Sejam x e y em R^n . Mostre que a seguinte desigualdade é válida,

| x | - | | y | ≤ | | x - y |

Passo 1

Faaala pessoal do Responde Aí, como vocês estão?

Nessa questão recebemos dois vetores no R n : x e y . Ou seja, dois vetores em no espaço dos Reais de dimensão n genérico.

Para esses dois vetores precisamos mostrar que a desigualdade abaixo é válida:

x - y ≤ | x - y |

Para fazer isso é bem importante termos em mente duas propriedades. A primeira delas é que, se u é um vetor:

u 2 = < u , u >

Além disso, a desigualdade de Cauchy-Schwarz é bem importante, ela diz que:

u ⋅ v ≤ u ⋅ | v |

Excelente! Agora que já demos essa breve revisada, bora meter bronca 😊

Passo 2

Vamos começar partindo da expressão:

x - y 2

Usando a primeira propriedade que comentamos:

x - y 2 = < x - y ,   x - y >

=   < x , x > �� - < x , y > - < y , x > + < y , y >

Usando novamente a primeira propriedade, vamos ter que:

x - y 2 = | x | 2 - 2 < x , y > + y 2

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos:

< x , y >     ≤     x ⋅ | y |

Assim, multiplicando por ( - 2 ) a desigualdade se inverte:

- 2 ⋅ < x , y >   ≥     - 2 ⋅ x ⋅ | y |

= | x | 2 - 2 < x , y > + y 2 ≥ x 2 - 2 ⋅ x ⋅ y + y 2

= x - y 2

Portanto, temos:

| x | 2 - 2 < x , y > + y 2 ≥ x - y 2

Como:

x - y 2 = | x | 2 - 2 < x , y > + y 2

Chegamos a:

x - y 2 ≥ x - y 2

Tirando as raízes:

x - y ≥ x - y

Isso é exatamente o que queríamos provar 😊

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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