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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de EDO Segunda Ordem, Questão 5a

Resolver a equação

x ' ' + w 2 x = D s i n ( p t )

onde p ≠ w

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando com EDO homogênea de segunda ordem. com condições iniciais Queremos resolver uma EDO da forma

a y ' '   +   b y '   + c y   = f ( t )

y ( z ) = Z

y ' ( w ) = W

Z , W   ∈ R

Lembram como fazemos isso?

Primeiro, precisamos das raízes do polinômio característico da equação. Esse polinômio é dado por

a r 2 + b r + c

Agora vamos supor que as raízes do polinômio são r 1 e r 2 .

Então, a solução da equação homogênea é:

y ( t )   =   A e r 1 t + B e r 2 t

se r 1 ≠ r 2

y ( t )   =   A e r 1 t + B t e r 1 t

se r 1 = r 2

se r 1 = a + i b

r 2 = a - i b

então

y ( t )   =   e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

Caso esteja curioso, Esses resultados surgem ao supormos que y ( t ) é da forma e r t

Agora que sabemos a solução da EDO homogênea, precisamos encontrar as constantes A   e   B .

Vamos obter a solução particular, e depois usar os valores iniciais para calcular A   e   B

Vamos resolver nossa questão:

Passo 2

Construindo o polinômio característico da EDO

x ' ' + w 2 x = D s i n ( p t )

Temos:

r 2 + w 2 = 0

Logo

r 1 = i w

r 2 = - i w

Pelo passo 1. A solução é da forma:

x ( t )   =   e a t ( A c o s ( b t ) + B s i n ( b t ) )

= ( A c o s ( w t ) + B s i n ( w t ) )

Passo 3

Vamos obter a solução particular de

x ' ' + w 2 x = D s i n ( p t )

Como temos

x ' ' + w 2 x = D s i n ( p t )

e p ≠ w

Vamos supor que a solução particular é da forma

C 1 s i n ( p t ) + C 2 c o s ( p t )

substituindo na edo temos:

( - p 2 C 1 s i n ( p t ) - p 2 C 2 c o s ( p t ) ) + w 2 ( C 1 s i n ( p t ) + C 2 c o s ( p t ) ) = D s i n ( p t )

Casando os termos, temos que

- p 2 C 1 + w 2 C 1 = D

- P 2 C 2 + w 2 C 2 = 0

Logo, temos que

C 2 = 0

C 1 = D / ( w 2 - p 2 )

Logo, descobrimos que a solução particular é:

y p ( t ) = D s i n ( p t ) / ( w 2 - p 2 )

Dessa forma, a solução geral da EDO é:

y h ( t ) + y p ( t ) = ( A c o s ( w t ) + B s i n ( w t ) ) + D s i n ( p t ) / ( w 2 - p 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

( A c o s ( w t ) + B s i n ( w t ) ) + D s i n ( p t ) / ( w 2 - p 2 )

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