UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 35a
Utilize o item do exercício anterior para determinar todas as soluções fatoradas não nulas da equação do calor satisfazendo as condições de fronteira para o problema
ED , , ;
CF , , ;
CI , .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos a seguinte equação diferencial (ED)
, , ;
com as condições de fronteira (CF)
, , ;
e condições iniciais (CI)
CI , .
Para resolvermos esse problema precisamos usar separação de variáveis. Mas onde o item da questão anterior entra em questão? No último exercício devíamos resolver a equação diferencial
com as condições de contorno
,
note que essas são as mesmas condições de fronteira de nosso problema! Lá, encontramos que para termos uma solução não-nula para a equação diferencial! Isso irá afetar diretamente a nossa resolução! Neste problema encontramos que
em que . Vamos tentar resolver esse problema! Vem comigo!
Passo 2
O método de separação de variáveis é tal que
acima temos uma sugestão de solução, e agora, precisamos obter e que obedeça a equação diferencial e as condições de contorno! Aplicando em nossa equação diferencial temos que
Separando as variáveis, obtemos duas equações
note que eu coloquei um sinal negativo? Isso é a aplicação do resultado da questão anterior! Sobre as condições de contorno dada, a solução de
é não nula! Também vamos precisar resolver a equação
Vamos resolver ambas ao longo dos passos!
Passo 3
A solução da primeira equação diferencial sob estas condições de contorno é dada por
como demonstramos no exercício 34b, mas também vale a pena dar uma olhadinha na seção de equação de calor aqui no site do Responde Aí, belezinha? A segunda equação diferencial tem soluções da forma
em que usando , como na questão anterior, temos as soluções da forma
Você pode obter essa solução resolvendo a Equação diferencial ordinária separável. Sendo assim, temos infinitas soluções dadas por
a solução geral é então uma combinação linear de todas as soluções acima, temos que
A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Até já!