Classificação de EDOs

Teoria Completa

Módulo 2

Teoria de Classificação de Edos

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON education do brasil ltda., 2007, pp. 162 - 1

Sabe-se que y = c 1 e x + c 2 e - x é uma família de soluções para y " - y = 0 no intervalo ( - ∞ , + ∞ ) . Encontre um membro dessa família satisfazendo as condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 .

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Passo 1

Trata-se de um problema de valor inicial, pois temos informações do tipo:

y x 0 = y 0

y ' x 0 = y 1

Como o problema já afirma que y = c 1 e x + c 2 e - x é solução, não precisamos provar que y é solução.

Portanto, vamos começar encontrando a primeira derivada de y .

y = c 1 e x + c 2 e - x

y ' = c 1 e x - c 2 e - x

Passo 2

Agora, vamos utilizar as informações fornecidas no enunciado para encontrar o valor das constantes. Temos:

y 0 = 0

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = 0

y 0 = c 1 + c 2 = 0

→ c 1 = - c 2

Além disso:

y ' ( 0 ) = 1

y ' 0 = c 1 e 0 - c 2 e 0 = 1

y ' 0 = c 1 - c 2 = 1

→ c 1 = 1 + c 2

Das duas equações acima temos:

- c 2 = 1 + c 2

c 2 = - 1 2

Logo:

c 1 = 1 2

Passo 3

Por fim, basta substituir os valor de c 1 e c 2 na equação:

y = c 1 e x + c 2 e - x

Fica assim:

y = 1 2 e x - 1 2 e - x

Resposta

y = 1 2 e x - 1 2 e - x

Exercício Resolvido #2

Questão 2: Sobre as soluções lineares, isto é, da forma y = A x + B , da equação y ' ' + x y ' 2 = 4 x podemos afirmar que:

  1. Há infinitas soluções lineares.
  2. Não há soluções lineares.
  3. Há uma única solução linear.
  4. Há um par de soluções lineares.
  5. Nenhuma das demais alternativas:
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Passo 1

Bem, se estamos admitindo que y = A x + B é solução (linear) da nossa EDO, partiu substituir e tentar ver se de fato existem A e B que satisfazem a EDO !

Passo 2

Primeiro derivando...

y = A x + B   →

y ' = A

y ' ' = 0

Agora substituindo...

y ' ' + x y ' 2 = 4 x     →

x A 2 = 4 x   →

A = ± 2

Então a nossa solução linear fica assim:

y = ± 2 x + B

Como com apenas as informações do enunciado não tem como descobrir quem é B , ele pode ser qualquer valor real, então existem infinitas opções de soluções lineares !

Resposta

a )   Há infinitas soluções lineares.

Exercício Resolvido #3

EDO de 2ª Ordem homogênea

Considere a equação diferencial y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , com p x e q x funções reais.

Sabendo que y 1 x = x e y 2 x = x 2 são soluções da equação determine p x e q x .

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Passo 1

Para acharmos p x e q x vamos substituir as duas soluções da EDO e ver o que temos, começando com y 1 x = x

y 1 = x

y 1 ' = 1

y 1 ' ' = 0

Substituindo na equação vamos ter

0 + p x . 1 + q x . x = 0

p x + x q x = 0

Passo 2

Vamos agora substituir os valores de y 2 x = x 2

y 2 = x 2

y 2 ' = 2 x

y 2 ' ' = 2

Substituindo na equação vamos ter

2 + p x . 2 x + q x . x 2 = 0

2 + 2 x p x + x 2 q x = 0

Passo 3

Vamos ter o seguinte sistema

p x + x q x = 0 2 + 2 x p x + x 2 q x = 0

Multiplicando a primeira equação por - x vamos ter

- x p x - x 2 q x = 0

Somando com a segunda equação

2 + 2 x p x - x p x = 0

2 + x p x = 0

x p x = - 2

p x = - 2 x

Substituindo esse valor na primeira equação vamos ter

- 2 x + x q x = 0

x q x = 2 x

q x = 2 x 2

Vamos ter

p x = - 2 x

q x = 2 x 2

Resposta

p x = - 2 x

q x = 2 x 2

Exercício Resolvido #4

Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = 2 + x + x 2 ,     I = 0 , ∞ ,     d y d x = 1 + 2 x 2 y

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Passo 1

Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas

1. A função dada está bem definida no intervalo?

2. Se eu substituir a expressão da f no y da equação, a igualdade é satisfeita?

Passo 2

Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.

