Resolva em R as inequações abaixo:

e) 3 x - 5 2 x - 4 ≤ 1

f) x + 1 x - 2 ≥ 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em R . Tá, mas como a gente resolve isso?

Como temos inequações do primeiro grau (onde o expoente de x é 1 ), resolve-las significa encontrar os valores de x que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item e) é:

3 x - 5 2 x - 4 ≤ 1

E no item f):

x + 1 x - 2 ≥ 4

Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.

Nos dois itens, nós conseguimos chegar numa relação menor ou igual a zero e maior ou igual a zero. Dessa forma, nós vamos avaliar cada caso para encontrar os valores de x que satisfaçam a condição de desigualdade, com sinais diferentes, e escreve-los juntos em um conjunto solução.

Vamos lá!

Passo 2

Começando com o item e, onde temos:

3 x - 5 2 x - 4 ≤ 1

Vamos subtrair 1 dos dois lados:

3 x - 5 2 x - 4 - 1 ≤ 1 - 1

3 x - 5 2 x - 4 - 1 ≤ 0

Colocando tudo no mesmo denominador:

3 x - 5 - 1 ( 2 x - 4 ) 2 x - 4 ≤ 0

x - 1 2 x - 4 ≤ 0

De cara, nós precisamos tirar os valores que zeram o nosso denominador, porque isso não pode acontecer. Então:

2 x - 4 ≠ 0

x ≠ 2

Beleza, x não pode ser dois. Agora vamos testar sinais diferentes para que o nosso quociente seja menor ou igual a zero.

x - 1 ≤ 0 → x ≤ 1

2 x - 4 > 0 → x > 2

Repare que na primeira condição, temos x menor do que 1 e na segunda temos x maior do 2 . Mas como é que pode x ser menor que 1 e maior que 2 ao mesmo tempo? Não dá, né? Então, nosso conjunto é vazio:

A = ∅

Passo 3

Agora vamos trocar os sinais do numerador e do denominador. Temos:

x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1

2 x - 4 < 0 → x < 2

Agora x é maior do que 1 e menor do que 2 , tudo certo. Nosso conjunto fica:

B = [ 1 ,   2 )

Assim, nossa solução vai ser a união desses dois conjuntos que encontramos, ou seja:

S = [ 1 ,   2 )

Passo 4

Agora vamos resolver o item f:

x + 1 x - 2 ≥ 4

Vamos começar subtraindo 4 dos dois lados:

x + 1 x - 2 - 4 ≥ 4 - 4

Resolvendo, temos:

x + 1 x - 2 - 4 ≥ 0

Agora vamos dar uma arrumadinha, tirando o m.m.c.:

x + 1 - 4 ( x - 2 ) x - 2 ≥ 0

- 3 x + 9 x - 2 ≥ 0

Vamos multiplicar ambos os lados por - 1 e inverter a desigualdade:

- 3 x + 9 ∙ ( - 1 ) x - 2 ≥ 0 ∙ ( - 1 )

3 x - 9 x - 2 ≤ 0

Agora repare que o nosso quociente é menor ou igual a zero. Mas o nosso denominador não pode ser zero, então:

x - 2 ≠ 0

x ≠ 2

E aí nós sabemos que pra que a desigualdade seja satisfeita, numerador e denominador precisam ter sinais diferentes. Logo, podemos escrever no primeiro caso:

3 x - 9 ≥ 0 →   3 x ≥ 9 → x ≥ 3

x - 2 < 0 → x < 2

Dá pra um número ser maior do que 2 e menor do que 3 ao mesmo tempo? Não dá, então nosso conjunto é vazio:

A = ∅

Passo 5

Trocando os sinais agora, temos a segunda possibilidade de os sinais serem diferentes:

3 x - 9 ≤ 0 →   3 x ≤ 9 → x ≤ 3

x - 2 > 0 → x > 2

Então x é menor ou igual a 3 e maior do que 2 , tudo certo. Temos o conjunto:

B = ( 2 ,   3 ]

Juntando tudo, temos nosso conjunto solução da inequação x + 1 x - 2 ≥ 4 :

S = ( 2 ,   3 ]

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

e) S = [ 1 ,   2 )

f) S = ( 2 ,   3 ]

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