EDOs Separáveis

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Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Ache a solução geral da equação diferencial abaixo:

d y d x = x y + 3 x - y - 3

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer aqui é tentar reescrever essa equação no formato característico de equação separável, ou seja, separando o y   do x ,   beleza?

d y d x = f x . g ( y )

Então vamos ter:

d y d x = x y - y + 3 x - 3 = y x - 1 + 3 x - 1

Colocando ( x - 1 ) em evidência:

d y d x = ( y + 3 ) ( x - 1 )

Maravilha, veja que temos uma multiplicação de uma função só em y e outro só em x . Então conseguimos escrevê-la como uma EDO separável.

Agora, jogando tudo que tem x para a direita e tudo o que tem y   para esquerda, ficamos com:

d y y + 3 = x - 1 d x

Lembrando que y ≠ - 3 para o denominador da fração não ser igual a zero.

Passo 2

Feito isso podemos começar a nossa receita de bolo de separável integrando os dois lados. Vamos começar integrando o lado direito:

∫ d y y + 3

Aqui nós temos podemos fazer uma substituição onde,

u = y + 3

d u = d y

Então ficamos com:

∫ d u u = ln ⁡ u

Voltando agora com nossa expressão original de u :

∫ d y y + 3 = ln ⁡ y + 3 + C 1

Passo 3

Integrando agora a parte direita da EDO, ou seja, a parcela que tem x , temos:

∫ x - 1 d x = ∫ x   d x - ∫ 1   d x

Ou seja,

∫ x - 1 d x = x 2 2 - x + C 2

Agora que já temos nossas integrais, podemos retornar a nossa igualdade.

Passo 4

Igualando as duas integrais temos:

ln ⁡ y + 3 + C 1 = x 2 2 - x + C 2

Repara que podemos diminuir um pouco essa expressão juntando essas duas constantes de integração, fazendo ela virar uma única, ou seja,

C = C 2 - C 1

ln ⁡ y + 3 = x 2 2 - x + C

Assim já está correto mas pode acontecer do professor pedir para você dar a resposta em formato exponencial, nesse caso vamos seguir para o próximo passo.

Passo 5

Se quisermos deixar de uma forma explícita, vamos jogar a exponencial dos dois lados. Ou seja, o l n vai sumir e tudo o que estava do lado direito da equação vai ser o expoente do e :

y + 3 = e x 2 2 - x + C

y = e x 2 2 - x + C - 3

Resposta

y = e x 2 2 - x + C - 3 ,                 C   é   u m a   c o n s t a n t e

Exercício Resolvido #2

  1. Mostre que a equação
  2. y + x d y d x = 1 y

    É separável

  3. Resolva a mesma

Passo 1

Na letra (a) nós precisamos conferir se a equação é separável, para isso temos que isolar d y d x e ver se d y d x vai ser o produto de uma função só de x com uma função só de y , show?

d y d x = f x . g ( y )

Então vamos começar passando o y da esquerda para a direita da equação:

y + x d y d x = 1 y

x d y d x = 1 y - y

Agora jogando o x   para o outro lado,

d y d x = 1 y - y 1 x

Com isso vemos que a EDO realmente é uma equação separável, pois há uma multiplicação entre os parênteses, sendo o primeiro é só de y e o segundo só de x .

Passo 2

Agora que sabemos que a equação é separável, a letra (b) nos pede para resolver. E para isso temos que multiplicar cruzado deixando tudo com y de um lado e tudo com x do outro.

d y 1 y - y = 1 x d x

Agora vamos integrar dos dois lados,

∫ d y 1 y - y = ∫ 1 x d x

A integral do lado direito é a famosa:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Dessa forma,

∫ d y 1 y - y = ln ⁡ x + C 1

Mas e a integral do lado esquerdo?

Passo 3

Temos que fazer a integral do lado esquerdo separada, porque ela é um pouco mais complicada.

∫ d y 1 y - y

Vamos começar dando uma arrumada nisso,

∫ d y 1 y - y

= ∫ d y 1 - y 2 y

Como temos uma fração no denominador, vamos repetir a parte de cima e multiplicar pelo inverso da fração que está embaixo. E vai ficar assim:

= ∫ y d y 1 - y 2

Agora que já ficou um pouco melhor, vamos resolver fazendo substituição:

1 - y 2 = u

d u = - 2 y d y

→ y d y = - 1 2 d u

Colocando isso na integral,

∫ y d y 1 - y 2 = - 1 2 ∫ d u u

Resolvendo a integral vamos ter,

- 1 2 ∫ d u u = - 1 2 ln ⁡ u + C 2

E agora voltando para y ,

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 + C 2

Passo 4

Voltando para nossa integral vamos ter,

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 + C 2 = ln ⁡ x + C 1

Juntando as constantes de integração do mesmo lado teremos:

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x + C 1 - C 2

E como são constantes podemos escrever assim:

C = C 1 - C 2

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x + C

Vamos também passa esse - 1 2 para o outro lado da equação, ficando com:

ln ⁡ 1 - y 2 = - 2 ln ⁡ x - 2 C

Agora temos que isolar o y , e pra isso vamos usar uma propriedade de logaritmo que fala,

a ln ⁡ x = ln ⁡ x a

Então esse - 2 que está na frente do ln ⁡ x vai subir lá por expoente de x :

ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x - 2 - 2 C

Como x - 2 é sempre positivo, podemos tiras as barrinhas do módulo

ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x - 2 - 2 C

E para deixar o   y sozinho, precisaremos aplicar a exponencial dos dois lados da igualdade. Fazemos isso sempre que quisermos tirar alguma coisa de dentro de um logaritmo.

e ln ⁡ 1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 - 2 C

Assim vamos poder cortar o e com o ln ⁡ e vai sobrar só a parte de dentro do ln ⁡ .

e ln ⁡ 1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 - 2 C

Ainda podemos separar o expoente da expressão que está do dado direito, fazendo:

1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 e - 2 C

Isso vai deixar a gente cortar o e com o ln ⁡ deste lado também

1 - y 2 = x - 2 e - 2 C

Podemos deixar assim que a resposta já está certa, maaaas é comum darmos uma embelezada maior nela.

Passo 5

Para deixar a resposta mais bonita podemos fazer e - 2 C sendo K , porque ele é todo uma constante. Então,

1 - y 2 = x - 2 K

Então temos,

1 - y 2 = ± K x - 2

y 2 = 1 ∓ K x - 2

Podemos fazer ainda ∓ K = C 3

E com isso vamos ter,

y 2 - 1 = C 3 x - 2

Agora acabou! 😉

Resposta

b)

y 2 - 1 = C 3 x - 2

Exercício Resolvido #3

Resolva a equação diferencial dada por separação de variável descrita abaixo:

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

Passo 1

Vamos começar escrevendo essa equação naquele formato característico de EDO separável.

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 2 x 2

Pra isso podemos jogar tudo o que é x para a esquerda e tudo o que é y para a direita temos:

x 2 ln ⁡ x d x = y + 1 2 y d y

Agora que já está naquele formato que a gente gosta é só começar a botar a mão na massa e integrar de ambos os lados.

Passo 2

Vamos integrar cada lado da equação separado começando pelo lado esquerdo. Dessa forma:

∫ x 2 ln ⁡ x d x

Vamos utilizar o método de integração por partes para resolver essa brincadeira. Lembrando o método:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aqui vamos usar,

u = ln ⁡ x

d v = x 2 d x

Onde,

∫ d v = ∫ x 2 d x

v = x 3 3

E,

d u = 1 x

Então teremos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x   =   ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 2 3 d x   = ln ⁡ x x 3 3 - x 3 3.3    

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9

Dessa vez vamos deixar para colocar a constante de integração no final, beleza?

Passo 3

Integrando o outro lado da equação:

∫ y + 1 2 y d y

Aqui nós vamos precisar abrir o produto notável, lembrando que:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Mas nesse caso o nosso a vai ser representado pelo y e o b   por 1. Então,

y + 1 2 = y 2 + 2 y + 1

∫ y + 1 2 y d y

= ∫ y 2 + 2 y + 1 y d y

Vamos separar as parcelas e simplificar pra ficar mais fácil de integrar:

∫ y 2 y d y + ∫ 2 y y d y + ∫ 1 y d y

∫ y + 1 2 y d y = ∫ y   d y + ∫ 2   d y + ∫ 1 y d y

Resolvendo essas integrais, teremos:

∫ y + 1 2 y d y = y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y

Passo 4

Agora é só juntar nossos resultados. Igualando as duas integrais obtidas e incluindo a constante de integração, C , vamos ficar com:

ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 =   y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + C  

Repara que como deixamos a constante de integração para o final, dessa vez não vamos precisar nos preocupar com várias constantes de nomenclaturas diferentes.

Agora vamos reescrever ela? Não dessa vez! Devido à complexidade da equação não será possível escrever a resposta na forma explicita, somente na implícita como a gente fez logo acima.

Resposta

ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 =   y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + D

Onde C é uma constante

Exercício Resolvido #4

Considere a equação diferencial y ' = 2 x 1 - y 2 :

Ache a solução geral explícita desta equação diferencial.

Passo 1

Eu particularmente gosto de enunciado assim, bem diretão! O que ele quer da gente é simplesmente achar a solução geral dessa EDO. Vamos lá então. A primeira coisa que temos que perceber é que essa equação é separável.

y ' = 2 x 1 - y 2

Lembra lá da teoria? Pra sabermos se uma equação é separável ou não, precisamos que ela tenha a forma

y ' = f x . g y

Nesse caso acima é exatamente o que temos, onde

f x = 2 x

g y = 1 - y 2  

Para começar a resolução, nosso primeiro passo é simplesmente trocar y ' por d y d x

d y d x = 2 x 1 - y 2

Passo 2

Agora teríamos que isolar o termo d y d x , mas isso já está feito. Seguindo nosso passo a passo da teoria, nosso próximo passo é então separarmos para o lado esquerdo da igualdade tudo aquilo que está em função de y , e tudo aquilo que está em função de x vai para o lado esquerdo. Ficamos então com

d y d x = 2 x 1 - y 2

1 1 - y 2   d y = 2 x   d x

Observe que a parte com a raiz passou dividindo para o lado esquerdo da igualdade, já que estava multiplicando quando estava do lado direito.

Pra ficar mais organizado podemos simplesmente reescrever isso como

d y 1 - y 2 = 2 x d x

Passo 3

Agora que já está separado, temos que aplicar a integral dos dois lados

∫ d y 1 - y 2 = ∫ 2 x   d x

Resolvendo primeiro o lado direito dessa igualdade temos

∫ 2 x   d x

Ela é uma integral de polinômio, então teremos:

x n = x n + 1 n + 1 + C 1

Onde C 1 é nossa constante de integração.

Observa que podemos tirar esse 2 de dentro da integral já que é apenas uma constante. Ficaremos então com.

2 ∫ x   d x

= 2 x 2 2 + C 1

x 2 + C 1

Mas e o lado esquerdo?

Queremos resolver essa integral

∫ d y 1 - y 2

Uma forma de fazer é lembrar que ela é uma integral “direta”, eu coloquei as aspas porque nem sempre é fácil lembrar que

∫ d y 1 - y 2 = arcsen ⁡ y + C 2

Mas infelizmente isso aí é uma coisa que vamos ter de memorizar, porque essa integral é tabelada.

Passo 4

Voltando para a EDO, vamos substituir as integrais que achamos.

Antes tínhamos

∫ d y 1 - y 2 = ∫ 2 x   d x

Já descobrimos as integrais dos dois lados que foram

arcsen ⁡ y + C 2 = x 2 + C 1

Como temos constantes dos dois lados da igualdade, podemos reescrever ela de um lado só

arcsen ⁡ y = x 2 + C

Por último agora precisamos isolar o y. Chato esse passo aí por que ele está dentro de um a r c s e n , né? Mas pra isso vamos precisar de uma propriedade que diz que:

a r c s e n a = b

a = s e n ( b )

Veja que o que está dentro do nosso a r c s e n será igual ao seno do resultado.

No nosso caso, a = y e b = x 2 + C  

Então teremos para a solução explícita

y = sen ⁡ x 2 + C

E com essa propriedade a gente encontra o resultado.

Resposta

y = sen ⁡ x 2 + C

Exercício Resolvido #5

Considere a equação diferencial

y ' = 7 x e x + y

a Ache a solução geral.

b Resolva o problema de valor inicial com a condição inicial y 0 = 2 .

Passo 1

a) A letra (a) nos pede simplesmente pra encontrarmos a solução geral, vamos lá então, pra começar precisamos perceber que essa EDO é uma separável. Complicado notar isso quando precisamos ter

y ' = f x g y

E o que temos não parece muito com isso que procuramos.

y ' = 7 x e x + y

Vou precisar agora que você se lembre de uma propriedade da exponencial. Temos que

e a + b   = e a . e b

No caso da nossa questão temos e x + y  

e x + y = e x . e y

Então reescrevendo a EDO

y ' = 7 x e x e y

y ' = 7 x e x 1 e y

Observa que pra esse caso agora temos exatamente o que estávamos procurando, um produto de duas funções, uma só em x , e outra só em y .

y ' = f x g y

f x = 7 x e x

g y = 1 e y

Para começar a resolução devemos trocar y ' por d y d x

d y d x = 7 x e x 1 e y

Passo 2

Vamos passa pra o lado esquerdo tudo o que está em função de y e para o direito tudo o que está em função de x .

e y d y = 7 x e x d x

Vamos deixar isso com uma cara mais amigável subindo esse e x .

e y d y = 7 x e - x d x

Passo 3

Agora temos que aplicar a integral dos dois lados

∫ e y d y = ∫ 7 x e - x d x

O lado esquerdo fica tranquilinho já que é simplesmente um exponencial e temos a integral da exponencial é a própria exponencial:

∫ e y d y = e y + C 1

Onde C 1 é nossa constante de integração. Assim, ficamos com:

e y + C 1 = ∫ 7 x e - x d x

Mas e o lado direito? Vamos ver como resolve no próximo passo

Passo 4

Queremos resolver essa integral

∫ 7 x e - x d x

Pra resolver isso vou precisar que você se lembre de como resolver a integral por partes. Vamos seguir a ordem do LIATE (log, inversas, algébrica, trigonométrica, exponencial), onde essa ordem é a que vamos respeitar para escolher o u .

Como não temos nenhuma função log ou inversa, nosso u então será o 7 x .

Tudo o que sobra dentro da integral é então o d v

u = 7 x → d u = 7 d x

d v = e - x d x → v = - e - x

A nossa integral vai ficar

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x - ∫ - 7 e - x d x

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x + 7 ∫ e - x d x

Aquela integral que sobrou é tranquilo fazer já que já vimos que a integral da exponencial é ela mesma, então vamos ter

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x + 7 - e - x + C

∫ 7 x e - x d x = - 7 x e - x - 7 e - x + C

Passo 5

Voltando para a EDO, vamos substituir a integral que achamos. Ela vai ficar

e y = - 7 x e - x - 7 e - x + C

Agora precisamos isolar aquele y , pra isso, vamos aplicar a função inversa a exponencial dos dois lados, isso é, o ln ⁡ , assim conseguimos isolar o y

ln ⁡ e y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

Cortando o ln ⁡   com o e do lado esquerdo ficamos com:

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

Que é a nossa solução geral pedida no item a).

Passo 6

b) Agora precisamos aplicar a condição inicial para descobrirmos o valor da constante.

Ele disse no enunciado que

y 0 = 2

Então, vamos substituir o x por 0 e igualar a 2. Assim teremos uma equação onde vamos conseguir achar o valor da constante C .

y x = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

Substituindo todos os x por zero

y 0 = ln ⁡ - 7.0 . e - 0 - 7 e - 0 + C = 2

ln ⁡ - 7 + C = 2

Para achar o valor de C vamos aplicar a exponencial em ambos os lados, já que dessa vez queremos isolá-lo.

e ln ⁡ - 7 + C = e 2

- 7 + C = e 2

C = e 2 + 7

Já que temos o valor de C podemos então substituir na solução que tínhamos antes

y x = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + e 2 + 7

Prontinho, respondida a letra d).

Resposta

a)

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + C

b)

y = ln ⁡ - 7 x e - x - 7 e - x + e 2 + 7

Exercício Resolvido #6

Seja a equação diferencial ordinária y ' t = 2 y t y t - 1 .

Obtenha a solução geral da EDO acima.

Passo 1

Lendo o enunciado temos um pedido bem diretão. É pra gente encontrar a solução da EDO...tranquilo, mas como? Vou precisar que você perceba que isso é uma EDO separável, ou seja, temos a EDO na forma

y ' = f t g ( y )

y ' = 2 y y - 1

Nesse caso temos

g y = y y - 1

f t = 2

Colocar a derivada na forma d y d t em vez de y '

d y d t = 2 y ( y - 1 )

Passo 2

Vamos então colocar do lado esquerdo tudo aquilo que está em função de y e do lado direito tudo o que está em função de t

d y d t = 2 y ( y - 1 )