Conservação de Energia

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um bloco de massa m cai de uma determinada altura e choca frontalmente contra a extremidade de uma mola ideal, cuja a extremidade oposta está presa no chão horizontal rígido. Selecione a alternativa que preenche corretamente as lacunas no parágrafo abaixo, na ordem em que elas aparecem.

Durante a etapa de compressão da mola, a energia cinética do bloco__________ e a energia potencial elástica armazenada no sistema massa-mola ___________. No ponto de inversão do movimento, a velocidade do bloco é zero e sua aceleração é ______________.

  1. Diminui, aumenta, máxima.
  2. Aumenta, diminuir, zero
  3. Diminui, diminui, máxima
  4. Aumenta, diminui, máxima
  5. Diminui, aumenta, zero

Passo 1

Bom pessoal, vamos pensar em uma coisa, quando a mola está sendo comprimida, ela tem uma velocidade que vai diminuindo até chegar ao ponto em que a velocidade é igual a zero e a o bloco não se move mais, certo?

Então como a energia cinética é dada pelo produto da massa pela velocidade ao quadrado dividida por dois:

E C = m ⋅ v 2 2

E como a massa do bloco sempre será m , a energia dependerá da mudança da velocidade v !

Vamos supor a massa igual a 20 k g , se no começo da compressão da mola, a velocidade é igual 10   m / s , a energia cinética inicial é igual a:

E C = 20 ⋅ 10 2 2 = 20 ⋅ 100 2 = 1000 J

Quando terminar o movimento de compressão, a velocidade será 0 m / s , logo a energia cinética será:

E C = 20 ⋅ 0 2 2 = 0 J

Ou seja, a energia cinética diminui!

Passo 2

Enquanto a energia cinética está diminuindo, o bloco está comprimindo a mola, ou seja, está aumentando a deformação x da mola.

Então como a energia potencial elástica é dada pelo produto da constante elástica da mola com a deformação ao quadrado dividida por dois:

E p l = K ⋅ x 2 2

E como a constante elástica da mola é sempre K , a energia dependerá da mudança da deformação x !

Vamos supor a constante elástica da mola igual a 20   N / m , se no começo da compressão da mola, a deformação é igual 0   m , a energia potencial elástica inicial é igual a:

E p l = 20 ⋅ 0 2 2 = 0 J

Quando terminar o movimento de compressão, a deformação será 1 0 m , logo a energia potencial elástica será:

E p l = 20 ⋅ 1 0 2 2 = 20 ⋅ 100 2 = 10 0 0 J

Ou seja, a energia potencial elástica aumenta!

Passo 3

Imagina comigo, que a massa comprimiu a mola e chegou a velocidade zero, depois disso, a mola vai empurrar a massa pra longe. Mas como que a massa vai adquirir velocidade para se mover para longe se a velocidade é zero?

Simples, a aceleração será máxima para empurrar essa massa e voltar com a mola para sua posição normal.

Logo nesse ponto, onde a velocidade é igual a zero, a aceleração é máxima!

Resposta

a) Diminui, aumenta, máxima.

Exercício Resolvido #2

Um coco maduro desprende-se de um coqueiro a uma distância de 12 m do solo. Determine a velocidade do coco no instante imediatamente anterior a ele tocar no solo.

Considere g = 10 m / s 2 .

  1. 12m/s
  2. 15,5m/s
  3. 18m/s
  4. 24m/s
  5. 9,8m/s

Passo 1

Essa é uma típica questão de conservação de energia, ou seja, a soma de energia potencial e energia cinética iniciais é igual a soma da energia potencial e cinética finais:

E p g   i n i c i a l + E p l   i n i c i a l + E c   i n i c i a l =   E p g   f i n a l + E p l   f i n a l + E c   f i n a l

Percebe que não tem nenhuma mola no problema, então vamos cortar a energia potencial elástica dessa igualdade:

E p g   i n i c i a l + E c   i n i c i a l =   E p g   f i n a l + E c   f i n a l

Passo 2

Pessoal, o coco cai de uma altura, ou seja, tem uma energia potencial gravitacional inicial:

E p g   i n i c i a l = m ⋅ g ⋅ h

Podemos substituir os valores dados no enunciado:

h = 12   m

g = 10   m / s 2

A energia potencial gravitacional é igual a:

E p g   i n i c i a l = m ⋅ 10 ⋅ 12

Logo:

E p g   i n i c i a l = 120 ⋅ m   J

Ficou preocupado, porque não sabemos a massa m ? Não fique, eu vou te mostrar como vamos passar por cima disso!

Passo 3

Como o coco estava paradinho no coqueiro quando o movimento começou, a velocidade inicial é igual a zero:

v = 0   m / s

Como a energia cinética inicial é igual a:

E c   i n i c i a l = m ⋅ v 2 2  

Podemos substituir os valores dados:

E c   i n i c i a l = m ⋅ 0 2 2 = 0 J

Passo 4

Logo a energia mecânica inicial total é igual a:

E m e c â n i c a   i n i c i a l = E p g   i n i c i a l + E c   i n i c i a l

Substituindo os valores das energias que encontramos:

E m e c â n i c a   i n i c i a l = 120 ⋅ m + 0 = 120 ⋅ m

Passo 5

Agora no final do movimento, o coco está na altura do chão, então h = 0   m , logo a energia potencial gravitacional é:

E p g   f i n a l = m ⋅ g ⋅ h

Substituindo os valores:

E p g   f i n a l = m ⋅ 10 ⋅ 0 = 0 J

Passo 6

Quando chegamos no chão, o coco está com uma velocidade v que não sabemos e queremos encontrar. Logo a energia cinética será igual a:

E c   f i n a l = m ⋅ v 2 2

Passo 7

Logo a energia mecânica final total é igual a:

E m e c â n i c a   f i n a l = E p g   f i n a l + E c   f i n a l

Substituindo os valores das energias que encontramos:

E m e c â n i c a   f i n a l = 0 + m ⋅ v 2 2 = m ⋅ v 2 2

Passo 8

Vamos conservar a energia? Então vamos igualar a energia mecânica inicial e final:

E p g   i n i c i a l + E c   i n i c i a l =   E p g   f i n a l + E c   f i n a l

Substituindo os valores que encontramos:

120 ⋅ m = m ⋅ v 2 2

Percebeu que temos uma multiplicação de cada lado? E essas duas multiplicações tem a massa m como um dos fatores, então podemos cortar a massa dos dois lados! Vamos nessa:

120 = v 2 2

Agora só ficamos com um dado que não conhecemos que é a velocidade final v , para achar esse valor, vamos isolar v de um lado só da igualdade:

v 2 = 120 ⋅ 2 = 240

Precisamos extrair a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

v 2 = v = 240 = 15,5 m / s

Essa é a velocidade que o coco tem quando chega ao chão!

Resposta

b) 15,5 m / s

Exercício Resolvido #3

Um corpo de massa 10   k g é abandonado a partir do repouso de uma altura de 45   m , num local onde a aceleração da gravidade é de g = 10   m / s 2 . Calcule a energia cinética desse corpo ao atingir o solo. Considere que o sistema seja conservativo.

Passo 1

Faaala aí! Tudo certinho? Espero que sim porque vamos continuar nossos estudos sobre Conservação de Energia!

Bom, o enunciado diz pra gente que o sistema é conservativo. E o que isso quer dizer?

Quer dizer que a energia mecânica total permanece constante, ou seja,

E m = c o n s t a n t e

Isso diz pra gente que:

E m i = E m f

E a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial de um corpo em certo momento

E m = E c + E p

E só lembrando aqui rapidinho, temos que a energia cinética é dada por

E c = m ⋅ v 2 2

E a energia potencial gravitacional é separada pela energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.

E p = E p g + E p l

Cada uma delas é calculada desse jeitinho aqui

E p g = m ⋅ g ⋅ h

E p l = k ⋅ x 2 2

Passo 2

Show de bola, mas quem são as nossas energias mecânicas inicial e final?

Bom, no começo temos um corpo abandonado (ou seja, com v 0 = 0 ) de uma altura de 45   m . Opa, então não temos velocidade e temos altura, ou seja

E m i = E c + E p

No caso do momento inicial temos a velocidade igual a zero, então a energia cinética é zero!

E m i = E p

No enunciado não temos nada sobre molas, apenas uma altura, então vamos trabalhar só com a gravitacional, então temos que

E m i = m ⋅ g ⋅ h

Substituindo os valores do enunciado, temos que

E m i = 10 ⋅ 10 ⋅ 45

Isso dá pra gente que

E m i = 4.500   J

Beleza, vamos guardar esse resultado que jájá vamos usar!

Passo 3

Beleza, agora vamos pra cima da E m f , a energia mecânica final.

No enunciado é pedido a energia cinética do corpo ao atingir o solo. Lembrando que a energia mecânica é dada por:

E m = E c + E p

Se liga, ao atingir o solo, vamos ter uma velocidade desse corpo e – presta bem atenção aqui – a altura dele vai ser nula! Porque chegou no fundo do poço kkk, brincadeira chegou no chão então a altura vai ser zero, tranquilo?

Como não temos nada sobre molas e a altura é zero, a energia potencial final vai ser nula!

E m f = E c

Passo 4

Show de bola, como a gente já viu nessa questão, a energia mecânica se conserva, ou seja,

E m i = E m f

Como queremos achar a energia cinética quando o corpo chega ao solo, só precisamos igualar as energia mecânica que achamos!

E m i = 4.500   J

E m f = E c

Igualando, temos que

4.500 = E c

Isso dá pra gente que

E c = 4.500   J

Resposta

E c = 4.500   J

Exercício Resolvido #4

Um corpo de massa 100   k g é abandonado a partir do repouso de uma altura de 3 2 0   m , num local onde a aceleração da gravidade é 10   m / s 2 . Calcule a velocidade desse corpo ao atingir o solo. Considere que o sistema seja conservativo.

Passo 1

Opa, tudo certinho? Vamos com tudo pra cima dessa questão sobre Conservação de Energia!

No enunciado temos uma informação muito importante no final, que diz “Considere que o sistema é conservativo.” E o que isso quer dizer?

Quer dizer que a energia mecânica total permanece constante, ou seja,

E m = c o n s t a n t e

Isso diz pra gente que:

E m i = E m f

E a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial de um corpo em certo momento

E m = E c + E p

E só lembrando aqui rapidinho, temos que a energia cinética é dada por

E c = m ⋅ v 2 2

E a energia potencial gravitacional é separada pela energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.

E p = E p g + E p l

Cada uma delas é calculada desse jeitinho aqui

E p g = m ⋅ g ⋅ h

E p l = k ⋅ x 2 2

Beleza, agora que a gente tá com isso fresquinho na cabeça, vamos partir pra cima da questão!

Passo 2

“Tranquilo, relembrei tudo, mas quem são as nossas energias mecânicas inicial e final?”

Vamos começar com a energia mecânica inicial, o enunciado diz que o corpo foi abandonado, ou seja, partiu do repouso → v i = 0 quando isso acontece, podemos afirmar que a energia cinética nesse momento é zero!

E m i = E p

No enunciado não temos nada sobre molas, apenas uma altura, então vamos trabalhar só com a gravitacional, então temos que

E m i = m ⋅ g ⋅ h

Substituindo os valores do enunciado, temos que

E m i = 100 ⋅ 10 ⋅ 320

Isso dá pra gente que

E m i = 320.000   J

Beleza, vamos segurar esse resultado aí!

Passo 3

Beleza, agora vamos pra cima da E m f , a energia mecânica final.

No enunciado é pedido a velocidade do corpo ao atingir o solo. Lembrando que a energia mecânica é dada por:

E m = E c + E p

Se liga, ao atingir o solo, vamos ter uma velocidade desse corpo e – presta bem atenção aqui – a altura dele vai ser nula!

Como não temos nada sobre molas e a altura é zero, a energia potencial final vai ser nula!

E m f = E c

Substituindo a energia cinética pela fórmula dela, temos

E m f = m ⋅ v 2 2

Substituindo os valores que temos, ficamos com

E m f = 100 ⋅ v 2 2

Simplificando temos que

E m f = 50 ⋅ v 2

Passo 4

Show de bola, como a gente já viu nessa questão, a energia mecânica se conserva, ou seja,

E m i = E m f

Como queremos achar a energia cinética quando o corpo chega ao solo, só precisamos igualar as energia mecânica que achamos!

E m i = 320 . 0 00   J

E m f = E c

Igualando, temos que

320.000 = 50 ⋅ v 2

Passando o 50   dividindo, temos que

v 2 = 320.000 50

Simplificando, ficamos com

v 2 = 6.400

Agora, aplicando a raiz quadrada, vamos ter que

v = 6.400

Isso dá pra gente que

v = 80 m s

Rápido né? Hehe mas é isso

Resposta

v = 80 m s

Exercício Resolvido #5

Um corpo de massa 1   k g com velocidade de 8 m / s de módulo, que se move sobre uma superfície horizontal, choca-se frontalmente com a extremidade livre de uma mola ideal de constante elástica 4 ⋅ 10 4   N / m .

Qual a compressão máxima sofrida pela mola?

Passo 1

Faaaaaaala aí! Vamo que vamo pra cima de mais uma questão sobre Conservação de Energia.

Vamos considerar que a energia mecânica é conservada, ou seja, ela permanece constante, então temos que:

E m i = E m f

E a energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial de um corpo em certo momento

E m = E c + E p

E só lembrando aqui rapidinho, temos que a energia cinética é dada por

E c = m ⋅ v 2 2

E a energia potencial gravitacional é separada pela energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.

E p = E p g + E p l

Cada uma delas é calculada desse jeitinho aqui

E p g = m ⋅ g ⋅ h

E p l = k ⋅ x 2 2

Show, agora que já relembramos uns conceitos importantes vamos começar de fato o problema

Passo 2

Vamos começar olhando a energia mecânica inicial, temos que

v = 8 m s

m = 1   k g

Como aqui não temos diferença de altura e ainda não chegamos na mola, vamos ter apenas a energia cinética, então temo que

E m i = E c

E como a energia cinética é m v 2 2 , temos que

E m i = m ⋅ v 2 2

Substituindo pelos valores que tiramos do enunciado, ficamos com:

E m i = 1 ⋅ 8 2 2

Temos que

8 2 = 8 ⋅ 8 = 64

Entao ficamos com

E m i = 1 ⋅ 64 2

Simplificando ficamos com:

E m i = 32   J

Passo 3

Show de bolinhas, agora vamos pra cima da E m f , a energia mecânica final.

Ele pede a compressão máxima sofrida pela mola. Isso acontece quando a velocidade é igual a zero. Porque vai ser o máximo que o bloco na velocidade dele vai conseguir apertar a mola, depois disso ela vai empurrar ele de volta.

Entao como não temos variação de altura e nem velocidade, temos que

E m f = E p l

Isso quer dizer que

E m f = k ⋅ x 2 2

Substituindo k por 4 ⋅ 10 4 , temos

E m f = 4 ⋅ 10 4 ⋅ x 2 2

Simplificando temos:

E m f = 2 ⋅ 10 4 ⋅ x 2  

Passo 4

Belezinha, como a gente já viu nessa questão, a energia mecânica se conserva, ou seja,

E m i = E m f

Como queremos achar a energia cinética quando o corpo chega ao solo, só precisamos igualar as energia mecânica que achamos!

E m i = 32   J

E m f = E c

Igualando, temos que

32 = 2 ⋅ 10 4 ⋅ x 2

Passando o 2 ⋅ 1 0 4   dividindo, temos que

x 2 = 32 2 ⋅ 10 4

Simplificando, ficamos com

v 2 = 16 10 4

Agora, aplicando a raiz quadrada, vamos ter que

v = 16 10 4

Vamos separar essas raízes! (podemos fazer isso porque é uma divisão pra soma não pode!)

v = 16 ⋅ 1 10 4

Raíz de 16 , beleza! Agora para raiz de 1 10 4 vamos pegar o expoente de 10 e dividir por dois, já que a raiz é a mesma coisa que elevar à 1 2

Vamos ter então

x = 4 ⋅ 1 1 2 10 4 2

Isso da pra gente

x = 4 ⋅ 1 10 2

Como 10 2 = 100 , temos que

x = 4 100

Isso nos dá

x = 0,04   m

Que também podemos escrever como

x = 4   c m

Resposta

0,04   m ou 4   c m

Exercício Resolvido #6

Uma bola de 2 k g a uma velocidade de 5 m / s atinge uma mola de constante elástica igual a K que sofre uma compressão de 20 c m . Calcule a constante elástica da mola.

Considere g = 10 m / s 2 .

  1. 1.250   N / m
  2. 2.500   N / m
  3. 625   N / m
  4. 313   N / m
  5. 2.600   N / m

Passo 1

Vamos conservar a energia do movimento da bola, transformando em deformação da mola! A conservação da energia mecânica diz que a soma de energia potencial e energia cinética iniciais é igual a soma da energia potencial e cinética finais:

E p g   i n i c i a l + E p l   i n i c i a l + E c   i n i c i a l =   E p g   f i n a l + E p l   f i n a l + E c   f i n a l

Percebe que não tem nenhuma altura no problema, então vamos cortar a energia potencial gravitacional dessa igualdade:

E p l   i n i c i a l + E c   i n i c i a l =   E p l   f i n a l + E c   f i n a l

Passo 2

Antes da bola atingir a mola, ela tem uma velocidade de 5 m / s , então existe uma energia cinética envolvida nesse movimento. Se a energia cinética tem a fórmula:

E c   i n i c i a l = m ⋅ v 2 2  

Podemos substituir os valores dados no enunciado:

m = 2   k g

v = 5 m / s

Na expressão e encontraremos:

E c   i n i c i a l = 2 ⋅ 5 2 2

Elevando 5 ao quadrado, temos:

5 2 = 5 ⋅ 5 = 25

Então a energia cinética será:

E c   i n i c i a l = 2 ⋅ 25 2 = 50 2 = 25 J

Encontramos a energia cinética inicial, mas quanto vale a energia potencial elástica inicial?

Passo 3

Como nada é dito sobre a deformação da mola, enquanto a bola ainda não colidiu contra a mola, podemos considerar que a mola está sem nenhuma deformação, logo inicialmente:

x = 0

Como a energia potencial elástica é igual a:

E p l = K ⋅ x 2 2

Nós não sabemos a constante elástica da mola K , mas sabemos que a deformação x é nula, então vamos substituir:

E p l   i n i c i a l = K ⋅ 0 2 2 = 0

Nós sabemos que qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, então a energia armazenada inicialmente na mola é igual a zero!

Passo 4

Sabendo tanto a energia cinética inicial quanto a energia potencial elástica inicial, podemos descobrir o valor da energia mecânica inicial:

E m e c  n i c a   i n i c i a l = E p l   i n i c i a l + E c   i n i c i a l

Substituindo os valores que já sabemos:

E m e c â n i c a   i n i c i a l = 0 + 25 = 25 J

Passo 5

Após a bola atingir a mola, a velocidade vai diminuindo até chegar a zero, isso ocorre quando a mola chegou no seu limite de deformação x . Então no final, a energia cinética será:

E c   f i n a l = m ⋅ v 2 2  

Podemos substituir os valores dados no enunciado e que encontramos:

m = 2   k g

v = 0   m / s

Na expressão e encontraremos:

E c   f i n a l = 2 ⋅ 0 2 2 = 0 J

Logo a energia cinética final é igual a zero, pois a velocidade final é igual a zero!

Passo 6

Se já encontramos que quando a deformação da mola é máxima, a energia cinética é zero, quanto vale a energia potencial elástica? A energia potencial elástica é igual a:

E p l = K ⋅ x 2 2

Substituindo os valores finais:

x = 20 c m = 0,2 m

Não esquece de passar a unidade de centímetros para metros! Então a energia potencial elástica final é igual a:

E p l   f i n a l = K ⋅ 0,2 2 2

Elevando 0,2 ao quadrado:

E p l   f i n a l = K ⋅ 0,04 2

Sim, nós não temos ideia de quanto vale a constante K , é exatamente ela que queremos calcular!

Passo 7

Logo a energia mecânica final total é igual a:

E m e c â n i c a   f i n a l = E p l   f i n a l + E c   f i n a l

Substituindo os valores das energias que encontramos:

E m e c â n i c a   f i n a l = K ⋅ 0,04 2 + 0 = K ⋅ 0,04 2

Passo 8

Vamos conservar a energia? Então vamos igualar a energia mecânica inicial e final:

E p l   i n i c i a l + E c   i n i c i a l =   E p l   f i n a l + E c   f i n a l

Substituindo os valores que encontramos:

25 = K ⋅ 0,04 2

Vamos resolver e encontrar K ? Para isso, vamos passar tudo que for número que acompanha K para um lado só:

25 ⋅ 2 0,04 = K

Multiplicando 25 por 2 :

25 ⋅ 2 = 50

Então:

K = 50 0,04

Realizando essa divisão:

K = 1.250   N / m

Encontramos o valor final da constante elástica da mola!

Resposta

  1. 1.250   N / m

Exercício Resolvido #7

Um passeio de montanha-russa num parque de diversões parte do repouso a uma altura de 50   m acima do solo e rapidamente inicia a descida pelo trilho. Num certo momento, a pista faz um loop e o trem atinge uma outra altura de 20   m . Qual a velocidade do trem nesse momento, considerando que a carga completa do trem mais as pessoas sobre ele tem uma massa de 850   k g ?

Considere g = 10 m / s 2 .

  1. 18   m / s
  2. 24,5   m / s
  3. 32,8   m / s
  4. 10,0   m / s
  5. 12,4   m / s

Passo 1

Vamos imaginar essa cena? Eu acho que fica mais fácil!

A gente sabe que quando fala que o carrinho está inicialmente em repouso, a velocidade inicial é igual a zero:

v i n i c i a l = 0   m / s

Nós desejamos saber a velocidade final:

v f i n a l = ?

Porém os outros dados fornecidos pelo enunciado são:

h i n i c i a l = 50   m

h f i n a l = 20   m

m = 850   k g

Passo 2

Como a velocidade inicial é igual a zero, a energia cinética inicial é:

E c = m ⋅ v 2 2

Substituindo os valores iniciais:

E c   i n i c i a l = 850 ⋅ 0 2 2 = 0 J

Logo a energia cinética inicial é igual a zero!

Passo 3

Mas e quanto a enérgica potencial gravitacional diretamente ligada a altura inicial do objeto? Bom, a energia potencial gravitacional é dada pela equação:

E p g = m ⋅ g ⋅ h

Substituindo os valores iniciais:

E p g   i n i c i a l = 850 ⋅ 10 ⋅ 50 = 425.000 J

Encontramos o valor da energia potencial gravitacional!

Passo 4

Quando o trem atinge a altura do loop igual a 20 m , a energia potencial gravitacional final é igual a:

E p g   f i n a l = 850 ⋅ 10 ⋅ 2 0 = 170 . 000 J

Já reduziu a energia potencial gravitacional, porque a altura diminui!

Passo 5

E quanto a velocidade nesse ponto? Nós não sabemos, mas vamos calcular a energia cinética final e ver quais são os dados que temos que calcular:

E c   f i n a l = m ⋅ v f i n a l 2 2

Substituindo a massa que já conhecemos:

E c   f i n a l = 850 ⋅ v f i n a l 2 2

Passo 6

Vamos conservar a energia? Então vamos igualar a energia mecânica inicial e final:

E p g   i n i c i a l + E c   i n i c i a l =   E p g   f i n a l + E c   f i n a l

Substituindo os valores que encontramos:

425.000 + 0 = 170.000 + 850 ⋅ v f i n a l 2 2

Vemos que a única variável da equação é a velocidade final que queremos encontrar, então vamos passar todos os números para o outro lado:

850 ⋅ v f i n a l 2 2 = 425.000 - 170.000

Resolvendo essa subtração temos:

850 ⋅ v f i n a l 2 2 = 255.000

Vamos passar o 850 que está multiplicando para o outro lado dividindo e o 2 que está dividindo, irá para o outro lado multiplicando:

v f i n a l 2 = 2 ⋅ 255.000 850

Fazendo essas contas:

v f i n a l 2 = 600

Precisamos então tirar a raiz quadrada dos dois lados da conta:

v f i n a l = v f i n a l 2 = 600

Que resulta em uma velocidade final igual a:

v f i n a l = 24,5 m / s

Não esquece a unidade, porque já chegamos na nossa resposta final!

Resposta

b) 24,5   m / s

Exercício Resolvido #8

Um atleta de peso 700 N cai de uma altura de 5 m sobe uma rede elástica e é arremetido a uma altura de 2 m . Neste processo, adotando a aceleração gravitacional como sendo g = 10   m / s 2 , podemos afirmar que a quantidade de energia dissipada é:

  1. 3000 J
  2. 230 J
  3. 400 J
  4. 2100 J
  5. 5000 J

Passo 1

Vamos pensar nessa figura:

Passo 2

Para descobrir a energia potencial gravitacional, vamos usar a fórmula:

E p g = m ⋅ g ⋅ h

Na qual dependemos dos valores da aceleração da gravidade g , a massa m e a altura h .

Percebe que só temos a altura h e o peso dado no enunciado:

P = 700   N

Mas como calculamos o peso mesmo? Seguindo essa fórmula aqui:

P = m ⋅ g

Ué , esse produto está dentro da nossa energia potencial gravitacional:

E p g = m ⋅ g ⋅ h

Então ao invés de calcular a massa, vamos colocar o peso dentro da energia:

P = m ⋅ g = 700

Logo:

E p g = 700 ⋅ h

Passo 3

Inicialmente a altura era igual a 5   m , logo a energia potencial gravitacional era igual a:

E p g   i n i c i a l = 700 ⋅ 5 = 3500 J

Depois que o atleta bate na cama elástica, ele sobe para uma altura nova igual a 2   m , então a nova energia potencial gravitacional se torna:

E p g   f i n a l = 700 ⋅ 2 = 14 00 J

Passo 4

Percebeu que a energia final não é igual a energia inicial? Isso se deve a uma parte da energia que perdemos, essa parcela chamamos de energia dissipada, logo:

E p g   i n i c i a l = E d i s s i p a d a + E p g   f i n a l

Substituindo os valores que encontramos para energias:

3500 = E d i s s i p a d a + 1400

Como queremos descobrir o valor da energia dissipada, vamos isolar essa incógnita:

E d i s s i p a d a = 3500 - 1400

Isso é igual a:

E d i s s i p a d a = 2100 J

Prontinho, chegamos no resultado que queríamos! Muito importante, não esqueça a unidade em Joules!

