Resolva a equação diferencial a seguir pelo método dos coeficientes

indeterminados.

y'' - 2y' + 5y = e^x * cos(2x)

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e agora é hora de resolvermos essa querida EDO por um método especifico.

Primeiro, nossa equação auxiliar é a

x 2 - 2 x + 5 = 0

Até aqui tudo bem.

Passo 2

Agora vamos encontrar as raízes dela

x = 1 ± 2 i

Como nossas raízes são imaginarias, nossa solução tem a cara de

y c = e x C 1 cos ⁡ 2 x + C 2 sin ⁡ 2 x + y p

Passo 3

Agora iremos atras da nossa solução particular, y p

y p = A x e x cos ⁡ 2 x + B x e x sin ⁡ 2 x

Realizando a primeira derivada da nossa querida

y p ' = A e x cos ⁡ 2 x + x e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sin ⁡ 2 x + B e x sin ⁡ 2 x + x e x sin ⁡ 2 x + 2 e x cos ⁡ 2 x

E a nossa querida e gigante segunda derivada é

y p ' ' = A - 3 e x x cos ⁡ 2 x - 4 e x x sin ⁡ 2 x + 2 e x cos ⁡ 2 x - 4 e x sin ⁡ 2 x + B - e x x sin ⁡ 2 x + 4 e x x cos ⁡ 2 x + 2 e x sin ⁡ 2 x + 4 e x cos ⁡ 2 x

Depois de substituirmos esse valores na nossa querida EDO, iremos encontrar

4 B e x cos ⁡ 2 x - 4 A e x sin ⁡ 2 x = e x cos ⁡ 2 x

Comparando o lado esquerdo da equação com o lado direito

4 B e x cos ⁡ 2 x = e x cos ⁡ 2 x

- 4 A e x sin ⁡ 2 x = 0

A = 0

B = 1 2

y p = 1 4 x e x sin ⁡ 2 x

Agora temos que a solução completa

y c = e x C 1 cos ⁡ 2 x + C 2 sin ⁡ 2 x + 1 4 x e x sin ⁡ 2 x

Resposta

y c = e x C 1 cos ⁡ 2 x + C 2 sin ⁡ 2 x + 1 4 x e x sin ⁡ 2 x

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