Determine para quais valores de a função f definida abaixo é contínua em x = 1 .

f x = x 2 + a x ,   s e   x ≤ 1 a 2 x 2 - 1 ,   s e   x > 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Seguinte... para que f seja contínua em x = 1 é necessário que os limites laterais resultem em um mesmo valor nesse ponto.

Mas o que são esses limites?? De forma simples, é verificarmos x tendendo a 1 pelos números maiores que ele e pelos números menores que ele!!

E aí? Vamos analisar??

Passo 2

Assim, aplicando o limite lateral para x < 1 , temos:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x 2 + a x = 1 + a

E, aplicando o limite lateral para x > 1 , temos:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ a 2 x 2 - 1 = a 2 - 1

Passo 3

Agora, para f ( x ) ser contínua em x = 1 , vimos no Passo 1 que basta igualar o resultado dos limites laterais que encontramos no Passo 2.

Desse jeitinho aqui:

1 + a = a 2 - 1 ∴ a 2 - a - 2 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

a = - 1 ± 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ - 2 2 ∙ 1

Logo, vemos que os valores de a para os quais f ( x ) é contínua em x = 1 são:

a ' = - 1

a ' ' = 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a ' = - 1

a ' ' = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )