(b) Descreva uma interpretação física possível para o problema acima.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos a seguinte equação diferencial (ED)

∂ t u = k   ∂ x 2 u , 0 ≤ x ≤ L , t ≥ 0 ;

com as condições de fronteira (CF)

u ( 0 , t ) = 0 , ∂ x u ( L , t ) = 0 , t ≥ 0 ;

e condições iniciais (CI)

CI u ( x , 0 ) = f ( x ) , 0 ≤ x ≤ L .

na última alternativa encontramos a seguinte solução

u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ A n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L   t s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

em que as condições iniciais indicam que

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ A n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

Vamos argumentar o significado físico que pode ser dado para estes resultados e informações! Bora lá!

Passo 2

Como o próprio enunciado da alternativa anterior, temos que

∂ t u = k   ∂ x 2 u , 0 ≤ x ≤ L , t ≥ 0 ;

é uma equação do calor. Isso representa uma barra de comprimento L , e o material desta barra é representado pela constante de condutividade térmica k . As condições de fronteira (CF), indicam que a barra tem as extremidades isoladas, e a condição inicial (CI) indica uma distribuição inicial de temperatura na barra dada por f ( x ) . No fim das contas, a solução

u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ A n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L   t s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

em que

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ A n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

indicam a distribuição inicial de temperatura e a forma como essa distribuição evoluí ao longo de todo tempo t > 0 . A segunda alternativa já foi! Vamos para a próxima agora!

Resposta

Ao longo dos Passos!

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