Determine L para que a função f definida abaixo seja contínua em x = 0 .

f x = x 4 cos ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 L ,   s e   x = 0

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Se você não entendeu essa questão, segue a linha de raciocínio aqui:

A questão nos pede para determinar um número L de tal forma que a função seja contínua em 0 . Mas como podemos encontrar esse número??

Pois bem...

Para x ≠ 0 , temos que f x = x 4 cos ⁡ 1 x , correto? Ou seja:

- ∞ ≤ x 4 cos ⁡ 1 x ≤ + ∞

E, escolhendo dois valores dentro dos “infinitos”, podemos afirmar que

- x 4 ≤ x 4 cos ⁡ 1 x ≤ x 4

Esses valores - x 4 e x 4 serão nossos limites laterais. E, se seus limites forem iguais, isso significa dizer que o limite da função x 4 cos ⁡ 1 x também é igual ao deles, pois esta se localiza entre os limites laterais (no próximo passo você verá que isso é o Teorema do Confronto).

Passo 2

Agora, vamos descobrir os limites desses números que escolhemos:

lim x → 0 ⁡ ( - x 4 ) = 0

E

lim x → 0 ⁡ ( x 4 ) = 0

Agora vamos podemos aplicar o Teorema do Confronto, que diz o seguinte:

“se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas”

Dessa forma, podemos concluir que:

lim x → 0 ⁡ x 4 cos ⁡ 1 x = 0

E, para isso acontecer, L = 0 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

L = 0

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )