Teoria

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Desenhe o campo radial

F = x   i + y   j

Juntamente com suas componentes verticais e horizontais em um conjunto representativo de pontos da circunferência x 2 + y 2 = 1

Passo 1

O exercício pede um conjunto representativo na cicunferência x 2 + y 2 = 1 , então acho que podemos escolher os pontos sobre o eixo:

( 1,0 ) ,   ( 0,1 ) ,   ( - 1,0 ) ,   ( 0 , - 1 )

e os pontos “médios”, onde x e y são iguais em módulo:

2 2 , 2 2 ,   - 2 2 , 2 2 ,   - 2 2 , - 2 2 ,   2 2 , - 2 2

Por enquanto, vamos ter:

Passo 2

Agora, em cada um desses pontos, vamos traçar as componentes horizontais, dadas por F 1 , e verticais, dadas por F 2 . Nesse caso temos F 1 = x e F 2 = y , o que nos dá:

F → ( 1,0 ) = ( 1,0 ) F → ( 0,1 ) = ( 0,1 ) F → ( - 1,0 ) = ( - 1,0 ) F → ( 0 , - 1 ) = ( 0 , - 1 ) F → 2 2 , 2 2 = 2 2 , 2 2 F → - 2 2 , 2 2 = - 2 2 , 2 2 F → - 2 2 , - 2 2 = - 2 2 , - 2 2 F → 2 2 , - 2 2 = 2 2 , - 2 2  

Então vamos desenhar cada uma das componentes:

Agora é só somar as componentes e traçar o vetor final!

Passo 3

Finalmente, vamos ter os vetores definitivos, em vermelho; e as componentes, em amarelo:

Pronto, tudo feito!

Resposta

Exercício Resolvido #2

Esboce o campo vetorial F desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9.

F x , y = 0,3 i ^ - 0,4 j ^

Passo 1

´Para desenharmos, devemos indicar em nosso diagrama que, dado um certo ponto x , y , temos uma força F ( x , y ) associada a ele.

Passo 2

No caso deste nosso exercício, temos que F x , y = c o n s t a n t e para todo ( x , y ) . Desta forma, temos que

Na qual, o vetor 0,3 ,   - 0,4 é paralelo ao vetor ( 3 , - 4 ) ficando fácil de desenhar.

Resposta

Exercício Resolvido #3

Determine o campo vetorial gradiente f .

f x , y = x e x y

Passo 1

Para determinarmos o campo vetorial, devemos tomar o gradiente da função f , ou seja,

F → = ∇ f

Lembrando que o gradiente de uma função é definido por um vetor, cujas as componentes são as derivadas parciais em cada direção, ou seja

F → = ∂ f d x ,   ∂ f d y

Passo 2

Vamos tomar inicialmente a derivada de f na direção x .

∂ f d x = ∂ x e x y d x =   e x y + y x e x y = e x y ⋅ ( 1 + x y )

E na direção y temos

∂ f d y = ∂ x e x y d y = 0 + x 2 e x y = x 2 e x y

Desta forma escrevemos que

F → = e x y ⋅ 1 + x y , x 2 e x y = e x y 1 + x y , x 2

Passo 3

Uma representação do campo é dada pela figura a cima.

Resposta

F → = e x y ⋅ 1 + x y , x 2 e x y = e x y 1 + x y , x 2

Exercício Resolvido #4

Determine o campo vetorial gradiente f .

f x , y = t g ( 3 x - 4 y )

Passo 1

Para resolver o problema vamos aplicar a definição do que é o operacional gradiente para encontrarmos o campo correspondente a função.

Passo 2

Temos que o gradiente é definido por

∇ ⋅ f = ∂ f ∂ x ⋅ i → + ∂ f ∂ y ⋅ j →

Calculando as derivadas parciais então da função, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x tg ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y = ∂ ∂ x sen ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y cos ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ cos ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y - 1

Aplicando regra do produto, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ cos ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y - 1 + sen ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ ∂ ∂ x cos ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y - 1

∂ f ∂ x = sec 2 ⁡ ( 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ) ⋅ 3

Para a derivada em relação a y temos (aplicando a regra da cadeia):

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y tg ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y = sec 2 ⁡ ( 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ) ⋅ - 4

Substituindo então na equação do gradiente, chegamos que o campo será

∇ ⋅ f = 3 ⋅ sec 2 ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ i → - 4 ⋅ sec 2 ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ j →

Resposta

∇ ⋅ f = 3 ⋅ sec 2 ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ i → - 4 ⋅ sec 2 ⁡ 3 ⋅ x - 4 ⋅ y ⋅ j →

Exercício Resolvido #5

Determine o campo vetorial gradiente f .

f x , y = l n ⁡ ( 1 + x 2 + 2 y 2 )

Passo 1

Para resolver o problema vamos aplicar a definição do que é o operacional gradiente para encontrarmos o campo correspondente a função e depois desenhar esse campo fazendo as curvas de nível correspondente ao gráfico.

Passo 2

Passo 3

Temos que o gradiente é definido por

∇ ⋅ f = ∂ f ∂ x ⋅ i → + ∂ f ∂ y ⋅ j →

Calculando as derivadas parciais então da função, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2

Aplicando regra da cadeia, temos que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ ∂ d x x 2 = 1 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ 2 ⋅ x

Para a derivada em relação a y temos

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 = 1 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ 4 ⋅ x

Substituindo então na equação do gradiente, chegamos que o campo será

∇ ⋅ f = 2 ⋅ x 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ i → + 4 ⋅ y 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ j →

Resposta

∇ ⋅ f = 2 ⋅ x 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ i → + 4 ⋅ y 1 + x 2 + 2 ⋅ y 2 ⋅ j →

Exercício Resolvido #6

Determine o campo vetorial gradiente f .

f x , y = cos ⁡ x - 2 s i n ⁡ ( y )

Passo 1

Para determinarmos o campo vetorial, devemos tomar o gradiente da função f , ou seja,

F → = ∇ f

Lembrando que o gradiente de uma função é definido por um vetor, cujas as componentes são as derivadas parciais em cada direção, ou seja

F → = ∂ f d x ,   ∂ f d y

Passo 2

Vamos tomar inicialmente a derivada de f na direção x .

∂ f d x = ∂ cos ⁡ x - 2 s i n ⁡ ( y ) d x =   - s i n ⁡ ( x )

E na direção y temos

∂ f d y = ∂ cos ⁡ x - 2 s i n ⁡ ( y ) d y = - 2 c o s ⁡ ( y )

Desta forma escrevemos que

F → = - sin ⁡ x , - 2 c o s ⁡ ( y )

Resposta

F → = - sin ⁡ x , - 2 c o s ⁡ ( y )

Exercício Resolvido #7

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).

Se φ ( x , y , z ) é um campo escalar suave em R 3 e c = c 1 , c 2 , c 3 é um vetor constante, então

d i v φ   c = c . ∇ φ

Passo 1

Vamos, primeiro, trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, achar d i v φ   c .

Considerando que o campo pode ser escrito como

φ x , y , z = φ 1 , φ 2 , φ 3

Nós sabemos disso aqui:

d i v φ = ∂ φ 1 ∂ x + ∂ φ 2 ∂ y + ∂ φ 3 ∂ z

Logo, se

φ   c = φ 1 c 1 , φ 2 c 2 , φ 3 c 3

Temos:

d i v φ   c = c 1 ∂ φ 1 ∂ x + c 2 ∂ φ 2 ∂ y + c 3 ∂ φ 3 ∂ z

Lembrando de que c é um vetor constante.

Passo 2

Agora, vamos ao outro lado da equação:

Como

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Temos

∇ φ = ∂ φ 1 ∂ x , ∂ φ 2 ∂ y , ∂ φ 3 ∂ z

Isso nos dá que

c . ∇ φ = c 1 , c 2 , c 3 . ∂ φ 1 ∂ x , ∂ φ 2 ∂ y , ∂ φ 3 ∂ z = c 1 ∂ φ 1 ∂ x + c 2 ∂ φ 2 ∂ y + c 3 ∂ φ 3 ∂ z

Portanto, mostramos que o lado esquerdo da equação é, de fato, igual ao direito.

Resposta

Verdadeira.

Exercício Resolvido #8

Seja

F → x , y = x x 2 + y 2 α   i → + y x 2 + y 2 α   j →

Determine α para que F → seja solenoidal.

Passo 1

Não se assusta com esse “solenoidal”. Um campo ser solenoidal é simplesmente um campo vetorial que seu divergente vale 0 .

Ou seja:

d i v   F → = ∇ ∙ F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y = 0

Então, é só calcular o produto escalar e resolver a equação para encontrarmos α .

Então vamos lá!

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ F 1 ∂ x = ∂ x x 2 + y 2 α ∂ x   e   ∂ F 2 ∂ y = ∂ y x 2 + y 2 α ∂ y  

Que parecem bem bizarras, mas saem pela regra do quociente, certo?

