UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 8, Questão 11efg
Resolva em as inequações abaixo:
e)
f)
g)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em . Tá, mas como a gente resolve isso?
Como temos inequações do segundo grau (onde o expoente de é ), resolve-las significa encontrar os valores de que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item e) é:
No item f):
E no item g):
Nós aprendemos que as equações do segundo grau formam uma parábola e nas inequações não é diferente. Nós estamos interessados em saber onde elas serão positivas ou negativas. Mas como vamos resolver isso?
Primeiro vamos encontrar os valores onde nossa equação é igual a zero, que serão os pontos onde o nosso gráfico encosta no eixo . Depois nós vamos determinar o crescimento da função observando o coeficiente do (que chamamos de ) e, em seguida, estudar os sinais do gráfico para definir o nosso conjunto solução.
Vamos lá!
Passo 2
Começando com o item e), onde temos:
Para a nossa equação, temos:
Encontrando as raízes dessa equação usando Bhaskara:
Logo,
Olhando pro valor de (que é o coeficiente de ), temos , um valor positivo. Isso significa que a nossa função será voltada para cima. O esboço do nosso gráfico fica assim:
Repare que a nossa função é positiva até encostar no eixo em , onde ela passar ser zero. Como a gente já tinha previsto calculando a sua raiz, que é ��nica.
Como enunciado quer saber os valores de que tornam essa equação apenas positiva (não inclui o zero, nesse caso), a resposta é a união do intervalo até e de em diante. Logo, nosso conjunto solução é:
Passo 3
Agora vamos analisar a letra f):
O primeiro passo é tentar encontrar as raízes da equação do segundo grau:
Usando Bhaskara:
Logo, temos uma única raiz novamente:
Olhando agora pra nossa função, nós temos . Como o coeficiente é negativo, a nossa parábola fica virada para baixo:
Repare que ela é negativa até , quando cruza o eixo e é nula. E depois passa a ser negativa novamente.
Como enunciado quer saber os valores de que tornam essa equação maior ou igual a zero, e nós não temos valores positivos na função, nós só conseguimos atender a condição dela ser nula. Isso acontece em , logo a nossa solução é:
Passo 4
Agora vamos checar o item g):
Calculando as raízes da equação, temos:
Repara que teríamos uma raiz negativa, então a nossa função não tem raízes reais. Olhando pra forma da equação, nós temos , logo nossa parábola é voltada para cima:
Percebe que ela tá sempre acima do eixo ? Então, podemos dizer que a função é sempre positiva. Como o enunciado quer saber os valores de que tornam essa equação negativa, a resposta será: NENHUM rs.
Ou seja, o conjunto solução será o conjunto vazio:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
e)
f)
g)