Nesse caso a gente só está trabalhando com número positivo porque

x ∈ 0 , ∞

Então o polinômio que está dentro da raiz é uma soma de números positivos. Portanto, a função está bem definida no intervalo que ele deu.

Passo 3

Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar f onde tem y e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se

d f d x = 1 + 2 x 2 f

Vamos trabalhar o lado esquerdo da igualdade primeiro. Bora derivar a função f que ele deu pra gente

d f d x = d d x 2 + x + x 2 = d d x 2 + x + x 2 1 2

Agora, está tranquilo porque temos que derivar um polinômio e isso a gente sabe como faz. Só não esquece da regra da cadeia!

d f d x = 1 2 2 + x + x 2 - 1 2 . 2 + x + x 2 ' = 1 2 2 + x + x 2 - 1 2 . 1 + 2 x  

d f d x = 1 + 2 x 2 2 + x + x 2

Agora vamos ver o lado direito:

1 + 2 x 2 f = 1 + 2 x 2 2 + x + x 2

Passo 4

Como a gente manteve a igualdade está tudo certo! Então a função f é sim solução da equação dada.

Resposta

É solução!

Exercício Resolvido #5

Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = C 1 e x + C 2 e - x ,               I = R ,     y ' ' = y

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Passo 1

Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas

1. A função dada está bem definida no intervalo?

2. Se eu substituir a expressão da f no y da equação, a igualdade é satisfeita?

Passo 2

Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.

A função exponencial, e x , deixa eu assumir qualquer valor para x , então ela não é um problema.

Muita calma nessa hora, você pode acabar indo muito rápido e dizer que pela mesma razão, e - x não tem problema. Mas, se liga numa coisa

e - x = 1 e x

Então temos que ver se não tem denominador dando zero! Por sorte a exponencial nunca dá 0, então não tem treta nenhum no denominador.

A nossa função está bem definida!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar f onde tem y e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se

f ' ' = f

Vamos trabalhar a segunda derivada primeiro. Bora derivar a função f que ele deu pra gente

f ' = C 1 e x ' + C 2 e - x ' = C 1 e x - C 2 e - x

Agora, precisamos derivar a expressão acima novamente

f ' ' = f ' ' = C 1 e x - C 2 e - x ' = C 1 e x + C 2 e - x

Show, agora repara que essa expressão de f ' ' é a mesma expressão que f , então temos a igualdade que queríamos!

Resposta

É solução!

Exercício Resolvido #6

Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = e - x + x 3 ,     I = R ,     y i v + 4 y ' ' ' - 3 y ' = x

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Passo 1

Neste tipo de questão de verificar se uma função é solução de uma equação num intervalo a gente tem que ver duas coisas

1. A função dada está bem definida no intervalo?

2. Se eu substituir a expressão da f no y da equação, a igualdade é satisfeita?

Passo 2

Vamos começar respondendo a primeira pergunta. Na real o que a gente quer saber é se não tem divisão por zero, raiz de número negativo, log com número negativo.

O termo x 3 pode ter qualquer valor, porque não há restrição (denominador sendo zero e essas coisas).

Muita calma nessa hora, você pode acabar indo muito rápido e dizer que e - x não tem problema. Mas, se liga numa coisa

e - x = 1 e x

Então temos que ver se não tem denominador dando zero! Por sorte a exponencial nunca dá 0, então não tem treta nenhum no denominador.

A nossa função está bem definida!

Passo 3

Agora vamos ver a segunda pergunta. A gente vai colocar f onde tem y e ver se a igualdade se manteve, ou seja, queremos ver se

f i v + 4 f ' ' ' - 3 f ' = x

Então não tem jeito pessoal, precisamos ir derivando a expressão de f :

f ' = e - x ' + x 3 ' = - e - x + 1 3

f ' ' = f ' ' = - e - x ' + 1 3 ' = e - x

f ' ' ' = f ' ' ' = e - x ' = - e - x