 0,05 ⋅ π + 25 ° A → i s = 15 cos ⁡ 9 ° + 25 ° A

Somando as parcelas dentro do cosseno:

i s = 15 cos ⁡ 34 ° A

Calculando o cosseno de 34 ° :

cos ⁡ 34 ° = 0 , 829

Substituindo esse resultado na expressão do cálculo da tensão que estamos fazendo:

i s = 15 ⋅ 0,829 A

Chegamos ao resultado:

i s = 12,435 A

Finalmente, chegamos ao final! Te vejo na próxima!

Resposta

  1. I m = 15 A
  2. ω = 25 π   r a d / s
  3. f = 12,5 H z
  4. i s = 12,435 A

Exercício Resolvido #10

Dado v 1 = 45   s e n ( ω t + 30 ° ) V e v 2 = 50 cos ⁡ ω t - 30 ° V , determine o ângulo de fase entre as duas senoides.

Passo 1

Para comparar duas ondas, precisamos que elas estejam em função de cosseno ou de seno, não podemos comparar duas formas de expressão diferentes. Então precisamos passar a expressão:

  v 1 = 45   s e n ( ω t + 30 ° ) V

Para a forma de cosseno, como já está v 2 ! É mais comum trabalhar com formas de onda na forma de cosseno.

Lembra a regra para transformar de seno para cosseno? Vou relembrar aqui.

Caso o sinal que acompanha o seno for negativo, somaremos 90 ° ao ângulo do seno para transformar em cosseno:

- s e n ω t + ∅ = c o s ( ω t + ∅ + 90 ° )

Caso o sinal que acompanha o seno for positivo, subtrairemos 90 ° ao ângulo do seno para transformar em cosseno:

s e n ω t + ∅ = c o s ⁡ ( ω t + ∅ - 90 ° )

No nosso caso, a expressão:

v 1 = 45   s e n ( ω t + 30 ° ) V

Tem como número que acompanha o 45 , ou seja, é positivo. Dessa forma devemos subtrair 90 ° :

s e n ω t + ∅ = c o s ⁡ ( ω t + ∅ - 90 ° )

Passando a expressão para cosseno:

45 s e n ( ω t + 30 ° )

É igual a:

45 c o s ( ω t + 30 ° - 90 ° )

Fazendo essa subtração dentro do cosseno:

30 - 90 = - 60

Chegamos a expressão final:

v 1 = 45 c o s ( ω t - 6 0 ° )

Passo 2

Então temos as duas expressões agora:

v 1 = 45 c o s ( ω t - 60 ° ) V

v 2 = 50 cos ⁡ ω t - 30 ° V

Você está estranhando esses ângulos negativos, eu também prefiro trabalhar com ângulos positivos, então podemos somar 360 °   ao ângulo, porque dessa forma obtemos a forma positiva e não alteramos a direção.

Somando 360 ° nas duas expressões de tensão:

v 1 = 45 c o s ( ω t - 60 ° + 360 ° ) V

v 2 = 50 cos ⁡ ω t - 30 ° + 360 ° V

As somas dentro dos cossenos:

360 - 60 = 300 °

360 - 30 = 330 °

Logo, ficamos com as expressões:

v 1 = 45 c o s ( ω t + 3 0 0 ° ) V

v 2 = 50 cos ⁡ ω t + 3 3 0 ° V

Passo 3

O módulo da tensão v 1 é 45 , enquanto o módulo da tensão v 2 é 50 :

v 1 = 45 c o s ( ω t + 300 ° ) V

v 2 = 50 cos ⁡ ω t + 330 ° V

O ângulo de fase da tensão v 1 é 300 ° , enquanto o módulo da tensão v 2 é 330 ° :

v 1 = 45 c o s ( ω t + 300 ° ) V

v 2 = 5 0 cos ⁡ ω t + 330 ° V

Podemos escrever as tensões como fasores, dessa forma:

v 1 ˙ = 45 ∠ 300 °

v 2 ˙ = 50 ∠ 3 30 °

Colocando essas duas tensões em um diagrama fasorial, vamos considerar apenas o módulo e o ângulo.

Nós queremos encontrar o ângulo de fase θ entre os dois fasores. Nada mais é que subtrair um ângulo do outro:

θ = 330 ° - 300 °

Logo o ângulo de fase θ é igual a:

θ = 30 °

Essa é a resposta que ele tanto queria!

Resposta

θ = 30 °