Lei de Biot-Savart

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Teoria

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um fio condutor retilíneo e muito longo é percorrido por uma corrente elétrica constante, que cria um campo magnético em torno do fio. Esse campo magnético:

  1. É uniforme
  2. Diminui à medida que a distância em relação ao condutor aumenta
  3. Tem o mesmo sentido da corrente elétrica
  4. É paralelo ao fio
  5. É perpendicular ao fio e constante

Passo 1

Gente, se relembrarmos a Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ I   d l → × r ^ r 2

Percebe o seguinte, campo magnético que é gerado pela corrente I que percorre um fio é inversamente proporcional a distância r .

Isso significa que quanto maior a corrente, maior o campo magnético:

↑ I = ↑ B →

Quanto maior a distância r , menor o campo magnético:

↑ r = ↓ B →

Então o campo magnético não é constante! Percebeu? Chegamos até a resposta!

O campo magnético diminui à medida que a distância em relação ao condutor aumenta!

Resposta

b) Diminui à medida que a distância em relação ao condutor aumenta

Exercício Resolvido #2

Em seus trabalhos, no ano de 1820, o físico dinamarquês Oersted fez um condutor ser percorrido por uma corrente elétrica e percebeu que a agulha de uma pequena bússola sofria deflexão. Com essa experiência, foi possível mostrar que:

  1. Uma carga em movimento gera um campo magnético
  2. Uma carga em movimento ou não gera um campo magnético
  3. Uma carga em movimento ou não gera um campo elétrico
  4. carga em movimento gera um campo elétrico
  5. Nenhuma evidência física foi percebida

Passo 1

Vamos nos lembrar que quando percorremos um condutor com uma corrente, é gerado em torno do fio um campo magnético.

Dessa forma, a bússola é um instrumento para indicar os polos do campo magnético da Terra, quando essa bússola fica perto de um outro campo magnético, como esse gerado pelo fio percorrido pela corrente, ela irá ler esse campo com sua agulha, por isso Oersted percebeu a deflexão da agulha da bússola.

Passo 2

Percebe que falamos o tempo todo sobre campo magnético que é objetivo da leitura da bússola, logo, podemos cortar as opções “c” e “d”, pois falam de campo elétrico.

Passo 3

Outro princípio que utilizamos nesse experimento é que a corrente elétrica que percorre o fio, nada mais é do que um movimento de cargas, certo? A corrente elétrica é o movimento ordenado de elétrons de um ponto a outro do fio.

Então são cargas em movimento que geram o campo magnético!

Achamos a resposta, ela só pode ser a letra “a”!

Resposta

  1. Uma carga em movimento gera um campo magnético

Exercício Resolvido #3

Considere um fio longo reto, percorrido por uma corrente elétrica constante. O módulo do vetor indução magnética produzido pela corrente a 2,0cm do fio é igual a 2,0T. Qual a intensidade do vetor indução magnética a 1,0cm do mesmo fio, quando percorrido pela mesma corrente?

  1. 1,0T
  2. 8,0T
  3. 0,25T
  4. 2,0T
  5. 4,0T

Passo 1

Bom pessoal, relembrando a Lei de Biot-Savart nos diz que, o campo magnético B → é proporcional a corrente I e inversamente proporcional a distância r entre o ponto onde se deseja calcular o campo e onde circula a corrente:

B → = μ 0 4 π ∫ I   d l → × r ^ r 2

Como temos um produto vetorial entre o vetor distância r ^ e o elemento diferencial d l → por onde circula a corrente e esse produto é dividido por r 2 , no final ficamos apenas com a corrente dividida pela distância:

B → = μ 0 4 π I r

Quanto maior a distância r menor será o campo:

↑ r = ↓ B →

Ao mesmo tempo, quanto menor a distância r maior será o campo:

↓ r = ↑ B →

Passo 2

Se o campo magnético é igual a:

B → = 2,0 T

Quando a distância r é igual a:

r = 2,0 c m = 2 ⋅ 10 - 2 m

Passo 3

Quando mudamos a distância para:

r = 1,0 c m = 1,0 ⋅ 10 - 2 m

Concorda comigo que a distância nova é duas vezes menor que a distância antiga? Veja:

r a n t i g o r n o v o = 2 ⋅ 10 - 2 1 ⋅ 10 - 2

Como as potências de 10 são iguais, podemos cortar a potência de cima com a de baixo:

r a n t i g o r n o v o = 2 1 = 2

Passo 4

Dessa forma como a distância diminuiu para duas vezes, o campo aumentou proporcionalmente a duas vezes:

r a n t i g o = 2 ⋅ r n o v o

Logo:

B n o v o = 2 ⋅ B a n t i g o

O campo magnético dado no enunciado é:

B a n t i g o = 2,0 T

Substituindo o valor antigo do campo magnético:

B n o v o = 2 ⋅ 2 = 4,0 T

Chegamos na resposta!

Resposta

e) 4,0T

Exercício Resolvido #4

Suponha um fio de cobre, reto e extenso, que é percorrido por uma corrente i = 1,5 A . Qual é a intensidade do vetor campo magnético originado em um ponto à distância r = 0,25 m do fio?

  1. B = 4,8   × 10 - 6 T
  2. B = 10 - 6 T
  3. B = 1,2   × 10 - 6 T
  4. B = 0,6   × 10 - 6 T
  5. B = 2,4   × 10 - 6 T

Passo 1

Bom pessoal, vamos relembrar a Lei de Biot-Savart, ela diz que:

B → = μ 0 4 π ∫ I   d l → × r ^ r 2

O campo magnético é calculado como o produto entre uma constante μ 0 4 π pela integral da corrente pelo caminho que ela percorre ( I ⋅ d l ) e dividido pela distância r . O sentido do campo magnético é dado pelo produto vetorial entre o vetor caminho percorrido pela corrente d l e o vetor distância r .

Passo 2

Como nós queremos apenas calcular o módulo do campo, podemos desconsiderar o produto vetorial:

B → = μ 0 4 π ∫ I d l ⋅ r r 2

A integral da corrente ao longo do caminho que percorre ( I ⋅ d l ) é igual a corrente dada no enunciado ( 1,5 A ) :

B → = μ 0 4 π I ⋅ r r 2 = μ 0 4 π ⋅ 1,5 ⋅ r r 2

Enquanto podemos substituir a distância dada no enunciado também:

r = 0,25 m

A substituição é igual a:

B → = μ 0 4 π ⋅ 1,5 ⋅ 0,25 0,25 2

E por último, quem vale a permeabilidade magnética μ 0 ? Ela vale:

μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 N / A 2

Substituindo na equação, encontramos:

B → = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 4 π ⋅ 1,5 ⋅ 0,25 0,25 2

Passo 3

B → = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 4 π ⋅ 1,5 ⋅ 0,25 0,25 2

Agora podemos começar a resolver essa equação para encontrarmos o valor do módulo do campo magnético.

Como temos na primeira parcela 4 π tanto no numerador da fração quanto no denominador, podemos cortar um com o outro, dessa forma:

B → = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 4 π ⋅ 1,5 ⋅ 0,25 0,25 2 = 10 - 7 ⋅ 1,5 ⋅ 0,25 0,25 2

Vamos fazer essa multiplicação? Vamos lá:

B → = 0 , 375 0,25 2 ⋅ 10 - 7

Elevando 0,25 2 , temos:

0,25 2 = 0,25 ⋅ 0,25 = 0,0625

Substituindo na equação:

B → = 0,375 0,0625 ⋅ 10 - 7

Fazendo a última divisão:

B → = 6 ⋅ 10 - 7 T

Não esquece a unidade!

Passo 4

Mas percebe que ainda não está no exato formato das opções informadas.

Quando a vírgula não é escrita, secretamente ela está depois do último dígito. Nesse caso, a vírgula estaria depois do 6 . Precisamos passar ela para antes do 6 , mas temos que fazer isso dentro da legalidade matemática, beleza?

Uma dica para mover a vírgula é a seguinte:

  • Quero mover a vírgula N casas para a esquerda Tenho que somar N no expoente do 10 .
  • Quero mover a vírgula N casas para a direita Tenho que subtrair N no expoente do 10 .

Onde o N pode ser qualquer número de casas que você queira andar com a vírgula. No nosso caso, precisamos andar 1 casas para a esquerda, então temos que somar 1 no expoente do 10 , sacou?

Então o expoente do 10 será - 7 + 1 = - 6

B → = 6 ⋅ 10 - 7 T = 0,6 ⋅ 10 - 6 T

Ihhhh achamos a resposta!! Letra “d”!

Resposta

d) B = 0,6   × 10 - 6 T

Exercício Resolvido #5

A intensidade o campo magnético produzido no interior de um solenóide muito comprido percorrido por corrente elétrica, depende basicamente:

  1. Do comprimento do solenóide
  2. Do diâmetro interno do solenóide
  3. Do número de espiras por unidade de comprimento e intensidade da corrente
  4. Só do número de espiras do solenóide
  5. Só da intensidade da corrente

Passo 1

Vamos começar entendendo o que é um solenóide. Solenóide é um conjunto de espiras de um material condutor enroladas juntas.

Passo 2

O módulo do campo magnético de um solenóide é igual a:

B → = μ ⋅ N ⋅ I L

Sendo N o número de espiras que tem o solenóide, I é a corrente e L o comprimento do solenóide.

Ou seja, o campo não só depende da corrente:

I

Como também do número de espiras N pela unidade de comprimento:

N L

Ou seja, a letra “c” é a verdade

Resposta

c) Do número de espiras por unidade de comprimento e intensidade da corrente

Exercício Resolvido #6

Qual o módulo do campo magnético gerado por um solenóide com número de espiras igual a N = 10 e s p , corrente circulando I = 2 A e comprimento L = 20 c m em um meio com permeabilidade magnética igual a 4,5   × 10 - 7 N / A 2 .

Passo 1

O módulo do campo magnético de um solenóide é igual a:

B → = μ ⋅ N ⋅ I L

Sendo N o número de espiras que tem o solenóide, I é a corrente e L o comprimento do solenóide. E a constante da permeabilidade magnética μ .

Passo 2

Vamos reunir todos os dados que foram fornecidos pelo enunciado:

N = 10

I = 2

L = 20 c m = 20 ⋅ 10 - 2

Não podemos esquecer de passar para metro!

μ = 4,5 ⋅ 10 - 7

Substituindo na equação:

B → = 4,5 ⋅ 10 - 7 ⋅ 10 ⋅ 2 20 ⋅ 10 - 2

Passo 3

Vamos começar pela multiplicação entre os números:

4,5 ⋅ 10 ⋅ 2 = 90

Voltando para a equação:

B → = 90 ⋅ 10 - 7 20 ⋅ 10 - 2

Dividindo 90 por 20 :

90 20 = 4,5

Substituindo na equação:

B → = 4,5 ⋅ 10 - 7 10 - 2

Para fechar completamente, vamos dividir essas potências de 10 :

10 - 7 10 - 2

Como temos a mesma base com expoentes diferentes, a divisão será manter a base e subtrair os expoentes:

10 - 7 10 - 2 = 10 - 7 - ( - 2 ) = 10 - 7 + 2

Essa subtração é igual a - 7 + 2 = - 5 .

10 - 7 10 - 2 = 10 - 5

Substituindo no resultado:

B → = 4,5 ⋅ 10 - 5 T

Não se esqueça da unidade! Porque nós já chegamos na resposta que queremos entregar!

Resposta

B → = 4,5 ⋅ 10 - 5 T

Exercício Resolvido #7

Encontre a intensidade do campo magnético B → no centro da espira devido a corrente que circula pela mesma, conforme a figura abaixo:

Passo 1

Primeiro, devemos lembrar que o cálculo do módulo do campo magnético em uma espira circular é igual a:

B → = μ 0 ⋅ i 2 ⋅ r

Então o campo magnético varia de acordo com a corrente elétrica i que percorre a espira de raio r , além da permeabilidade magnética do vácuo μ 0 .

Passo 2

Os valores que nos foram dados são:

r = 0,5 m

i = 10 A

E a permeabilidade magnética do vácuo é igual a:

μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 T ⋅ m / A

Passo 3

Então substituindo esses valores na equação:

B → = μ 0 ⋅ i 2 ⋅ r

Temos:

B → = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 10 2 ⋅ 0,5

Multiplicando os números do numerados:

4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 10 = 12,566 ⋅ 10 - 7 ⋅ 10 1

A multiplicação entre duas potências de 10 , como se trata da mesma base e expoentes diferentes, nós mantemos a base e somamos os expoentes:

10 - 7 ⋅ 10 1 = 10 - 7 + 1 = 10 - 6

Logo:

B → = 12,566 ⋅ 10 - 6 2 ⋅ 0,5

A multiplicação no denominador da fração:

2 ⋅ 0,5 = 1

Então:

B → = 12,566 ⋅ 10 - 6 1

Qualquer divisão por 1 é igual ao próprio número, então o módulo do campo magnético é igual a :

B → = 12,566 ⋅ 10 - 6 T

Passo 4

Quando um número está multiplicado por 10 - 6 , nós podemos substituir pelo prefixo micro ( μ ) que acompanhará a unidade, então:

B → = 12,566 ⋅ 10 - 6   T = 12,566   μ T

Resposta

B → = 12,566   μ T

Exercício Resolvido #8

Dado que a intensidade do campo magnético de uma espira circular seja 2   T , Mariana enrolou 7 espiras iguais a inicial, formando uma bobina chata e deseja saber experimentalmente qual deve ser o campo magnético gerado pela bobina chata, qual resultado ela deve esperar e por quê.

Passo 1

Vamos primeiro entender quem é a intensidade do campo magnético em uma espira, ela é dada pela fórmula:

B e s p i r a → = μ 0 ⋅ i 2 ⋅ r

Então o campo magnético varia de acordo com a corrente elétrica i que percorre a espira de raio r , além da permeabilidade magnética do vácuo μ 0 .

E no nosso problema, ela vale:

B e s p i r a → = μ 0 ⋅ i 2 ⋅ r = 2   T

Passo 2

E como calculamos a intensidade do campo magnético de uma bobina chata? Dessa forma:

B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

Agora, além do raio r que é uma característica construtiva, acrescentamos a característica n que é o número de voltas que a bobina tem. Também depende da corrente i .

Passo 3

Comparando a intensidade do campo magnético da bobina e o da espira, percebemos que a intensidade do campo magnético da bobina é igual a intensidade da espira multiplicada pelo número de voltas:

B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

E

B e s p i r a → = μ 0 ⋅ i 2 ⋅ r

Então:

B b o b i n a → = B e s p i r a → ⋅ n

Passo 4

Nós sabemos que o valor da intensidade do campo magnético na bobina é igual a:

B e s p i r a → = 2   T

Enquanto o número de voltas da bobina chata é igual a:

n = 7

Logo, o valor da intensidade do campo magnético gerado pela bobina é igual a:

B b o b i n a → = B e s p i r a → ⋅ n = 2 ⋅ 7

Então:

B b o b i n a → = 14   T

Nunca esqueça a unidade!

Passo 5

Logo, esperamos que a intensidade do campo magnético aumente para 14   T , isso ocorre, pois a bobina chata nada mais é do que várias espiras juntas, o que aumenta a intensidade do campo magnético gerado!

Resposta

Mariana deve esperar um campo com intensidade igual a 14   T , pois a bobina chata é formada por várias espiras juntas.

Exercício Resolvido #9

Dada uma bobina chata de n = 5   e s p i r a s e corrente circulando igual a i = 6 A :

  1. Qual deve ser o raio R dessa espira caso deseje encontrar o módulo da intensidade de campo magnético igual a B → = 3   T no centro da bobina.
  2. Se reduzirmos a corrente pela metade e desejarmos manter o mesmo módulo de intensidade de campo magnético, qual deve ser o novo raio?

Considere π = 3 .

Passo 1

Como estamos sempre falando de uma bobina chata, vamos relembrar como calculamos o módulo da intensidade do campo magnético:

B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

Logo, temos o produto da permeabilidade magnética do vácuo, corrente e número de espiras, dividido pelo dobro do raio da bobina.

Passo 2

Para começar a fazer a letra “a”, vamos levantar os dados que já temos:

μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 T ⋅ m / A

i = 6   A

n = 5   e s p i r a s

B → = 3   T

Como todas as unidades estão de acordo com as unidades da fórmula, podemos prosseguir e substituir os valores na fórmula:

B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

Teremos então:

3 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ r

Passo 3

Para resolver e encontrar r , vamos passar todos os números para um lado só da igualdade:

3 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ r

Começaremos passando o r para o outro lado multiplicando:

3 ⋅ r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2

Como não queremos aquele 3 multiplicando o raio, vamos passar para o outro lado da igualdade, ele irá para o outro lado dividindo:

r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ 3

Percebe que como já havia o 2 dividindo todo o numerador da fração, o 3 agora passou a ajudar nessa divisão, então ele multiplica o 2 .

