UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - UFRJ - Lista de EDO Segunda Ordem, Questão 4a
Resolva as EDO´s homogêneas
Passo 1
Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 2. Dessa vez estaremos trabalhando com EDO homogênea de segunda ordem. com condições iniciais Queremos resolver uma EDO da forma
Lembram como fazemos isso?
Primeiro, precisamos das raízes do polinômio característico da equação. Esse polinômio é dado por
Agora vamos supor que as raízes do polinômio são e .
Então, a solução da equação homogênea é:
se
se
se
então
Caso esteja curioso, Esses resultados surgem ao supormos que é da forma
Agora que sabemos a solução da EDO homogênea, precisamos encontrar as constantes .
Vamos obter a solução particular, e depois usar os valores iniciais para calcular
Vamos resolver nossa questão:
Passo 2
Construindo o polinômio característico da EDO
Temos:
Logo
Pelo passo 1. A solução é da forma:
Passo 3
Vamos obter a solução particular de
Como temos
Vamos supor que a solução particular é da forma
substituindo na edo temos:
Casando os termo, temos que
Logo, descobrimos que a solução particular é:
Dessa forma, a solução geral da EDO é:
Passo 4
Agora que sabemos que
Vamos usar as informações que
Para descobrirmos as constantes. Da primeira condição, temos que
Da segunda que
e disso, temos que
Ou seja, nossa solução é:
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