Resposta

d) 2100 J

Exercício Resolvido #9

Uma mola 1 é comprimida em 20 c m e possui constante elástica igual a 40 N / m , após ela ser liberada, ela empurra uma bola de massa 20 g . No trecho que a bola percorre livremente, a mesma dissipa uma energia igual a 0,6 J . Após esse trecho, a bola se choca contra mola 2 com constante elástica igual a 20 N / m , qual será então a sua deformação?

Passo 1

Vamos começar pensando em uma coisa, se a mola 1 está inicialmente comprimida, logo ela armazena uma energia potencial elástica seguindo a seguinte fórmula:

E p l = K ⋅ x 2 2

Que leva em consideração a constante elástica K e a deformação x em metros.

Passo 2

O que nos disse o enunciado sobre essa primeira mola? Ele nos diz que a deformação é igual a:

x = 20 c m

Porém precisamos que essa unidade seja passada para metros para ser aplicada na fórmula, para essa transformação basta dividir por 100 :

x = 20 c m = 20 100 m = 0,2 m

Outra informação é a constante elástica que é igual a:

K = 40   N / m

Substituindo esses valores na fórmula da energia potencial elástica:

E p l = K ⋅ x 2 2

Teremos:

E p l = 40 ⋅ 0,2 2 2

Para começar a solucionar a energia potencial elástica, elevaremos 0,2 ao quadrado:

0,2 2 = 0,2 ⋅ 0,2 = 0,04

Substituindo no cálculo novamente:

E p l = 40 ⋅ 0,04 2

Multiplicando o valor da constante elástica 40 pelo valor de 0,04 :

40 ⋅ 0,04 = 1,6

Voltando ao cálculo, resumimos a energia a divisão:

E p l = 1,6 2 = 0,8 J

Pronto, a energia potencial elástica inicial da mola 1 é igual a 0,8 J .

Passo 3

Se a bolinha recebe essa energia potencial elástica que irá se transformar em energia cinética, ela se movimenta e adquire velocidade, porém o enunciado nos disse que ela dissipa energia, ou seja, ela perde essa energia.

Logo se inicialmente ela tinha uma energia igual a 0,8 J e dissipa 0,6 J ao longo do caminho, no final ela terá:

E f i n a l = 0,8 - 0,6 = 0,2 J

Passo 4

Essa energia final passará da bolinha para a segunda mola, deformando a mola! Logo a mola 2 adquire uma energia igual a:

E p l 2 = 0,2 J

Uma informação dada pelo enunciado sobre essa segunda mola é sobre sua constante elástica:

K 2 = 20 N / m

Nós queremos saber a deformação dessa segunda mola:

x 2

Substituindo na fórmula da energia potencial elástica:

E p l = K ⋅ x 2 2

Teremos:

0,2 = 20 ⋅ x 2 2 2

Passo 5

Para começar a calcular a deformação, precisamos passar o 2 para o outro lado da igualdade multiplicando:

20 ⋅ x 2 2 = 2 ⋅ 0,2

Realizando a multiplicação de 2 vezes 0,2 :

2 ⋅ 0,2 = 0,4

Logo:

20 ⋅ x 2 2 = 0 , 4

Vamos passar agora o 20 para o outro lado dividindo:

x 2 2 = 0,4 20

Essa divisão resulta em:

x 2 2 = 0,02

Para encontrar a deformação x 2 , precisamos retirar a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

x 2 = x 2 2 = 0,02

Que é igual a:

x 2 = 0,141 m

Prontinho, pessoal, descobrimos a deformação da segunda mola!

Resposta

0,141 m

a) Diminui, aumenta, máxima.

Exercício Resolvido #10

Uma mola é comprimida em 20 c m e possui constante elástica igual a 40 N / m , após ela ser liberada, ela empurra uma bola de massa 20 g . Qual será a velocidade obtida pela bola caso seja lançada na horizontal e qual será a altura obtida caso seja lançada na vertical para cima?

Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m / s 2 .

