Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f x = 1 - t 1 - t 3 ,       s e   t ≠ 1 3 2 ,     s e   t = 1 em t = 1

Passo 1

Sabemos que

f 0 = 1

Vamos ver o limite de f quando x tende a 1 .

lim x → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3

Já que no denominador tem uma raiz cubica, vamos completar com o termo que completa o produto notável a 3 - b ³ .

lim x → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3 . 1 + t 3 + t 3 2 1 + t 3 + t 3 2

lim x → 1 ⁡ 1 + t 3 + t 3 2 1 - t 1 ³ - t 3 3

lim x → 1 ⁡ 1 + t 3 + t 3 2 1 - t 1 - t

Passo 2

Agora vamos usar o conjugado de 1 - t para obter o produto notável a 2 - b ² .

lim x → 1 ⁡ 1 + t 3 + t 3 2 1 - t 1 - t . 1 + t 1 + t

lim x → 1 ⁡ 1 + t 3 + t 3 2 1 2 - t 2 1 - t 1 + t

lim x → 1 ⁡ 1 + t 3 + t 3 2 1 - t 1 - t 1 + t

Agora nosso problema acabou porque podemos cortar o 1 - t do denominador e ele não mais ficará nulo quando x tender a 1 .

lim x → 1 ⁡ 1 + t 3 + t 3 2 1 + t = 1 + 1 + 1 1 + 1 = 3 2

Passo 3

Como

f 1 = l i m x → 1 f ( t )

a função é contínua em x = 1 .

Resposta

S i m ,   p o i s   f 1 = l i m x → 1 f ( t )

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )