Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

  1. f x = x 3 ,   a = 8

Passo 1

E aí, galerinha! Se você perceber o que o enunciado está pedindo é basicamente para usarmos a definição de derivada nas nossas funções, então olha o que está ali.

f ( a + h ) e f ( a ) '

Vamos substituir isso por f ( x ) pra facilitar nossa vida e entendermos melhor o que iremos fazer.

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

O que essa definição pede é:

Pegar f ( x ) e acrescentar o valor h toda vez que aparecer o x , pra obter f x + h ; depois substituir na definição; e por fim pegar fazer x = a e calcular o limite para encontrar o valor da derivada.

Vem comigo pro segundo passo pra você entender isso melhor!!!

Passo 2

Temos f x = x 3 ,

Logo se queremos ter uma f ( x + h ) isso quer dizer que precisamos acrescentar o h toda vez que tivermos o x na função, certo?

f x + h = x + h 3 = x + h 1 3

Passo 3

Vamos aplicar a definição agora:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ x + h 1 3 - x 1 3 h

Vamos manipular esse trem aí pra arranjar isso de forma bonitinha!!

Vamos aqui aplicar nossa tática de multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado dessa diferença de raízes no numerador pra tentar sairmos dessa indeterminação.

x + h 1 3 - x 1 3 h × x + h 1 3 + x 1 3 x + h 1 3 + x 1 3 = h h x + h 1 3 - x 1 3

h h x + h 1 3 - x 1 3 = 1 x + h 1 3 - x 1 3

Vamos agora aplicar o limite:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 x + h 1 3 - x 1 3 = 1 2 x 1 / 3

O enunciado nos disse que ele quer descobrir o valor da derivada quando x = a = 8

f ' x = 1 2 x 1 / 3 = 1 2 8 1 / 3 = 1 4

Resposta

f ' x = 1 4

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