EDOs Lineares

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

CEFET, EDO, Professor Hélder,P1 2014.2, Questão 1 item b

Resolva a seguinte equação diferencial:

y ' + cos ⁡ x y = 5 cos ⁡ x

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Passo 1

A gente bate o olho e vê! Né não? É uma EDO linear de primeira ordem!

Já está na forma certa! Vamos resolver!

Passo 2

A primeira coisa que fazemos quando percebemos que temos uma EDO linear de primeira ordem é identificar quem é o A ( x ) e o B ( x ) , lembrando que a EDO linear é desse jeitão aqui:

d y d x + A x y = B ( x )

A x = cos ⁡ x B x = 5 cos ⁡ x

Passo 3

Agora que a gente já sabe quem são os coeficientes A e B vamos partir para nosso próximo passo da receitinha de bolo, calcular ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ cos ⁡ ( x ) d x

Fazendo a integral de c o s ⁡ ( x ) , ficamos com

∫ A x d x = s e n ( x )

Passo 4

Agora usamos esse resultado para calcular nosso fator integrante I ( x )

I x = e ∫ A x d x = e sen ⁡ x

Passo 5

Agora que temos o nosso fator integrante vamos fazer essa integral aqui:

∫ I x B x d x = ∫ e sen ⁡ x 5 . cos ⁡ x d x

Ae você pensa,” eita, como vou resolver essa integral maluca aqui”. Calma querido aluno, podemos resolver esse integral com uma substituição simples! Vamos chamar s e n ( x ) de u e ficamos com isso aqui:

u = sen ⁡ ( x ) → d u = cos ⁡ ( x ) d x

d x = d u cos ⁡ x

Assim ficamos com:

∫ I x B x d x = ∫ e u 5 . cos ⁡ x d u cos ⁡ x

Podemos cortar os c o s ⁡ ( x ) e colocar a constante que está multiplicando (o número 5) para fora da integral

∫ I x B x d x = 5 ∫ e u d u

E a integral de e u é o próprio e u , então ficamos com

∫ I x B x d x = 5 e u

Só que u = s e n ( x ) , então vamos substituir de volta e ficamos com:

∫ I x B x d x = 5 e sen ⁡ x

Passo 6

E finalmente vamos pegar os resultados que achamos e colocar na fórmula de y ( x )

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

y x = 1 e sen ⁡ x 5 e sen ⁡ x + c

Fazendo a distributiva ficamos com

y x = 5 e sen ⁡ x e s e n x + c e s e n x

Na primeira fração podemos cortar e s e n x em cima e embaixo e na segunda fração podemos passar o e s e n x para cima mudando o sinal do expoente, do mesmo jeito que

c x = c x - 1

Temos que

c e s e n x = c e - s e n x

Então, no final ficamos com

y x = 5 + c e - sen ⁡ x

Resposta

y x = 5 + c e - sen ⁡ x

Exercício Resolvido #2

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Passo 1

A primeira coisa é identificar se nossa equação é linear de primeira ordem. Os pré-requisitos para isso são:

Para ser de primeira ordem a derivada de maior ordem deve ter ordem 1.

d y d x - y tan ⁡ x = sen ⁡ ( x )

Ok, de primeira ordem ela é. Mas para ser linear:

  1. Tanto as derivadas de y quanto o próprio y não podem estar elevados ao quadrado, cubo ou qualquer outro expoente diferente de 1.
  2. Os coeficientes que aparecem multiplicando as derivadas de y e o próprio y dependem apenas de x .

Está tudo de acordo, temos uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Agora vamos resolvê-la. Essa é uma EDO linear, então vamos usar o nosso famoso formato

y ' x + A x y = B ( x )

d y d x - t a n ⁡ ( x ) y = sen ⁡ ( x )

Vamos identificar A x e B ( x )

A x = - tan ⁡ x

B x = sen ⁡ x

Passo 3

Identificamos qual tipo de equação temos e já achamos quem são A x e B ( x ) . O próximo passo é calcular a integral

∫ A x d x = ∫ - tan ⁡ x   d x

Vamos precisar lembrar que tan ⁡ x = s e n x cos ⁡ x , ficando com

∫ - tan ⁡ x   d x = ∫ - sen ⁡ x cos ⁡ ( x )   d x

Agora para resolver essa integral vamos precisar lembrar do método de substituição simples, ele é feito assim:

u = cos ⁡ x

d u = - sen ⁡ x d x

d x = - d u s e n x

Agora vamos substituir c o s ⁡ ( x ) por u e d x por - d u s e n x na integral, fica assim:

∫ - s e n x u * - d u s e n x

A gente pode ver que podemos cortar os s e n ( x ) e, os sinais de –   se anulam.

Então ficamos com

∫ d u u = ln ⁡ u

Maaas não podemos esquecer que u = c o s ⁡ ( x ) , então nossa integral fica:

∫ A x d x = ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 4

A próxima coisa é calcular o fator integrante

I x = e ∫ A x d x

No nosso caso

I x = e ln ⁡ cos ⁡ x

Como e e l n são funções inversas, elas se anulam e o resultado é o que está dentro do l n , ou seja c o s ⁡ ( x )

I x = cos ⁡ ( x )

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral

∫ I x B ( x ) d x = ∫ cos ⁡ ( x ) sen ⁡ ( x ) d x

Vamos de novo resolver utilizando substituição

u = sen ⁡ x

d u = cos ⁡ x d x

d x = d u cos ⁡ x

Substituindo na integral temos que:

∫ cos ⁡ x * u * d u cos ⁡ x

Podemos cortar os c o s ⁡ ( x ) então ficamos com

∫ u   d u = u 2 2

Lembrando de novo que temos que voltar a substituição u = s e n x , então

∫ I x B ( x ) d x = sen 2 ⁡ x 2

Passo 6

Ufa, agora só falta colocar tudo na fórmulinha:

y x = 1 I x ∫ I x B ( x ) d x + C

y x = 1 cos ⁡ x sen 2 ⁡ x 2 + C

Lembrando que 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

y x = sec ⁡ x ( sen 2 ⁡ x 2 + C )

Como C = 2 C 2 , podemos reescrever desse jeito a função:

y x = 1 2 s e c ⁡ ( x ) ( s e n 2 x + 2 C )

Mas como C