Considere a função

f x = x 2 - 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 2 x ,     s e   0 < x < 1 1 ,     s e   x = 1 - 2 x + 4 ,     s e   1 < x < 2 0 ,     s e   2 < x < 3

Responda:

  1. Existe f ( - 1 ) ?
  2. Existe lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) ?
  3. lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = f ( - 1 ) ?
  4. f ( x ) é contínua em x = - 1 ?
  5. Existe f ( 1 ) ?
  6. Existe lim x → 1 ⁡ f ( x ) ?
  7. lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 ) ?
  8. f ( x ) é contínua em x = 1 ?

Passo 1

E aí, tudo bem? O problema deu uma função definida por partes

f x = x 2 - 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 2 x ,     s e   0 < x < 1 1 ,     s e   x = 1 - 2 x + 4 ,     s e   1 < x < 2 0 ,     s e   2 < x < 3

E fez uma série de perguntas acerca dos limites, se existe valor da função no ponto, e principalmente sobre continuidade. Você lembra de os critérios para uma função ser contínua?

São esses três:

  1. Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )
  2. Deve existir a função aplicada no ponto f ( a )
  3. ( 1 ) e ( 2 ) devem ser iguais!

Então a ideia é usar esse conceito de continuidade para ir resolvendo, item a item, o que é pedido!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): Existe f ( - 1 ) ?

Vamos analisar a função com pouco mais de carinho:

f x = x 2 - 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 2 x ,     s e   0 < x < 1 1 ,     s e   x = 1 - 2 x + 4 ,     s e   1 < x < 2 0 ,     s e   2 < x < 3

Vemos que em x = - 1 a função assume a cara daquela parábola

f x = x 2 - 1

Assim existe sim f ( - 1 ) , e mais

f - 1 = - 1 2 + 1 = 0

Vale zero! Beleza?

Passo 3

Letra (b): Existe lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) ?

Para decidir se existe limite, vamos analisar o limite de f ( x ) quando x → - 1 por valores maiores do que - 1 , ou seja, quando a função ainda tem a mesma cara!

f x = x 2 - 1

Como a função é a mesma, é bem compreensível que o limite exista

lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 1 + ⁡ x 2 - 1 = - 1 2 - 1 = 0

E também que assuma o mesmo valor!

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Letra (c): lim x → - 1 + ⁡ f ( x ) = f ( - 1 ) ?

E com base nos dois passos anteriores, vemos que tanto o valor de f ( - 1 ) quanto o limite lateral

lim x → - 1 + ⁡ f ( x )

Tem o mesmo valor! Sendo assim, a resposta é: sim!

Passo 5

Letra (d): f ( x ) é contínua em x = - 1

Vamos relembrar os critérios de continuidade?

  1. Os limites laterais devem existir (não ser ) e serem iguais lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x )
  2. Deve existir a função aplicada no ponto f ( a )
  3. E os resultados de ( 1 ) e ( 2 ) devem ser iguais!

Como a função não está definida à esquerda de x = - 1 , não precisamos avaliar o limite lateral pela esquerda. Sendo assim a função no ponto e o limite pela direita já garantem a continuidade da função!

Beleza? Bora avaliar o segundo ponto?

Passo 6

Letra (e): Existe f ( 1 ) ?

Vamos lembrar da cara da nossa função

f x = x 2 - 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 2 x ,     s e   0 < x < 1 1 ,     s e   x = 1 - 2 x + 4 ,     s e   1 < x < 2 0 ,     s e   2 < x < 3

Em x = 1 a função assume um valor fixo de

f 1 = 1

Tranquilo?

Passo 7

Letra (f): Existe lim x → 1 ⁡ f ( x ) ?

Agora o problema pergunta se existe o limite: para existir o limite basta que os limites laterais existam e sejam iguais entre si! Então é isso: bora calcular os limites laterais!

f x = x 2 - 1 ,     s e - 1 ≤ x < 0 2 x ,     s e   0 < x < 1 1 ,     s e   x = 1 - 2 x + 4 ,     s e   1 < x < 2 0 ,     s e   2 < x < 3

Começando pela esquerda: lembrando que para valores menores do que 1 a função assume a cara de " 2 x " :

lim x → 1 - ⁡ 2 x = 2.1 = 2

Tudo bem? Agora pela direita! Pela direita ela assume a cara da reta " - 2 x + 4 " :

lim x → 1 + ⁡ - 2 x + 4 = - 2.1 + 4 = 2

Oba! Os limites laterais existem e valem o mesmo número! Isso significa que o limite existe e vale

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = 2

Beleza?

Passo 8

Letra (g): lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 ) ?

Agora o problema pergunta se os valores da função no ponto e do limite são iguais. Vamos relembrar dos resultados?

Do passo 6:

f 1 = 1

Do passo 7:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 2

Portanto os valores não são iguais

Passo 9

Letra (h): f ( x ) é contínua em x = 1 ?

Para que uma função seja contínua, o limite no ponto deve existir, a função no ponto também, e além disso, os dois valores devem ser iguais entre si! Mas vimos no passo anterior que para x = 1 isso não acontece

f 1 = 1

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 2

Como são valores distintos, concluímos que a função não é contínua em x = 1 !

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

a ) 0

b ) 0

c ) s i m

d ) s i m

e ) 1

f ) 2

g ) n ã o

h ) n ã o

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )