4.6. A função

k x = x 2 + 1 ,     x ∈ Q x + 1 ,     x ∈ R / Q

é contínua em apenas dois pontos.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que verificar que a função definida por partes é continua em apenas dois pontos.

Como vemos isso? 🤔

A função é dada por

k x = x 2 + 1 ,     x ∈ Q x + 1 ,     x ∈ R / Q

Ou seja, se x for um número racional a função se comporta como x 2 + 1 e se x for um número R / Q a função se comporta como x + 1 .

Isso explica alguma coisa? 👀

Passo 2

Bom... para que k x seja contínua, a mudança de comportamento deve acontecer com a mesma imagem, ou seja, x 2 + 1 tem que ser igual a x + 1 .

Se igualarmos essas duas partes, temos

x 2 + 1 = x + 1

x 2 = x

Dessa igualdade, vemos que x tem que ser 0 ou 1 .

Logo, esses são os pontos onde a função é contínua!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x 2 = x ,     x = 1 x = 0

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )