Resolva em R as inequações abaixo:

a) 2 x + 1 x + 2 > 0

b) 3 x - 2 3 - 2 x < 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu algumas inequações (que são equações que não possuem igualdade, lembra?) e pediu pra gente resolver dentro do conjunto dos número reais, ou seja, em R . Tá, mas como a gente resolve isso?

Como temos inequações do primeiro grau (onde o expoente de x é 1 ), resolve-las significa encontrar os valores de x que satisfazem essa condição de desigualdade. No nosso caso, a condição no item a é:

2 x + 1 x + 2 > 0

E no item b:

3 x - 2 3 - 2 x < 0

Quando nós temos um quociente e uma desigualdade, nós precisamos avaliar os sinais tanto do numerador, quanto do denominador, que satisfaçam aquela condição.

No caso do item a, para que o valor do quociente seja maior do que zero (positivo), o numerador e o denominador precisam ter sinais iguais. No caso do item b, como o quociente é menor do que zero (negativo), numerador e denominador precisam ter sinais diferentes.

Dessa forma, o que nós vamos fazer é avaliar cada caso para encontrar os valores de x que satisfaçam a condição de desigualdade e escreve-los juntos em um conjunto solução.

Vamos lá!

Passo 2

Começando com o item a, onde temos:

2 x + 1 x + 2 > 0

Nesse caso, a divisão dos valores que nós estamos procurando (os valores de x ) precisam resultar em um valor maior do que zero, ou seja, positivo. Assim, vamos considerar o caso em que tanto numerador quanto denominador sejam positivos:

2 x + 1 > 0

x + 2 > 0

Isolando o x nas duas equações, temos:

2 x > - 1 → x > - 1 2

x > - 2

Então, pra que ambos sejam positivos x precisa ser maior do que - 1 2 e maior do que - 2 . Mas concorda que sendo maior que - 1 / 2 ele já vai ser maior que - 2 ? Então, nesse caso temos o conjunto:

A = - 1 2 ,   + ∞

Certo?

Passo 3

Agora vamos avaliar o caso em que numerador e denominador são negativos e resultam em um número positivo. Assim, temos:

2 x + 1 < 0

x + 2 < 0

Isolando o x em ambas as equações:

2 x < - 1 → x < - 1 2

x < - 2

Logo, o nosso x precisa ser menor que - 1 2 e menor que - 2 . E a gente resume isso no conjunto:

B = ( - ∞ ,   - 2 )

Tá, mas qual é nossa solução geral? A solução vai ser a união desses dois conjuntos. Assim, para 2 x + 1 x + 2 > 0 , temos:

S = - ∞ ,   - 2 ∪ - 1 2 ,   + ∞

Passo 4

Agora vamos resolver o item b:

3 x - 2 3 - 2 x < 0

Repare que o nosso quociente agora é menor do que zero, então ele é negativo. Pra que essa desigualdade seja satisfeita, o numerador e o denominador precisam ter sinais diferentes, certo? Logo, podemos escrever no primeiro caso:

3 x - 2 > 0

3 - 2 x < 0

Agora vamos isolar x nas duas equações:

3 x > 2 → x > 2 3

E

3 < 2 x → x > 3 2

Sendo assim, o x precisa ser maior do que 2 3 e maior do que 3 2 . Mas se ele for maior do que 3 2 ele já será maior do que 2 3 . Então, temos o conjunto:

A = 3 2 ,   + ∞

Passo 5

Mas, nesse caso, numerador e denominador também podem ter sinais diferentes se:

3 x - 2 < 0

3 - 2 x > 0

Então, isolando x :

3 x < 2 → x < 2 3

E

3 > 2 x → x < 3 2

Para esse caso, temos o conjunto:

B = - ∞ , 2 3

Juntando tudo, temos nosso conjunto solução da inequação 3 x - 2 3 - 2 x < 0 :

S = - ∞ , 2 3 ∪ 3 2 ,   + ∞

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) S = - ∞ ,   - 2 ∪ - 1 2 ,   + ∞

b) S = - ∞ , 2 3 ∪ 3 2 ,   + ∞

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