Diga em qual região as funções abaixo são contínuas. Se ela for descontínua em um ponto ou região, diga o motivo da descontinuidade.

e) f x ,   y = sin ⁡ x y x y ,     x y ≠ 0 1 ,                         x y = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar onde a função f ( x ,   y ) é contínua e se ela tem alguma descontinuidade.

Bom, pra que uma função seja contínua em um ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 , seu limite precisa existir e ser igual ao valor da função no ponto:

lim x ,  y   →   x 0 ,   y 0 ⁡ f ( x ,   y ) = f ( x 0 ,   y 0 )

Mas a gente quer saber se existem descontinuidades em todo domínio. Então, essa condição precisa ser satisfeita para todos os pontos do domínio. Assim, vamos calcular o limite e verificar as condições de existência da função.

Vamos lá!

Passo 2

Como temos uma função definida por partes:

f x ,   y = sin ⁡ x y x y ,     x y ≠ 0 1 ,                         x y = 0

Nós já sabemos que f 0 ,   0 = 1 . Agora temos que verificar o valor do limite nesse ponto, quando x y ≠ 0 :

lim x ,  y   →   0 ,    0 ⁡ sin ⁡ x y x y

Fazendo uma substituição de variáveis e chamando x y = u , temos:

lim u   → 0 ⁡ sin ⁡ u u

Que é o nosso limite fundamental de valor 1 . Sendo assim, vamos ter:

lim x ,  y   →   0 ,    0 ⁡ sin ⁡ x y x y = lim u  → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

E olha só que legal, é o mesmo valor da função no ponto:

lim x ,  y   → ( 0 ,    0 ) ⁡ f ( x ,   y ) = f 0 ,   0 = 1

Portanto, nossa função é contínua em todo R 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n t í n u a   e m   t o d o   R 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )