UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 9, Questão 8d
Resolva em as inequações abaixo:
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma inequação e pediu pra gente encontrar os valores de para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em ).
Então, nós precisamos encontrar os valores onde a função é maior ou igual a zero. Pra facilitar nossa vida e nos ajudar a verificar os sinais da função, vamos primeiro tentar transformar a equação em uma relação de linear. Em seguida, vamos verificar as raízes da equação e fazer o estudo de sinais.
Vamos lá!
Passo 2
Nós temos,
Vamos começar subtraindo dos dois lados da inequação:
Multiplicando os dois lados por , invertemos o sinal da desigualdade:
Dividindo os dois lados por , temos:
Daqui nós já podemos tirar uma relação importante, porque se nós temos uma função , então e . No nosso caso, . Assim, temos:
E
Beleza, temos então os intervalos e . Agora vamos voltar pra nossa relação:
Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
Multiplicando os dois lados por :
Passo 3
Vamos resolver essa equação do segundo grau para encontrar suas raízes:
Daí, obtemos:
Como essas são as raízes da equação, a gente sabe que esses são os pontos onde a função atravessa o eixo . Então, repare que a gente tá interessado nos locais onde essa função é positiva, de acordo com o sinal da nossa desigualdade.
Sendo, temos a função positiva antes de cortar o eixo até e depois de em diante, quando passa pelo eixo novamente. Resumimos isso no conjunto:
Dos conjuntos que encontramos (, e , podemos tirar o nosso conjunto solução, unindo os intervalos que se sobrepõem. Nesse caso, temos:
Prontinho. Valeu, galera! 😉