Resolva em R as inequações abaixo:

a) x 2 - 2 x + 2 > 0

b) - 2 x 2 + 3 x + 2 ≥ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em R . Tá, mas como a gente resolve isso?

Como temos inequações do segundo grau (onde o expoente de x é 2 ), resolve-las significa encontrar os valores de x que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item a) é:

x 2 - 2 x + 2 > 0

E no item b):

- 2 x 2 + 3 x + 2 ≥ 0

Nós aprendemos que as equações do segundo grau formam uma parábola e nas inequações não é diferente. Nós estamos interessados em saber onde elas serão positivas ou negativas. Mas como vamos resolver isso?

Primeiro vamos encontrar os valores onde nossa equação é igual a zero, que serão os pontos onde o nosso gráfico encosta no eixo x . Depois nós vamos determinar o crescimento da função observando o coeficiente do x 2 e, em seguida, estudar os sinais do gráfico para definir o nosso conjunto solução.

Vamos lá!

Passo 2

Começando com o item a, onde temos:

x 2 - 2 x + 2 > 0

Para a nossa equação, temos:

x 2 - 2 x + 2 = 0

Encontrando as raízes dessa equação usando Bhaskara:

x = 2 ± 4 - 8 2

Opaaa! Teríamos uma raíz negativa.

Calma, vamos pensar na equação. Olhando pro valor de a (que é o coeficiente de x 2 ), temos a = 1 , um valor positivo. Isso significa que a nossa função sempre será positiva. O esboço do nosso gráfico fica assim:

Como enunciado quer saber os valores de x que tornam essa equação positiva, a resposta é todos haha. Porque a função é sempre positiva. Assim, o nosso conjunto solução será:

S = ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 3

Agora vamos analisar a letra b):

- 2 x 2 + 3 x + 2 ≥ 0

O primeiro passo é tentar encontrar as raízes da equação do segundo grau:

- 2 x 2 + 3 x + 2 = 0

Usando Bhaskara:

x = - 3 ± 9 - 4 ( - 2 ) ( 2 ) 2 ( - 2 ) = - 3 ± 9 + 16 - 4

Temos as raízes:

x 1 = - 3 + 5 - 4 = - 1 2

x 2 = - 3 - 5 - 4 = - 8 - 4 = 2

Olhando agora pra nossa função, nós temos a = - 2 . Como o coeficiente é negativo, a nossa parábola fica virada para baixo:

Repare que ela é negativa até - 1 2 , quando cruza o eixo x . Depois passa a ser positiva até 2 , quando cruza novamente o eixo x .

Como enunciado quer saber os valores de x que tornam essa equação maior ou igual a zero, a gente inclui as raízes encontradas e temos o conjunto solução onde a função é positiva:

S = - 1 2 ,   2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) S = ( - ∞ ,   ∞ )

b) S = - 1 2 ,   2

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