Considere a função f : R → R   dada por

  1. Construa o gráfico de f ;

Passo 1

Fala aí, beleza? Como vai a vida?

Sem enrolação, vamos fazer juntinhos mais uma questão?

O enunciado nos diz que f é uma função com o domínio e o contradomínio estão contidos no conjunto dos números reais.

Não só, mas também pelo enunciado vemos que a função f é uma função definida por partes. Em síntese, significa que de acordo com o intervalo que eu escolho a função muda a sua equação, ou seja, sua identidade se modifica. Assim, é muito importante se atentar para este fato quando esboçarmos cada trecho do nosso gráfico.

Passo 2

Então meu povo, como mencionado anteriormente a função em questão é uma função definida por partes. Isso significa que o nosso gráfico também será esboçado por partes.

De início, iremos pegar o intervalo onde x   <   0 . Se x   <   0 , então f será : 2 x   + 5 .

Nota-se a semelhança dessa função com a função genérica t ( x )   =   a x   +   b ,   c o m   a   e   b   ϵ   R   . Logo, para esse intervalo o esboço do gráfico será uma reta.

Além disso, utilizaremos do uso de uma tabela com o intuito de facilitar essa representação no plano cartesiano.

Traçando os pares ordenados da tabela acima, temos:

Passo 3

Agora, iremos fazer a mesma receitinha de bolo do passo anterior, porém modificando o intervalo.

Para x   =   0 , f será : 5,0001 . O que isso quer dizer?

Significa que quando o x   =   0 , a função será constante e igual a 5,0001 . No esboço do gráfico, esse intervalo será representado pelo ponto de coordenadas (   0   ;   5,0001 ).

Passo 4

E por fim, temos o último intervalo que é quando x   >   0 , e o f correspondente será : x ²   +   x   +   5 .

Logo, é possível observar que a equação desse intervalo possui similaridades com a função genérica u ( x )   =   a x ²   + b x   +   c ,   c o m   a , b   e   c   ϵ   R .

Dessa forma, constata-se que para esse intervalo a função f assume a forma quadrática, sendo o seu esboço portanto, uma parabola.

Utilizaremos a tabela novamente para facilitar a marcação dos pares ordenados no plano cartesiano.

Assim, obtemos o esboço para esse intervalo:

Passo 5

Essa é a hora de juntar todos os pedaços dos passos anteriores rs.

Obtemos assim o gráfico final:

E aí? Deu uma clareada nas ideias ai? Espero que sim!

Pois vem com a gente treinar mais um pouco! ;)

Resposta

Resolução nos passos acima

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )