Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y'' - 2y' + 2y = 0

Passo 1

A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

A equação é da forma:

y ' '   -   2 y '   +   2 y   =   0 .

Para encontrar as soluções gerais dessa equação, podemos primeiro encontrar a equação característica associada:

r 2 -   2 r   +   2   =   0 .

No entanto, ao resolver essa equação quadrática, percebemos que as raízes são números complexos conjugados, o que significa que as soluções também serão complexas.

As raízes podem ser encontradas usando a fórmula quadrática:

r   = 2   ±   - 4 2   =   1   ±   i

onde i é a unidade imaginária.

As raízes são   r 1   = (   1   +   i )   e   r 2   = ( 1   –   i )  

A solução geral para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é dada por:

y t =   e r 1 t   C 1   * cos ⁡   t +   C 2   * sin ⁡   t

onde C 1   e   C 2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas), e r 1 é uma das raízes da equação característica.

Passo 2

Nesse caso, com r 1   =   1   +   i , a solução geral fica:

y t =   e t C 1   c o s t +   C 2   s i n   t

Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Se você tiver condições iniciais específicas, poderá determinar os valores de C 1   e   C 2 para obter a solução particular correspondente.

Note que, devido à natureza complexa das raízes, a solução é uma combinação de funções exponenciais complexas, que podem ser expressas em termos de funções trigonométricas.

Resposta

y t =   y t =   e t C 1   c o s t +   C 2   s i n   t

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