21) Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t =   1 - t 1 - ∛ t                 ,       s e   t ≠ 1 3 2                                         ,       s e   t = 1

Em t = 1 .

Passo 1

Eaí galera do Responde Aí!! Vamo matar mais uma questão!

Esse exercício pede pra gente verificar se a função é contínua em t = 1 . Sempre que vamos verificar continuidade em um ponto, precisamos descobrir se é verdade:

lim t → p ⁡ f ( t ) = f ( p )

Nesse caso então, precisamos descobrir se:

lim t → 1 ⁡ f ( t ) = f ( 1 )

E a expressão que vamos substituir por f ( t ) será:

f t =   1 - t 1 - ∛ t  

Porque o nosso t tende a 1, mas na teoria nunca atinge realmente esse valor.

Passo 2

Boa, agora vamos pra conta. Queremos calcular o seguinte limite:

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3

A primeira coisa que precisamos fazer é substituir t = 1 e ver o que acontece. Nesse caso, vamos ter:

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3 = 0 0

Não pode né?! É uma indeterminação matemática.

Temos que calcular na mão mesmo. Uma ideia que pode ser interessante é a gente tentar racionalizar esse quociente. Pra fazer isso podemos pensar na fatoração da subtração de cubos e dar uma adaptada, se liga:

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

Agora vamo aplicar um truque. A gente vai dizer que:

a = 1 e b = t 1 3

Daí, vem que:

1 - t = ( 1 - t 1 3 ) ( 1 + t 1 3 + t 2 3 )

Top, então pra racionalizar 1 - ∛ t , basta multiplicarmos em cima e em baixo por ( 1 + t 3 +   t ) .

Fazendo isso, temos:

1 - t 1 - t 3 =   1 - t 1 - t 3 ⋅ 1 + t 3 +   t 1 + t 3 +   t =  

= 1 - t 1 - t ⋅ 1 + t 3 +   t

Passo 3

Beleza! Já melhorou um pouco porque tiramos a raiz do denominador, mas ainda estamos com uma indeterminação. A ideia agora é usar uma fatoração mais simples, a diferença dos quadrados, pra conseguir fazer aparecer ( 1 - t ) no numerador também. Então:

1 - t = ( 1 - t ) ( 1 + t )

Beleza, vamos multiplicar por ( 1 + t ) em cima e em baixo:

1 - t 1 - t ⋅ 1 + t 3 +   t ⋅ 1 + t 1 + t = 1 - t 1 - t ⋅ 1 + t 3 + t 1 + t

=   1 + t 3 + t 1 + t

Olha que massa, conseguimos finalmente tirar o zero do denominador, e como um bônus tiramos ele do numerador também. Agora podemos aplicar o limite.

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3 = lim t → 1 ⁡   1 + t 3 + t 1 + t = 3 2

Olha só, que coisa boa! Encontramos que:

lim t → 1 ⁡ f t = f 1 = 3 2

Portando, a função é contínua em t = 1 .

Prontinho, conseguimos!! 😊

Resposta

f é contínua em t = 1 .

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = ln ⁡ t g 2 x
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )