EDOs Separáveis

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Ache a solução geral da equação diferencial abaixo:

d y d x = x y + 3 x - y - 3

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Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer aqui é reescrever essa equação no formato característico de equação separável, ou seja, separando o y   do x ,   beleza? Então vamos ter:

d y d x = x y - y + 3 x - 3 = y x - 1 + 3 x - 1

Colocando ( x - 1 ) em evidência:

d y d x = ( y + 3 ) ( x - 1 )

Agora, jogando tudo que tem x para a direita e tudo o que tem y   para esquerda, ficamos com:

d y y + 3 = x - 1 d x

Lembrando que y ≠ - 3 para o denominador da fração não ser igual a zero.

Passo 2

Feito isso podemos começar a nossa receita de bolo de separável integrando os dois lados. Vamos começar integrando o lado direito:

∫ d y y + 3

Aqui nós temos podemos fazer uma substituição onde,

u = y + 3

d u = d y

Então ficamos com:

∫ d u u = ln ⁡ u

Voltando agora com nossa expressão original de u :

∫ d y y + 3 = ln ⁡ y + 3 + C 1

Passo 3

Integrando agora a parte direita da EDO, ou seja, a parcela que tem x , temos:

∫ x - 1 d x = ∫ x   d x - ∫ 1   d x

Ou seja,

∫ x - 1 d x = x 2 2 - x + C 2

Agora que já temos nossas integrais, podemos retornar a nossa igualdade.

Passo 4

Igualando as duas integrais temos:

ln ⁡ y + 3 + C 1 = x 2 2 - x + C 2

Repara que podemos diminuir um pouco essa expressão juntando essas duas constantes de integração, fazendo ela virar uma única, ou seja,

C = C 2 - C 1

ln ⁡ y + 3 = x 2 2 - x + C

Assim já está correto mas pode acontecer do professor pedir para você dar a resposta em formato exponencial, nesse caso vamos seguir para o próximo passo.

Passo 5

Se quisermos deixar de uma forma explícita, vamos jogar a exponencial dos dois lados. Ou seja, o l n vai sumir e tudo o que estava do lado direito da equação vai ser o expoente do e :

y + 3 = e x 2 2 - x + C

y = e x 2 2 - x + C - 3

Resposta

y = e x 2 2 - x + C - 3 ,                 C   é   u m a   c o n s t a n t e

Exercício Resolvido #2

UNICAMP, Cálculo 3, P1 2011 Noturno-Modificada
  1. Mostre que a equação
  2. y + x d y d x = 1 y

    É separável

  3. Resolva a mesma
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Passo 1

Na letra (a) nós precisamos conferir se a equação é separável, para isso temos que isolar d y d x e ver se d y d x vai ser o produto de uma função só de x com uma função só de y , show?

Então vamos começar passando o y da esquerda para a direita da equação:

x d y d x = 1 y - y

Agora jogando o x   para o outro lado,

d y d x = 1 y - y 1 x

Com isso vemos que a EDO realmente é uma equação separável.

Passo 2

Agora que sabemos que a equação é separável, a letra (b) nos pede para resolver. E para isso temos que multiplicar cruzado deixando tudo com y de um lado e tudo com x do outro.

d y 1 y - y = 1 x d x

Agora vamos integrar dos dois lados,

∫ d y 1 y - y = ∫ 1 x d x

A integral do lado direito é a famosa:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Dessa forma,

∫ d y 1 y - y = ln ⁡ x + C 1

Mas e a integral do lado esquerdo?

Passo 3

Temos que fazer a integral do lado esquerdo separada, porque ela é um pouco mais complicada.

∫ d y 1 y - y

Vamos começar dando uma arrumada nisso,

∫ d y 1 y - y = ∫ d y 1 - y 2 y = ∫ y d y 1 - y 2

Vamos resolver fazendo substituição:

1 - y 2 = u

d u = - 2 y d y → y d y = - 1 2 d u

Colocando isso na integral,

∫ y d y 1 - y 2 = - 1 2 ∫ d u u

Resolvendo a integral vamos ter,

- 1 2 ∫ d u u = - 1 2 ln ⁡ u + C 2

E agora voltando para y ,

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 + C 2

Passo 4

Voltando para nossa integral vamos ter,

- 1 2 ln ⁡ 1 - y 2 + C 2 = ln ⁡ x + C 1

Juntando as constantes de integração:

