Decida se as funções

f ( x ) x 3 cos ⁡ 1 x   s e   x ≠ 0 1   s e   x = 0

g ( x ) x - 1 x - 1   s e   x   ∈   [ 0 ,   1 )   ∪   ( 1 ,   + ∞ ) 1 / 2   s e   x = 1

são contínuas no ponto x = 0. Repita o exercício para x = 1.

Passo 1

Faaala galera, nesse exercício vamos argumentar sobre continuidade de funções num

ponto. Basicamente, a continuidade de uma função no ponto pode ser afirmada quando lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) .

Para x   =   0 :

i-

f ( x ) x 3 cos ⁡ 1 x   s e   x ≠ 0 1   s e   x = 0

lim x → 0 ⁡ x 3 cos ⁡ 1 x   = ?

Observemos que x 3 cos ⁡ 1 x   pode ser dividida em x³ e cos ⁡ 1 x , de forma que x³ aplicado em x=0 é zero, já cos ⁡ 1 x   uma função limitada. Portanto, por propriedades de limites, podemos afirmar:

lim x → 0 ⁡ x 3 cos ⁡ 1 x   = 0

Ora, mas segundo a questão f 0 = 1 .

Portanto, como lim x → a ⁡ f x ≠ f ( a ) temos que a função não é contínua em x = 0 .

ii-

g ( x ) x - 1 x - 1   s e   x   ∈   [ 0 ,   1 )   ∪   ( 1 ,   + ∞ ) 1 / 2   s e   x = 1

lim x → 0 ⁡ x - 1 x - 1 = 0 - 1 0 - 1 = 1 = f ( 0 )

Portanto, a função é contínua em x = 0 .

Passo 2

Para x = 1 :

i-

f ( x ) x 3 cos ⁡ 1 x   s e   x ≠ 0 1   s e   x = 0

lim x → 1 ⁡ x 3 cos ⁡ 1 x = cos ⁡ 1 = f ( 1 )

Portanto, a função é contínua em x = 1

ii-

g ( x ) x - 1 x - 1   s e   x   ∈   [ 0 ,   1 )   ∪   ( 1 ,   + ∞ ) 1 / 2   s e   x = 1

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x - 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = lim x → 1 ⁡ 1 ( x + 1 ) = 1 2 = f ( 1 )

Logo, a função é contínua em x = 1

Resposta

A função f não é contínua em x   =   0 , mas é contínua em   x   =   1 . A função g é contínua em x   =   1 e x   =   0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )