Integrais de Linha

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009 – Modificado

Parametrize a curva C , fronteira do triângulo de vértices 0,0 , 1,0 e 0,1 , orientada no sentido anti-horário.

Dica: Aqui é preciso parametrizar cada um dos lados do triângulo de forma independente, afinal, cada um deles é um segmento de uma reta diferente.

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Passo 1

Como já diz a nossa dica, vamos precisar descobrir a equação de cada uma das retas pra poder parametrizar a curva C inteira. Antes de mais nada, vamos esboçar esse triângulo

Beleza, precisamos então, para cada um dos lados do triângulo, encontrar o vetor direção e depois parametrizar o segmento de reta tomando cuidado com o sentido que escolhemos.

Tendo o vetor direção V → = ( a , b ) e sabendo o ponto inicial P 0 = x 0 , y 0 , sabemos que a parametrização do segmente vai ser

x t = x 0 + a t

y t = y 0 + b t

Depois escolhemos x ou y para determinar os limites de t , vamos lá?

Passo 2

Vamos começar pela reta que se encontra no eixo y , vamos chama-la de C 1 . Ela é o segmento de reta que liga ( 0,1 ) a 0,0 , certo? Seu vetor direção V → = B - A

V → = 0,0 - 0,1

V → = 0 , - 1

É importante lembrar que ( 0 , - 1 ) ≠ 0,1 , que seria o vetor no outro sentido, tome cuidado com isso!

Beleza, nessa reta aqui, já temos dois pontos A = 0,1 e B = ( 0,0 ) , podemos escolher qualquer um deles como P 0 , o que vai mudar vão ser os limites de t . Aqui vou fazer os dois casos só pra você ver como fica, nas próximas retas vamos sempre escolher apenas um.

Para o ponto P 0 = A = 0,1 a parametrização fica

y t = 1 - t

x t = 0

Ué? x pode ser igual a zero?! Pode sim! O que isso quer dizer é que, para qualquer valor de t , a coordenada x da reta vai sempre ser zero. Se você olhar pro esboço dá pra perceber que isso é verdade.

E quais os limites de t nesse caso? Vamos ver isso por y , que vai de 1 a 0

y = 1 = 1 - t → t = 0

y = 0 = 1 - t → t = 1

0 ≤ t ≤ 1

E se escolhêssemos o outro ponto dessa reta pra fazer a parametrização? Olha só como fica!

A = 0,0

x t = 0

y t = - t

Sendo que y vai de 1 a 0 também, com isso

y = 1 = - t → t = - 1

y = 0 = - t → t = 0

- 1 ≤ t ≤ 0

r 1 t = 0,1 - t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

r 1 t = 0 , - t ∴ - 1 ≤ t ≤ 0

Ambas parametrizações estão corretas!

Passo 3

Vamos para o próximo seguimento de reta, chamaremos de C 2 que liga B a C . Para encontramos o vetor direção é só fazer o ponto final menos o inicial, certo?

V → = C - B = 1,0 - 0,0

V → = 1,0

Escolhendo o ponto P 0 = B = 0,0 para parametrizar essa reta ficamos com

x t = 0 + t = t

y t = 0

De novo um termo é igual a zero e, de novo, isso não é problema! Veja que y realmente sempre é zero nessa reta, tranquilo? Vamos ver os limites de t agora.

Sabemos que x vai de 0 até 1 , portanto

x = 0   →   t = 0

x = 1   →   t = 1

0 ≤ t ≤ 1

r 2 t = t , 0   ∴ 0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Vamos para o último segmento de reta C 3 , aquele que liga C a A . Novamente vamos encontrar o vetor direção pela diferença entre os pontos final e inicial

V → = A - C = 0,1 - 1,0

V → = - 1,1

Escolhendo o ponto P 0 = C = 1,0 para parametrizar a reta, ficamos com

x t = 1 - t

y t = t

Para determinar os limites de t , sabemos que y começa valendo zero no ponto C e termina valendo 1 no ponto A , portanto

y = 0 → t = 0

y = 1 → t = 1

0 ≤ t ≤ 1

Veja que, pela parametrização de x

t = 0 → x = 1 - 0 = 1

t = 1 → x = 1 - 1 = 0

Portanto, de fato essa parametrização leva 1,0 até 0,1 .

r 3 t = 1 - t   ,   t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

Passo 5

Pronto! Agora só juntando tudo pra ficar bonito

C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3

Onde

C 1 = r 1 t = 0,1 - t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

C 2 = r 2 t = t , 0   ∴ 0 ≤ t ≤ 1

C 3 = r 3 t = 1 - t   ,   t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

Resposta

C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3

C 1 = r 1 t = 0,1 - t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

C 2 = r 2 t = t , 0   ∴ 0 ≤ t ≤ 1

C 3 = r 3 t = 1 - t   ,   t ∴ 0 ≤ t ≤ 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Encontre a parametrização da curva C dada equação

4 x 2 + y 2 = 4

Respeitando a inequação x y ≥ 0

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Passo 1

Vamos lá galera, essa curva aí é uma daquelas clássicas dada na teoria, lembra? Quando falamos de elipse e circunferência sempre temos x 2 e y 2 se somando, essa fórmula aqui

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Nesse nosso caso não está igual a 1 , né? Mas isso não é problema, é só dividir por 4 dos dois lados, fica assim

x 2 + y 2 4 = 1

O esboço é esse aqui

Passo 2

Pra parametrizar isso aí a gente usa a relação fundamental da trigonometria

cos 2 ⁡ t ⏟ x 2 + sen 2 ⁡ t ⏟ y 2 4 = 1

x 2 = cos 2 ⁡ t

y 2 = 4 sen 2 ⁡ t

x = cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Teoricamente essa seria a nossa resposta, só que a questão bota uma outra limitação ali, ela diz que

x y ≥ 0

Ué, mas o que isso quer dizer? Pensa o seguinte, na elipse completa os limites de x e y são

- 1 ≤ x ≤ 1

- 2 ≤ y ≤ 2

Existem pontos em que o produto de   x por y não dá positivo (maior que zero). Po, então como podemos garantir que x y de fato é positivo?

Bom, vamos ter que fazer um estudo de sinal aqui, pensa só, quando x é positivo e y é positivo, o produto também vai ser positivo! Agora, quando um é positivo e o outro negativo, o produto dá negativo. De forma geral é isso aqui

Então, para que x y ≥ 0 , precisamos que x e y sejam positivos ou que ambos sejam negativos. E quando isso acontece? O plano x y é dividido em quatro quadrantes, vamos analisar cada um deles separadamente aqui

No 1º quadrante temos que 0 ≤ t ≤ π 2 , nessa região x e y são positivos, então o produto x y também é maior que zero

No 2º quadrante temos que π 2 ≤ t ≤ π , aqui x é negativo e y é positivo, então o produto x y é menor que zero

No 3º quadrante temos que π ≤ t ≤ 3 π 2 , nessa região x e y são negativos, então o produto x y é maior que zero

No 4º quadrante temos que 3 π 2 ≤ t ≤ 2 π , nessa região x é positivo e y é negativo, então o produto x y é menor que zero

Portanto, somente no primeiro e no terceiro quadrante temos x y ≥ 0 , portanto os limites de t são

t = 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2

Resposta

x = cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

t = 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Parametrize a curva C dada pela interseção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o plano x + y + 2 z = 3