Resolva em R as inequações abaixo:

d) x - 8 x - 9 ≥ 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma inequação e pediu pra gente encontrar os valores de x para os quais ela está definida no conjunto dos números reais (em R ).

x - 8 x - 9 ≥ 0

Então, nós precisamos encontrar os valores onde a função é maior ou igual a zero. Pra facilitar nossa vida e nos ajudar a verificar os sinais da função, vamos primeiro tentar transformar a equação em uma relação de x linear. Em seguida, vamos verificar as raízes da equação e fazer o estudo de sinais.

Vamos lá!

Passo 2

Nós temos,

x - 8 x - 9 ≥ 0

Vamos começar subtraindo ( x - 9 ) dos dois lados da inequação:

x - 8 x - 9 - x - 9 ≥ 0 - ( x - 9 )

- 8 x ≥ - ( x - 9 )

Multiplicando os dois lados por - 1 , invertemos o sinal da desigualdade:

8 x ≤ x - 9

Dividindo os dois lados por 8 , temos:

x ≤ x - 9 8

Daqui nós já podemos tirar uma relação importante, porque se nós temos uma função f ( x ) ≤ g ( x ) , então f x ≥ 0   e g x ≥ 0 . No nosso caso, g x = x - 9 8 . Assim, temos:

x ≥ 0

E

x - 9 8 ≥ 0

→   x ≥ 9

Beleza, temos então os intervalos [ 0 ,   ∞ ) e [ 9 ,   ∞ ) . Agora vamos voltar pra nossa relação:

x ≤ x - 9 8

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

x ≤ x 2 - 18 x + 81 64

Multiplicando os dois lados por 64 :

64 x ≤ x 2 - 18 x + 81

x 2 - 82 x + 81 ≥ 0

Passo 3

Vamos resolver essa equação do segundo grau para encontrar suas raízes:

x 2 - 82 x + 81 = 0

x = 82 ± 6724 - 324 2 = 82 ± 80 2

Daí, obtemos:

x 1 = 81

x 2 = 1

Como essas são as raízes da equação, a gente sabe que esses são os pontos onde a função atravessa o eixo x . Então, repare que a gente tá interessado nos locais onde essa função é positiva, de acordo com o sinal da nossa desigualdade.

Sendo, temos a função positiva antes de cortar o eixo x até 1 e depois de 81 em diante, quando passa pelo eixo novamente. Resumimos isso no conjunto:

A = - ∞ ,   1 ∪ [ 81 ,   ∞ )

Dos conjuntos que encontramos ( [ 0 ,   ∞ ) , [ 9 ,   ∞ ) e - ∞ ,   1 ∪ [ 81 ,   ∞ ) , podemos tirar o nosso conjunto solução, unindo os intervalos que se sobrepõem. Nesse caso, temos:

S = [ 81 ,   ∞ )

Prontinho. Valeu, galera! 😉

Resposta

S = [ 81 ,   ∞ )

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para encontrar um número δ tal que se 5x5 + δ então x ² x - 5100 ²
Resolva a inequação.(x - 2) (x + 2)0
Estude o sinal da expressão.3 x - 1 0
Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A 1 a ( A 4 ) , ( M 1 ) a M 4 , D , O 1 a O 4 , O A e O M . Supondo x , y reais quaisquer, prove: x ∙ 0 = 0
Estude o sinal da expressão.(2 x - 1) (x^2 + 1)