Teorema de Green

Teoria Completa

Módulo 2

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo Vetorial - Lista 2 Thomé - 4

Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ∮ C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y , onde C é a fronteira da região entre y = x 2 e y = x , percorrida no sentido anti-horário.

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Passo 1

Vamos esboçar a região para entender melhor o problema. Temos uma reta y = x e uma parábola y = x 2 :

Para podermos aplicar o Teorema de Green, orientamos positivamente a curva.

Passo 2

Agora vamos calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Temos

F x , y = e x + y 2 , e y + x 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = ∂ ( e y + x 2 ) ∂ x - ∂ ( e x + y 2 ) ∂ y = 2 x - 2 y

Passo 3

Agora vamos montar a integral dupla, utilizando o Teorema de Green:

∫ C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y = 2 ∬ D x - y   d x d y

Onde D é a região limitada pela curva C , que vimos lá em cima.Vamos, então, descrever essa região para reescrever essa integral dupla em iterada. Temos que y varia entre y = x e a parábola y = x 2 e 0 ≤ x ≤ 1 .

Nossa integral passa a ser então:

2 ∫ 0 1 ∫ x 2 x x - y   d y d x

Passo 4

Começaremos integrando em relação a y :

= 2 ∫ 0 1 x y - y 2 2 x 2 x d x =

= 2 ∫ 0 1 x 2 - x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

= 2 ∫ 0 1 x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

Passo 5

Agora em relação a x :

= 2 x 3 6 - x 4 4 + x 5 10 0 1

= 2 1 6 - 1 4 + 1 10

= 1 3 - 1 2 + 1 5

= 1 30

Resposta

1 30

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 228 ex 6.7

Calcule

∮ C   x 2 - y 2 2 d x + x 2 2 + y 4 d y

onde C é a fronteira da região D definida por

D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

orientada no sentido anti-horário.

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Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

Como x 2 + y 2 é o raio de uma circunferência, a região está limitada por uma circunferência de raio 1 e outra de raio 2 . Como temos x ≥ 0 e y ≥ 0 , tomamos apenas o 1º quadrante.

Essa curva (a fronteira da região) é formada por 4 segmentos, cada um com uma parametrização. Isso ia gerar muito trabalho. Isso é uma dica de que pode ser uma boa usar o Teorema de Green, vamos tentar!

Passo 2

O campo vetorial da questão pode ser escrito como

F = x 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 4

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 2 + y 4 = x

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y x 2 - y 2 2 = - y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = x - - y = x + y

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

∬ D   x + y d x d y

Note que a curva está orientada positivamente!

Passo 4

Como a região D está compreendida entre dois arcos de circunferência, a melhor saída aqui são as coordenadas polares. Faremos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Pelo próprio gráfico, vemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 , o que equivale a 1 / 4 de circunferência. Os valores de r variam entre os dois arcos, logo 1 ≤ r ≤ 2 . Temos, então:

∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 ( r cos ⁡ θ + r   sen ⁡ θ ) r   d r d θ = ∫ 0 π / 2 ∫ 1 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r 2   d r d θ =

Passo 5

Agora podemos calcular a integral. Integrando em relação a r temos:

= ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r 3 3 r = 1 r = 2 d θ =

= 7 3 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d θ =

Passo 6

Integramos, então, em relação a θ :

= 7 3 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 π / 2 =

= 7 3 1 - 0 - 0 - 1 =

Resposta

14 3

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo 3 - P4 2014.1 – 3

Use o Teorema de Green para calcular a área da região plana A do primeiro quadrante delimitada por y = x ,   y = 1 x e y = x 9 .

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Passo 1

A gente viu na teoria que podemos utilizar o teorema de Green para calcularmos a área de uma região se lembrarmos que a área pode ser calculada pela integral dupla:

Á r e a = ∬ A   d x d y

E nós precisamos usar o Teorema de Green para calcular isso:

∮ C   F . d r = ∬ A   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Então, podemos dizer que a integral de linha sobre a borda dessa região A é igual a essa integral dupla sobre A . Sendo C , é claro, orientada no sentido anti-horário (positivo).

E a condição que temos que atender é, na verdade:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Então, tudo o que precisamos é de um campo F que satisfaça essa condição. Vamos escolher um fácil né? Pode ser:

F x , y = 0 , x

Nesse caso

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 - 0 = 1

Show! Agora podemos aplicar Green:

∮ C   F . d r = ∬ A   d x d y = Á r e a

Logo, a área que queremos é dada pela integral de linha de F em C .

Passo 2

Vamos começar fazendo um esboço dessa região. Temos a reta y = x (em vermelho) e a reta y = x / 9 , que tem inclinação menor que a primeira (em azul). Temos também a curva 1 / x (em verde):

A região é essa aí em cinza.

Então, a fronteira dessa região, que vai ser nossa curva C tem 3 partes, não é? Vamos precisar calcular 3 integrais de linha.

Vamos chamar de C 1 o segmento vermelho, de C 2 o azul e C 3 o verde. Isso nos dá:

Á r e a = ∫ C 1   F . d r + ∫ C 2   F . d r + ∫ C 3   F . d r

Passo 3

Vamos, agora, parametrizar esses segmentos:

C 1 pertence à reta x = y , portanto;

C 1 = ( x , x )

Para achar o ponto final devemos achar a interseção

y = x y = 1 x → x = 1 x ∴ x = 1

Assim, 0 ≤ x ≤ 1 .

C 2 pertence à reta y = x / 9 , logo:

C 2 = x , x 9

De novo, precisamos determinar a interseção

y = x 9 y = 1 x → x 9 = 1 x ∴ x = 3

Ou seja, 0 ≤ x ≤ 3 .

C 3 pertence a y = 1 / x , o que nos dá:

C 3 = x , 1 x

Com x variando de 3 a 1 .

Passo 4

Agora vamos derivar essas parametrizações:

C 1 ' = ( 1,1 )

C 2 ' = 1 , 1 9

C 3 ' = 1 , - 1 x 2

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula:

∫ C   F x , y ⋅ d r = ∫ a b F x t ,   y t ⋅ r → ' t d t

Onde

F x , y = 0 , x