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Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 474-32.

Desenhe o campo radial

F = x   i + y   j

Juntamente com suas componentes verticais e horizontais em um conjunto representativo de pontos da circunferência x 2 + y 2 = 1

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Passo 1

O exercício pede um conjunto representativo na cicunferência x 2 + y 2 = 1 , então acho que podemos escolher os pontos sobre o eixo:

( 1,0 ) ,   ( 0,1 ) ,   ( - 1,0 ) ,   ( 0 , - 1 )

e os pontos “médios”, onde x e y são iguais em módulo:

2 2 , 2 2 ,   - 2 2 , 2 2 ,   - 2 2 , - 2 2 ,   2 2 , - 2 2

Por enquanto, vamos ter:

Passo 2

Agora, em cada um desses pontos, vamos traçar as componentes horizontais, dadas por F 1 , e verticais, dadas por F 2 . Nesse caso temos F 1 = x e F 2 = y , o que nos dá:

F → ( 1,0 ) = ( 1,0 ) F → ( 0,1 ) = ( 0,1 ) F → ( - 1,0 ) = ( - 1,0 ) F → ( 0 , - 1 ) = ( 0 , - 1 ) F → 2 2 , 2 2 = 2 2 , 2 2 F → - 2 2 , 2 2 = - 2 2 , 2 2 F → - 2 2 , - 2 2 = - 2 2 , - 2 2 F → 2 2 , - 2 2 = 2 2 , - 2 2  

Então vamos desenhar cada uma das componentes:

Agora é só somar as componentes e traçar o vetor final!

Passo 3

Finalmente, vamos ter os vetores definitivos, em vermelho; e as componentes, em amarelo:

Pronto, tudo feito!

Resposta

Exercício Resolvido #2

Stewart. J – Cálculo, Vol2 - 7ª ed. 2013, pp 952 – ex 16.1

Esboce o campo vetorial F desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9.

F x , y = 0,3 i ^ - 0,4 j ^

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Passo 1

´Para desenharmos, devemos indicar em nosso diagrama que, dado um certo ponto x , y , temos uma força F ( x , y ) associada a ele.

Passo 2

No caso deste nosso exercício, temos que F x , y = c o n s t a n t e para todo ( x , y ) . Desta forma, temos que

Na qual, o vetor 0,3 ,   - 0,4 é paralelo ao vetor ( 3 , - 4 ) ficando fácil de desenhar.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Stewart. J – Cálculo, Vol2 - 7ª ed. 2013, pp 953 – ex 1.21

Determine o campo vetorial gradiente f .

f x , y = x e x y

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Passo 1

Para determinarmos o campo vetorial, devemos tomar o gradiente da função f , ou seja,

F → = ∇ f

Lembrando que o gradiente de uma função é definido por um vetor, cujas as componentes são as derivadas parciais em cada direção, ou seja

F → = ∂ f d x ,   ∂ f d y

Passo 2

Vamos tomar inicialmente a derivada de f na direção x .

∂ f d x = ∂ x e x y d x =   e x y + y x e x y = e x y ⋅ ( 1 + x y )

E na direção y temos

∂ f d y = ∂ x e x y d y = 0 + x 2 e x y = x 2 e x y

Desta forma escrevemos que

F → = e x y ⋅ 1 + x y , x 2 e x y = e x y 1 + x y , x 2

Passo 3

Uma representação do campo é dada pela figura a cima.

Resposta

F → = e x y ⋅ 1 + x y , x 2 e x y = e x y 1 + x y , x 2

Exercício Resolvido #4

Stewart. J – Cálculo, Vol2 - 7ª ed. 2013, pp 943 – ex 16.22
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Passo 1

Passo 2

Para resolver o problema vamos aplicar a definição do que é o operacional gradiente para encontrarmos o campo correspondente a função.

Passo 3

Temos que o gradiente é definido por

∇ ⋅ f = ∂ f ∂ x ⋅ i → + ∂ f ∂ y ⋅ j →

Calculando as derivadas parciais então da função, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x tg ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y = ∂ ∂ x sen ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y cos ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ cos ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y - 1

Aplicando regra do produto, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ cos ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y - 1 + sen ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ ∂ ∂ x cos ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y - 1

∂ f ∂ x = sec 2 ⁡ ( 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ) ⋅ 3

Para a derivada em relação a y temos

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y tg ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y = sec 2 ⁡ ( 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ) ⋅ - 4

Substituindo então na equação do gradiente, chegamos que o campo será

∇ ⋅ f = 3 ⋅ sec 2 ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ i → - 4 ⋅ sec 2 ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ j →

Resposta

∇ ⋅ f = 3 ⋅ sec 2 ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ i → - 4 ⋅ sec 2 ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ j →

Exercício Resolvido #5

Stewart. J – Cálculo, Vol2 - 7ª ed. 2013, pp 943 – ex 16.27
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Passo 1

Passo 2

Para resolver o problema vamos aplicar a definição do que é o operacional gradiente para encontrarmos o campo correspondente a função e depois desenhar esse campo fazendo as curvas de nível correspondente ao gráfico.

Passo 3

Temos que o gradiente é definido por

∇ ⋅ f = ∂ f ∂ x ⋅ i → + ∂ f ∂ y ⋅ j →

Calculando as derivadas parciais então da função, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2

Aplicando regra da cadeia, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ ∂ d x x 2 = 1 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ 2 ⋅ x

Para a derivada em relação a y temos

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 = 1 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ 4 ⋅ x

Substituindo então na equação do gradiente, chegamos que o campo será

∇ ⋅ f = 2 ⋅ x 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ i → + 4 ⋅ y 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ j →

Precisamos agora calcular as curvas de nivel. Vamos então igualar nossa função f a uma constante c e manipular.

ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 = c

1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 = e c

x 2 + 2 ⋅ y 2 = e c - 1

x 2 + y 2 1 2 = e c - 1

Assim temos que nossas curvas de nivel serão elipses com a = 1 ,   b = 2 2 e r = e c - 1 . Plotando então, temos algo do tipo