UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.10
Considere as seguintes normas,
para
Verifique com um exemplo em que a identidade do paralelogramo não é válida para as normas acima cidadãs.
Passo 1
Fala aí galerinha, tudo beleza?
Nessa questão recebemos duas definições diferentes da norma de um vetor. Imagina que temos um vetor no dado por:
Então, para esse vetor temos duas definições diferentes de norma. A primeira delas:
Então, se pegarmos o vetor:
Teremos:
E, a segunda definição diz que:
Então, para o mesmo vetor exemplo do caso anterior:
Sacaram a ideia?
Sobre essas duas normas, o enunciado nos pede para mostrar que a identidade do paralelogramo dada por:
Não é válida para as normas acima.
E, devemos fazer isso através de um exemplo numérico.
Vamos nessa!
Passo 2
Começando pela primeira definição de norma, dada por:
Se tomarmos os vetores:
Teremos, no lado esquerdo da identidade do paralelogramo:
Beleza!
No outro termo, teremos:
Portanto, o lado esquerdo da identidade do paralelogramo vale:
Vamos guardar esse resultado!
Agora, calculando o lado direito dessa identidade, temos:
E:
Assim, vamos ter no lado direito da identidade do paralelograma:
Ou seja, resumindo, encontramos que:
Como o lado esquerdo da identidade é diferente do lado direito, concluímos que a identidade do paralelogramo não vale para essa norma.
Passo 3
Vamos agora usar a mesma ideia para verificar a identidade do paralelogramo, mas com a norma:
Usando os mesmos vetores de exemplo no .
Daí, substituindo no lado direito da identidade do paralelogramo:
Já para o próximo termo, temos:
Juntando o lado direito, temos:
Vamos agora para o lado esquerdo:
E:
Daí, voltando para o lado esquerdo da identidade do paralelogramo, temos:
Ou seja, usando essa norma também tivemos que:
E, prontinho! Provamos o que o enunciado nos pediu 😊
Até a próxima pessoal!
Resposta
Resposta no texto.