Considerando π = 3 :

r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 ⋅ 3

O produto no numerador será:

4 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 5 = 360

Logo:

r = 360 ⋅ 10 - 7 2 ⋅ 3

Enquanto o produto no denominador será:

2 ⋅ 3 = 6

Logo:

r = 360 ⋅ 10 - 7 6

Dividindo 360 por 6 :

r = 360 6 ⋅ 10 - 7 = 60 ⋅ 10 - 7 m

Passo 4

Percebe que ficou meio esquisito esse número, podemos deixar ele com uma cara mais bonita se movimentarmos a vírgula e colocarmos um prefixo na unidade, ao invés daquela potência de 10 .

Começando pela vírgula, quando a vírgula não é escrita, secretamente ela está depois do último dígito. Nesse caso, a vírgula estaria depois do 0 do 60 . Precisamos passar ela para depois do 6 , mas temos que fazer isso dentro da legalidade matemática, beleza?

Uma dica para mover a vírgula é a seguinte:

  • Quero mover a vírgula N casas para a esquerda Tenho que somar N no expoente do 10 .
  • Quero mover a vírgula N casas para a direita Tenho que subtrair N no expoente do 10 .
  • Onde o N pode ser qualquer número de casas que você queira andar com a vírgula. No nosso caso, precisamos andar 1 casas para a esquerda, então temos que somar 1 no expoente do 10 , sacou?

    Então o expoente do 10 será - 7 + 1 = - 6  

    r = 60 ⋅ 10 - 7 = 6,0 ⋅ 10 - 6 m

    Você lembra que números multiplicados por 10 - 6 terão o prefixo micro " μ " ? Então veja:

    r = 6,0 ⋅ 10 - 6 m = 6,0   μ m

    É um raio minúsculo, tadinho. Vamos para a letra “b”!

    Passo 5

    Na letra “b”, o enunciado nos disse que reduziremos a corrente pela metade, ou seja, a nova corrente será:

    i = 6 2 = 3 A

    Mas os outros dados da bobina irão se manter os mesmos:

    μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 T ⋅ m / A

    n = 5   e s p i r a s

    B → = 3   T

    Inclusive a intensidade do campo magnético!

    Precisamos aplicar na fórmula tudo de novo, como fizemos na letra “a”, mas agora com esse novo valor da corrente:

    B b o b i n a → = μ 0 ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ r

    Teremos então:

    3 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ r

    Passo 6

    Para resolver e encontrar r , vamos passar todos os números para um lado só da igualdade:

    3 = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ r

    Começaremos passando o r para o outro lado multiplicando:

    3 ⋅ r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2

    Como não queremos aquele 3 multiplicando o raio, vamos passar para o outro lado da igualdade, ele irá para o outro lado dividindo:

    r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3

    Percebe que como já havia o 2 dividindo todo o numerador da fração, o 3 agora passou a ajudar nessa divisão, então ele multiplica o 2 .

    Considerando π = 3 :

    r = 4 ⋅ π ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3

    O produto no numerador será:

    4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 180

    Logo:

    r = 18 0 ⋅ 10 - 7 2 ⋅ 3

    Enquanto o produto no denominador será:

    2 ⋅ 3 = 6

    Logo:

    r = 18 0 ⋅ 10 - 7 6

    Dividindo 18 0 por 6 :

    r = 360 6 ⋅ 10 - 7 = 3 0 ⋅ 10 - 7 m

    Fazendo o mesmo processo de mudar a vírgula de lugar!

    Passo 7

    Quando a vírgula não é escrita, secretamente ela está depois do último dígito. Nesse caso, a vírgula estaria depois do 0 do 60 . Precisamos passar ela para depois do 6 , mas temos que fazer isso dentro da legalidade matemática, beleza?

    Uma dica para mover a vírgula é a seguinte:

  • Quero mover a vírgula N casas para a esquerda Tenho que somar N no expoente do 10 .
  • Quero mover a vírgula N casas para a direita Tenho que subtrair N no expoente do 10 .

Onde o N pode ser qualquer número de casas que você queira andar com a vírgula. No nosso caso, precisamos andar 1 casas para a esquerda, então temos que somar 1 no expoente do 10 , sacou?

Então o expoente do 10 será - 7 + 1 = - 6  

r = 3 0 ⋅ 10 - 7 = 3 , 0 ⋅ 10 - 6 m

Você lembra que números multiplicados por 10 - 6 terão o prefixo micro " μ " ? Então veja:

r = 3 , 0 ⋅ 10 - 6 m = 3 , 0   μ m