Q03a) Seja f : I R → I R dada por

f x = 4 x 2 + 3   ,     x ≥ 1 8 x - 2 ,     x < 1

A função f é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta

Passo 1

Vamo que vamo. A questão quer saber se a função é continua, mas especificamente em um ponto: x = 1 . Então da condição de continuidade:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = f a

Só precisamos testar pra a = 1 mesmo, sendo assim:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

Passo 2

Pra começar, veja bem essa parte da lei de formação da nossa função:

4 x 2 + 3   ,     x ≥ 1

Se essa lei de formação vale pra x maior ou igual, então temos que:

lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

lim x → 1 + ⁡ 4 x 2 + 3 = 4 ∙ 1 2 + 3

7 = 7

Até então ta de boas, falta a gente checar o limte:

lim x → 1 - ⁡ f x

Como a outra lei de formação vale para x menos que 1 , vamos ter que:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ 8 x - 2 = 8 - 2 = 6

E até ontem pelo menos:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

6 ≠ 7 = 7

Sendo assim a função não é contínua em x = 1

Resposta

Seja:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

6 ≠ 7 = 7

Podemos afirmar que a função não é contínua em x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )