UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 8, Questão 10ef
Resolva em as inequações abaixo:
e)
f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em . Tá, mas como a gente resolve isso?
Como temos inequações do primeiro grau (onde o expoente de é ), resolve-las significa encontrar os valores de que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item e) é:
E no item f):
Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.
Nos dois itens, nós conseguimos chegar numa relação menor ou igual a zero e maior ou igual a zero. Dessa forma, nós vamos avaliar cada caso para encontrar os valores de que satisfaçam a condição de desigualdade, com sinais diferentes, e escreve-los juntos em um conjunto solução.
Vamos lá!
Passo 2
Começando com o item e, onde temos:
Vamos subtrair dos dois lados:
Colocando tudo no mesmo denominador:
De cara, nós precisamos tirar os valores que zeram o nosso denominador, porque isso não pode acontecer. Então:
Beleza, não pode ser dois. Agora vamos testar sinais diferentes para que o nosso quociente seja menor ou igual a zero.
Repare que na primeira condição, temos menor do que e na segunda temos maior do . Mas como é que pode ser menor que e maior que ao mesmo tempo? Não dá, né? Então, nosso conjunto é vazio:
Passo 3
Agora vamos trocar os sinais do numerador e do denominador. Temos:
Agora é maior do que e menor do que , tudo certo. Nosso conjunto fica:
Assim, nossa solução vai ser a união desses dois conjuntos que encontramos, ou seja:
Passo 4
Agora vamos resolver o item f:
Vamos começar subtraindo dos dois lados:
Resolvendo, temos:
Agora vamos dar uma arrumadinha, tirando o m.m.c.:
Vamos multiplicar ambos os lados por e inverter a desigualdade:
Agora repare que o nosso quociente é menor ou igual a zero. Mas o nosso denominador não pode ser zero, então:
E aí nós sabemos que pra que a desigualdade seja satisfeita, numerador e denominador precisam ter sinais diferentes. Logo, podemos escrever no primeiro caso:
Dá pra um número ser maior do que e menor do que ao mesmo tempo? Não dá, então nosso conjunto é vazio:
Passo 5
Trocando os sinais agora, temos a segunda possibilidade de os sinais serem diferentes:
Então é menor ou igual a e maior do que , tudo certo. Temos o conjunto:
Juntando tudo, temos nosso conjunto solução da inequação :
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
e)
f)