Passo 1

Bom pessoal, vamos pensar em uma coisa, quando a mola está sendo comprimida, ela tem uma energia potencial elástica armazenada, correto? Quanto vale essa energia potencial elástica armazenada? Ela é medida de acordo com a fórmula:

E p l = K ⋅ x 2 2

Onde varia de acordo com a constante elástica da mola K e a deformação x em metros!

Passo 2

Vamos lembrar quais são os dados do enunciado, a mola 1 tem a constante elástica igual a:

K 1 = 40   N / m

E uma compressão igual a:

x = 20 c m

Nós sabemos que a deformação deve ser dada em metros, logo temos que fazer essa transformação apenas dividindo por 100 :

x = 20 c m = 20 100 m = 0,2 m

Substituindo esses valores na fórmula da energia potencial elástica:

E p l = K ⋅ x 2 2

Teremos então:

E p l = 40 ⋅ 0,2 2 2

Elevando 0,2 ao quadrado:

0,2 2 = 0,2 ⋅ 0,2 = 0,04

Substituindo o valor no cálculo que estamos fazendo:

E p l = 40 ⋅ 0,04 2

Vamos continuar essa multiplicação:

40 ⋅ 0,04 = 1,6

Retornando a fórmula:

E p l = 1,6 2

Resumimos a uma última divisão igual a:

E p l = 1,6 2 = 0,8 J

Beleza, encontramos a energia armazenada inicialmente em forma de energia potencial elástica!

Passo 3

Se lançarmos essa bola para cima, concorda comigo que ela vai subir até uma altura máxima no ar? Então ela ganhará uma energia potencial gravitacional! E qual á a fórmula da energia potencial gravitacional? Ah lembrei:

E p g = m ⋅ g ⋅ h

Além da massa m e da aceleração da gravidade g , nós tamém precisamos da altura que a bola chega h .

Passo 4

Nós temos acesso a massa igual a:

m = 20 g

Mas precisamos que a unidade da massa seja quilograma, logo teremos que transformar através de uma divisão por 1000 :

m = 20 g = 20 1000 k g = 0,02 k g

Conhecemos que a aceleração da gravidade é igual a:

g = 10   m / s 2

E desejamos saber a altura h . Logo a energia potencial gravitacional dada pela fórmula:

E p g = m ⋅ g ⋅ h

É igual a:

E p g = 0,02 ⋅ 10 ⋅ h

Como a energia potencial elástica da mola se transformou em energia potencial gravitacional, podemos igualar essas duas energias:

E p l = E p g

Logo:

0,8 = 0,02 ⋅ 10 ⋅ h

Passo 5

Podemos calcular a altura h , se a isolarmos de um lado só da igualdade:

h = 0,8 0,02 ⋅ 10

Multiplicando 0,02 por 10 , temos:

0,02 ⋅ 10 = 0,2

Substituindo no cálculo da altura:

h = 0,8 0,2 = 4

Ou seja, a altura que a bola atinge se lançada na vertical é igual a 4 metros!

Passo 6

Caso a bola seja lançada na horizontal no mesmo plano que a mola está apoiada, a bola atingirá velocidade ao longo do tempo, pois inicialmente ela está parada e com a o empurrão da mola, começará a se movimentar.

Dessa forma a energia potencial elástica armazenada na mola será transformada em energia cinética. A energia cinética é dada pela fórmula:

E c = m ⋅ v 2 2

Nós já conhecemos a massa da bola:

m = 0,02 k g

E já sabemos que se a energia cinética é igual a energia potencial elástica:

E p l = E c

Então:

0,8 = E c = m ⋅ v 2 2

Passo 7

Substituindo o valor da massa:

0,8 = 0,02 ⋅ v 2 2

Vamos isolar o valor da velocidade v de um lado só da igualdade:

0,02 ⋅ v 2 = 0,8 ⋅ 2

O produto 0,8 por 2 é igual a:

0,8 ⋅ 2 = 1,6

Substituindo na igualdade:

0,02 ⋅ v 2 = 1,6

Passamos 0,02 para o outro lado dividindo o novo valor:

v 2 = 1,6 0,02

Após a divisão, encontramos o valor da velocidade ao quadrado:

v 2 = 80

Como na realidade nós queremos a velocidade, precisamos tirar a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

v = v = 80

Essa raiz será igual a:

v = 8,944 m / s

Logo a bola lançada na horizontal atinge velocidade igual a 8,944   m / s .

Resposta

4   m e 8,944   m / s