USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Antonio de Pádua - Lista para a Terceira Prova, Questão 10
Achar as soluções gerais das seguintes equações:
Passo 1
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial linear de segunda ordem com uma parte não homogênea:
Resolver essa equação pode ser um pouco complexo devido à função secante. Para encontrar a solução particular, vamos usar o método de coeficientes a determinar.
Vou orientar você através do processo.
Solução da Equação Homogênea:
A equação homogênea associada é:
A equação característica correspondente é:
Resolvendo essa equação, obtemos duas raízes complexas conjugadas:
A solução geral da equação homogênea é então:
Passo 2
Solução Particular da Equação Não Homogênea:
A solução particular da equação não homogênea envolvendo secante(x) é um pouco mais complexa. Vamos supor que a solução particular seja da forma:
onde A e B são constantes a serem determinadas.
Substituindo essa suposição na equação não homogênea, obtemos:
Igualando os coeficientes de , obtemos , o que nos dá
Agora, derivando obtemos:
Substituindo essas derivadas, podemos igualar os coeficientes de tan(x) e resolver para B:
Portanto, a solução particular é:
Passo 3
Solução Geral:
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução geral da equação homogênea e a solução particular da equação não homogênea:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Lembre-se de que a solução particular envolvendo secante(x) pode não ser uma forma totalmente simplificada, mas é a solução adequada para essa equação.