UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 8, Questão 10ab
Resolva em as inequações abaixo:
a)
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em . Tá, mas como a gente resolve isso?
Como temos inequações do primeiro grau (onde o expoente de é ), resolve-las significa encontrar os valores de que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item a é:
E no item b:
Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.
No caso do item a, para que o valor do quociente seja maior do que zero (positivo), o numerador e o denominador precisam ter sinais iguais. No caso do item b, como o quociente é menor do que zero (negativo), numerador e denominador precisam ter sinais diferentes.
Dessa forma, o que nós vamos fazer é avaliar cada caso para encontrar os valores de que satisfaçam a condição de desigualdade e escreve-los juntos em um conjunto solução.
Vamos lá!
Passo 2
Começando com o item a, onde temos:
Nesse caso, a divisão dos valores que nós estamos procurando (os valores de ) precisam resultar em um valor maior do que zero, ou seja, positivo. Assim, vamos considerar o caso em que tanto numerador quanto denominador sejam positivos:
Isolando o nas duas equações, temos:
Então, pra que ambos sejam positivos precisa ser maior do que e maior do que . Mas concorda que sendo maior que ele já vai ser maior que ? Então, nesse caso temos o conjunto:
Certo?
Passo 3
Agora vamos avaliar o caso em que numerador e denominador são negativos e resultam em um número positivo. Assim, temos:
Isolando o em ambas as equações:
Logo, o nosso precisa ser menor que e menor que . E a gente resume isso no conjunto:
Tá, mas qual é nossa solução geral? A solução vai ser a união desses dois conjuntos. Assim, para , temos:
Passo 4
Agora vamos resolver o item b:
Repare que o nosso quociente agora é menor do que zero, então ele é negativo. Pra que essa desigualdade seja satisfeita, o numerador e o denominador precisam ter sinais diferentes, certo? Logo, podemos escrever no primeiro caso:
Agora vamos isolar nas duas equações:
E
Sendo assim, o precisa ser maior do que e maior do que . Mas se ele for maior do que ele já será maior do que . Então, temos o conjunto:
Passo 5
Mas, nesse caso, numerador e denominador também podem ter sinais diferentes se:
Então, isolando :
E
Para esse caso, temos o conjunto:
Juntando tudo, temos nosso conjunto solução da inequação :
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
a)
b)