C = C 1 - C 2

Agora temos que isolar o y ,

ln ⁡ 1 - y 2 = - 2 ln ⁡ x - 2 C

Lembrando de uma propriedade de logaritmo que fala,

a ln ⁡ x = ln ⁡ x a

Vamos ter,

ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x - 2 - 2 C

Como x - 2 é sempre positivo temos,

ln ⁡ 1 - y 2 = ln ⁡ x - 2 - 2 C

1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 - 2 C

1 - y 2 = e ln ⁡ x - 2 e - 2 C

1 - y 2 = x - 2 e - 2 C

Podemos deixar assim que a resposta já está certa, maaaas é comum darmos uma embelezada maior nela.

Passo 5

Para deixar a resposta mais bonita podemos fazer e - 2 C sendo K , então,

1 - y 2 = x - 2 K

Então temos,

1 - y 2 = ± K x - 2

y 2 = 1 ∓ K x - 2

Podemos fazer ainda ∓ K = C 3

E com isso vamos ter,

y 2 - 1 = C 3 x - 2

Agora acabou! 😉

Resposta

b)

y 2 - 1 = C 3 x - 2

Exercício Resolvido #3

Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp51-19

Resolva a equação diferencial dada por separação de variável descrita abaixo:

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

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Passo 1

Vamos começar escrevendo essa equação naquele formato característico de EDO separável que a gente já conhece.

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 2 x 2

Jogando tudo o que é x para a esquerda e tudo o que é y para a direita temos:

x 2 ln ⁡ x d x = y + 1 2 y d y

Agora que já está naquele formato que a gente gosta é só começar a botar a mão na massa e integrar de ambos os lados.

Passo 2

Vamos integrar cada lado da equação separado começando pelo lado esquerdo. Dessa forma:

∫ x 2 ln ⁡ x d x

Vamos utilizar o método de integração por partes para resolver essa brincadeira. Lembrando o método:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aqui vamos usar,

u = ln ⁡ x

d v = x 2 d x

Onde,

∫ d v = ∫ x 2 d x

v = x 3 3

E,

d u = 1 x

Então teremos:

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x   =   ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 2 3 d x   = ln ⁡ x x 3 3 - x 3 3.3    

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9

Dessa vez vamos deixar para colocar a constante de integração no final, beleza?

Passo 3

Integrando o outro lado da equação:

∫ y + 1 2 y d y

Aqui nós vamos precisar abrir o produto notável, lembrando que:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Mas nesse caso o nosso a vai ser representado pelo y e o b   por 1. Então,

y + 1 2 = y 2 + 2 y + 1

∫ y + 1 2 y d y = ∫ y 2 + 2 y + 1 y d y = ∫ y 2 y d y + ∫ 2 y y d y + ∫ 1 y d y

∫ y + 1 2 y d y = ∫ y   d y + ∫ 2   d y + ∫ 1 y d y

Resolvendo essas integrais simples, teremos:

∫ y + 1 2 y d y = y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y

Passo 4

Igualando as duas integrais obtidas e incluindo a constante de integração, D , vamos ficar com:

ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 =   y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + D  

Repara que como deixamos a constante de integração para o final, dessa vez não vamos precisar nos preocupar com várias constantes de nomenclaturas diferentes.

Agora vamos reescrever ela? Não dessa vez! Devido à complexidade da equação não será possível escrever a resposta na forma explicita, somente na implícita como a gente fez logo acima.

Resposta

ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 =   y 2 2 + 2 y + ln ⁡ y + D

Onde D é uma constante

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ, Cálculo B, P4 2015.1, 4ª-Modificada

Considere a equação diferencial y ' = 2 x 1 - y 2 :

Ache a solução geral explícita desta equação diferencial.

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Passo 1

A primeira coisa que temos que perceber é que essa equação é separável.

y ' = 2 x 1 - y 2

Agora repara que temos do lado direito uma função só com y multiplicada por uma função só com x , isso é a grande evidência disso.

Para começar a resolução devemos trocar y ' por d y d x

d y d x = 2 x 1 - y 2

Passo 2

Agora teríamos que isolar o termo d y d x , mas isso já está feito.

Vamos multiplicar cruzado, procurando deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro

d y 1 - y 2 = 2 x d x