∂ x x 2 + y 2 α ∂ x = 1 ∙ x 2 + y 2 α - x ∙ 2 x ∙ α x 2 + y 2 α - 1 x 2 + y 2 α 2

= x 2 + y 2 α - 1 ∙ x 2 + y 2 - 2 α ∙ x 2 x 2 + y 2 2 α = x 2 + y 2 - 2 α ∙ x 2 x 2 + y 2 α + 1

Um algebrismo meio chato, mas por sorte, podemos repetí-lo para ∂ F 2 ∂ y , é só substituir o que é x por y e vice-versa. Aí temos:

∂ y x 2 + y 2 α ∂ y = x 2 + y 2 - 2 α ∙ y 2 x 2 + y 2 α + 1

Passo 3

Agora é somar e ver no que dá:

∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y = x 2 + y 2 - 2 α ∙ x 2 x 2 + y 2 α + 1 + x 2 + y 2 - 2 α ∙ y 2 x 2 + y 2 α + 1 = 2 x 2 + y 2 - 2 α x 2 + y 2 x 2 + y 2 α + 1

= 2 1 - α x 2 + y 2 α = 0 → 1 - α = 0 → α = 1

Tudo isso pra dar 1 no final, que raiva, né? haha

Resposta

1

Exercício Resolvido #9

Calcule o divergente do campo vetorial dado.

  1. v → x , y = - y   i → + x   j →
  2. u → x , y , z = x   i → + y   j → + z   k →
  3. F → x , y , z = x 2 - y 2   i → + sin ⁡ x 2 + y 2   j → + arctan ⁡ z   k →
  4. F → x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2   k →

Passo 1

a)

A gente viu na teoria que o divergente é, simplesmente:

d i v   F → = ∇ ∙ F →

Ou seja, o produto escalar do operador com o campo vetorial. Onde, pra quem não lembra:

∇   = ( ∂ x , ∂ y , ∂ z )

Como nosso campo aqui é bidimensional, vamos usar só as duas primerias componentes e calcular as derivadas:

∇ ∙ v → = ∂ x , ∂ y ∙ F 1 , F 2 = ∂ - y ∂ x + ∂ x ∂ y = 0 + 0 = 0

Passo 2

b)

Vamos repetir a fórmula do item a):

d i v   F → = ∇ ∙ F →

Mas agora temos um capo vetorial tridimensional, então vamos usar o operador completo:

∇ ∙ u → = ∂ x , ∂ y , ∂ z ∙ F 1 , F 2 , F 3 = ∂ x ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ z ∂ z = 3

Algumas derivadas mais

Passo 3

c)

Parece que a questão complicou um pouco agora, mas a fórmula é sempre a mesma, não esqueça:

d i v   F → = ∇ ∙ F → = ∂ x , ∂ y , ∂ z ∙ F 1 , F 2 , F 3 = ∂ x 2 - y 2 ∂ x + ∂ sen ⁡ x 2 + y 2 ∂ y + ∂ ( arctan ⁡ z ) ∂ z

Algumas derivadas não tão triviais quanto as anteriores, mas nada que você não saiba calcular, né?

∂ x 2 - y 2 ∂ x + ∂ sen ⁡ x 2 + y 2 ∂ y + ∂ ( arctan ⁡ z ) ∂ z = 2 x + 2 y ∙ cos ⁡ x 2 + y 2 + 1 1 + z 2

Passo 4

d)

Pra terminar, temos um campo meio estranho, com uma componente em z só. Mas nada impede de aplicarmos a fórmula:

d i v   F → = ∇ ∙ F → = ∂ x , ∂ y , ∂ z ∙ F 1 , F 2 , F 3

= ∂ 0 ∂ x + ∂ 0 ∂ y + ∂ x 2 + y 2 + z 2 arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

Eita, agora sim uma derivada chata, mas vamos pela regra do produto e da cadeia:

∂ x 2 + y 2 + z 2 arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

= 2 z ∙ arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 z ∙ 1 1 + x 2 + y 2 + z 2 2

Ficou feio, mas as vezes é assim mesmo, fazer o que...

Resposta

  1. 0
  2. 3
  3. 2 x + 2 y ∙ cos ⁡ x 2 + y 2 + 1 1 + z 2

2 z arctan ⁡ x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + z 2 1 + x 2 + y 2 + z 2 2

Exercício Resolvido #10

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

  1. f x , y =   x 2 + 3 x y
  2. f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z

Passo 1

a )

∇ f x , y =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Lembre-se que para a primeira derivada, como é em relação a x, tomamos y como se fosse uma constante. Já pra segunda derivada, que é em função de y , tomamos x como constante, tranquilo? Ficamos então com as derivadas:

∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x

Passo 2

b )

∇ f x , y , z =   ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Similar ao passo anterior, mas atenção que agora temos uma derivada em função a z   também.

∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x

Resposta

  1. ∇ f x , y = 2 x + 3 y , 3 x
  2. ∇ f x , y , z = 2 + 4 y + z , 4 x , x