USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Antonio de Pádua - Lista para a Terceira Prova, Questão 3
Achar as soluções gerais das seguintes equações:
Passo 1
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
A equação é da forma:
Para encontrar as soluções gerais dessa equação, podemos primeiro encontrar a equação característica associada:
No entanto, ao resolver essa equação quadrática, percebemos que as raízes são números complexos conjugados, o que significa que as soluções também serão complexas.
As raízes podem ser encontradas usando a fórmula quadrática:
onde i é a unidade imaginária.
As raízes são
A solução geral para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é dada por:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas), e é uma das raízes da equação característica.
Passo 2
Nesse caso, com , a solução geral fica:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Se você tiver condições iniciais específicas, poderá determinar os valores de e para obter a solução particular correspondente.
Note que, devido à natureza complexa das raízes, a solução é uma combinação de funções exponenciais complexas, que podem ser expressas em termos de funções trigonométricas.