UTFPR, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral 2, Listas de Cálculo 2 - Profº Félix Gómez - Primeira Lista, Questão 1.11
Sejam e em . Mostre que a seguinte desigualdade é válida,
Passo 1
Faaala pessoal do Responde Aí, como vocês estão?
Nessa questão recebemos dois vetores no : e . Ou seja, dois vetores em no espaço dos Reais de dimensão genérico.
Para esses dois vetores precisamos mostrar que a desigualdade abaixo é válida:
Para fazer isso é bem importante termos em mente duas propriedades. A primeira delas é que, se é um vetor:
Além disso, a desigualdade de Cauchy-Schwarz é bem importante, ela diz que:
Excelente! Agora que já demos essa breve revisada, bora meter bronca 😊
Passo 2
Vamos começar partindo da expressão:
Usando a primeira propriedade que comentamos:
Usando novamente a primeira propriedade, vamos ter que:
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos:
Assim, multiplicando por a desigualdade se inverte:
Portanto, temos:
Como:
Chegamos a:
Tirando as raízes:
Isso é exatamente o que queríamos provar 😊
Curtiram a solução? Responde Aí!
Resposta
Resposta no texto.