Determine a e b sabendo que a função

f x = x 2 - a x + 4 x + 4   s e   x < - 4 - x + b   s e   x ≥ - 4

é contínua.

Passo 1

Faaala pessoal 😊, nesse exercício vamos estudar continuidade de funções.

Para que a função seja contínua nesse caso, as suas duas formas apresentadas devem resultar no mesmo valor quando aplicado seu limite de x tendendo ao ponto que as conecta ( - 4 ) .

Visto que

- x + b   s e   x ≥ - 4

Temos que aplicando f - 4 = 4 + b

Portanto:

lim x → - 4 ⁡ x 2 - a x + 4 x + 4 = 4 + b

Nosso numerador é um polinômio de ordem 2, dessa forma o teorema do fator afirma que ele pode ser dividido inteiramente por ( x - c ) ( x - d ) , onde c e d são raízes do polinômio. Nesse sentido, podemos evidenciar um valor “ a ” que nos entregue raiz - 4 para o numerador, dessa forma poderemos o simplificar com x - - 4 e eliminar a indeterminação:

- 4 2 - a - 4 + 4 = 0

a = - 5

Sabendo disso, podemos transformar nosso limite em:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x + 4 = lim x → - 4 ⁡ ( x + 4 ) ( x + 1 ) x + 4

lim x → - 4 ⁡ ( x + 1 ) = - 3

Lembrando que nosso limite era igual a 4 + b :

- 3 = 4 + b

b = - 7

Finalizamos galerinha 😊

Resposta

a = - 5 ; b = - 7

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
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Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )