Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva a seguinte equação exata:

e y d x + x e y - 2 y d y = 0

Passo 1

Fala aí, tudo joia? O exercício já nos falou que a EDO é exata, e ela já está no formato que a gente usa, olha só:

e y ⏟ M ( x , y ) d x + x e y - 2 y ⏟ N ( x , y ) d y = 0

Beleza, bora lá então!

Passo 2

Para resolver EDOs desse tipo, devemos integrar M x , y com relação a x :

∫ M x , y d x = ∫ e y d x

Como a integral é em relação a x , tudo o que está com y a gente considera constante, beleza?

Sendo assim, podemos tirar da integral o e y já que é uma constante:

∫ e y d x = e y ∫ d x

Resolvendo a integral, teremos:

= x e y + g ( y )

Lembra que essa g ( y ) é a função que depende de y , como se fosse nossa constante que precisamos sempre colocar depois de resolver uma integral indefinida!

Passo 3

Beleza, agora a gente vai derivar o resultato que encontramos no passo 2, mas agora em relação a y e considerando o x constante:

∂ x e y + g y ∂ y = x e y + g ' ( y )

Vamos seguir...

Passo 4

Agora a gente compara o resultado obtido no passo 3 com N ( x , y ) . Podemos igualar mesmo:

x e y + g ' y = x e y - 2 y

Daí a gente descobre que:

g ' y = - 2 y

Passo 5

Pra descobrir g y então �� só integrar g ' ( y ) , em relação a   y :

Integrando em relação a y temos:

∫ g ' y d y = ∫ - 2 y   d y

g y = - 2 y 2 2

g y =   - y 2

Passo 6

Agora vamos obter a função potencial u ( x , y ) inserindo o valor que a gente achou pra g ( y ) dentro dessa expressão aqui:

u x , y = x e y + g ( y )

u x , y =   x e y - y 2

E assim a solução final é dada implicitamente por:

u x , y = C

Então a nossa é:

x e y - y 2 = C

Prontinho! Essa é a nossa solução da EDO😊

Resposta

C = x e y - y 2

Exercício Resolvido #2

Resolva a equação diferencial.

d y d x = - x + x y 2 y + x 2 y

Passo 1

Bom. A primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem!

Multiplicando cruzado e passando tudo pro mesmo lado:

y + x 2 y d y = - x + x y 2 d x

x + x y 2 d x + y + x 2 y d y = 0

Opa, ficou com aquela cara bacana para ver se é uma EDO exata! A gente pode chamar os pedacinhos assim:

M x , y = x + x y 2

N x , y = y + x 2 y

Então:

x + x y 2 ⏟ M ( x , y ) d x + y + x 2 y ⏟ N ( x , y ) d y = 0

Passo 2

Vamos verificar se é exata!

Para ser exata, precisamos que: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Derivando M = x + x y 2 em relação a y , temos:

∂ M ∂ y = 2 x y

E derivando N = y + x 2 y em relação a x temos:

∂ N ∂ x = 2 x y

As duas derivadas parciais são iguais, então essa é uma EDO Exata!!

Passo 3

Sabendo que a EDO é exata, agora precisamos resolvê-la. E para isso vamos para o próximo passo que é integrar M x , y com relação a x :

∫ M x , y d x = ∫ x + x y 2 d x

Lembra que aqui a gente considera y constante:

∫ x + x y 2 d x = ∫ x   d x + y 2 ∫ x   d x

= x 2 2 + x 2 y 2 2 + g ( y )

Não esquece de somar essa função g ( y ) , tá bom? Ela será nossa constante de integração.

Passo 4

Continuando...

Feito isso, agora derivamos o resultado obtido no passo 2, mas agora em relação a y :

∂ ∂ y x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y

= 0 + 2 x 2 y 2 + g ' ( y )

Simplificando:

= x 2 y + g ' ( y )

Passo 5

Agora vamos comparar o resultado obtido no passo 3 com N ( x , y ) , igualando as duas:

x 2 y + g ' y = y + x 2 y

E aí encontramos:

g ' y = y

Integrando g ' ( y ) com relação a y :

g y = ∫ y   d y

g y = y 2 2

Passo 6

Agora a gente pega esse resultado de g y = y 2 2 e encaixa lá naquela expressão do passo 2 fazendo:

u x , y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y

u ( x , y ) = x 2 2 + x 2 y 2 2 + y 2 2

Passo 7

A solução é dada implicitamente por u x , y = C , então vamos igualar nossa expressão a C e prontinho!

u ( x , y ) = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2 = C

Passo 8

Resposta

C = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2

Exercício Resolvido #3

A condição necessária e suficiente para que a equação M ( x , y ) d x   +   N ( x , y ) d y   =   0 seja diferencial exata é que, sendo M e N funções contínuas e deriváveis, se tenha d M d y = d N d x .

Sendo assim, resolva a equação exata x 3 + y 2 d x + 2 x y + cos ⁡ y d y = 0

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva a equação exata:

x 3 + y 2 d x + 2 x y + cos ⁡ y d y = 0

Vamos começar definindo quem são as funções M ( x , y ) e N ( x , y ) da nossa equação.

M x , y = x 3 + y 2

N x , y = 2 x y + cos ⁡ y

x 3 + y 2 ⏟ M ( x , y ) d x + 2 x y + cos ⁡ y ⏟ N ( x , y ) d y = 0

Vamos verificar se ela é uma equação exata, vendo se temos d M d y = d N d x , como o próprio exercício nos informa...

Passo 2

Vamos derivar a função M x , y = x 3 + y 2 em relação a y , a gente considera x constante:

d M d y = 2 y

E agora vamos derivar N x , y = 2 x y + cos ⁡ y em relação a x :

d N d x = 2 y

Como encontramos d M d y = d N d x , vemos que a equação é exata!

Passo 3

O nosso próximo passo agora é integrar M em relação a x :

Para isso, começamos integrando M ( x , y ) em relação a x

∫ M x , y d x = ∫ x 3 + y 2 d x

= x 4 4 + y 2 x + g ( y )

Lembrando que essa g ( y ) apareceu porque ao derivarmos parcialmente em relação a x todos os termos que dependiam apenas de y foram tratados como constante, então na integração, temos que considerar isso.

Passo 4

Agora, devemos derivar esse resultado em função de y .

d d y x 4 4 + y 2 x + g y

= 2 x y + g ' y

Show!! Esse resultado, a gente deve comparar com a função N ( x , y ) . Igualando as duas coisas.

Passo 5

Comparando...

N x , y = 2 x y + cos ⁡ y = 2 x y + g ' y

Com isso, a gente tem que :

cos ⁡ y = g ' ( y )

E pra achar o valor de g ( y ) , vamos integrar g ' ( y ) :

g y = ∫ cos ⁡ y d y

g y = sen ⁡ y

Passo 6

Essa é a última etapa para calcularmos u ( x , y ) e assim acharmos a nossa solução.

u x , y = x 4 4 + y 2 x + g ( y )

Substituindo o valor de g y = sen ⁡ y , ficará:

u x , y = x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y

E agora igualamos isso à constante C :

x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y = C

Uhuul!! Chegamos na resposta!

Resposta

u x , y = x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y = C

Exercício Resolvido #4

Encontre uma solução para a seguinte equação exata:

3 x 2 y 3 + y 4 d x + 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 d y = 0

Passo 1

Vamos começar lembrando do que é uma equação exata. A forma geral dela é essa aqui:

M x , y d x + N x , y d y = 0

Mas ela tem uma propriedade especial, que diz que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Como o enunciado já garantiu que a equação é exata, nem precisamos conferir isso. Agora vamos ao que interessa: como a gente faz pra resolver uma EDO exata?

Passo 2

Então vamos lá, primeiro temos que identificar quem são M e N . Pra isso é só comparar as equações:

M x , y d x + N x , y d y = 0

3 x 2 y 3 + y 4 d x + 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 d y = 0

Ou seja:

M x , y = 3 x 2 y 3 + y 4 N x , y = 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3

Passo 3

Agora a gente integra M em relação a x :

∫ M x , y d x = ∫ 3 x 2 y 3 + y 4   d x

Aqui é só aplicar as regras da integração de polinômios, não esqueça de colocar a constante g y no final:

= x 3 y 3 + x y 4 + g y

Por que a constante aparece como uma função de y ? Bom, já que a gente integrou só em relação a x , a “constante” ainda tem todo o direito de depender de y .

Passo 4

Show! Agora a gente deriva essa expressão que achamos no passo anterior, mas agora em relação a y :

∂ x 3 y 3 + x y 4 + g y ∂ y =   3 x 3 y 2 + 4 x y 3 + g ' ( y )

E vamos comparar esse resultado com N x , y !

Passo 5

Temos que:

N x , y = 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3

3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 = 3 x 3 y 2 + 4 x y 3 + g ' ( y )  

Daqui tiramos que:

g ' y = y 4

Então ....

g y = ∫ y 4   d y

g y = y 5 5

Passo 6

Substituindo isso na expressão lá do Passo 3, temos:

u x , y = x 3 y 3 + x y 4 + g y

u x , y = x 3 y 3 + x y 4 + y 5 5

E por fim igualamos nossa solução a uma constante:

x 3 y 3 + x y 4 + y 5 5 = C

Prontinho! 😊

Resposta

x 3 y 3 + x y 4 + y 5 5 = C

Exercício Resolvido #5

Resolva a equação diferencial

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) y ' + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

Passo 1

Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Como não está tão claro, teremos que manipular um pouco pra ver se ela é uma EDO exata.

Vamos escrever y ' = d y d x :

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) d y d x + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

cos ⁡ x cos ⁡ y d y + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = 0

Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.

tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0

Passo 2

Agora vamos verificar se ela é exata! Pra ser exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Sendo que temos: M x ,   y = tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y e que N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y .

Derivando M   em relação a y e N em relação a x , temos:

∂ M ∂ y =   - sen ⁡ x cos ⁡ y

∂ N ∂ x = - sen ⁡ x cos ⁡ y  

Como são iguais, concluímos então que a equação é exata.

Passo 3

Agora vamos partir pra resolver a equação!

Vamos começar integrando M em relação à x

∫ tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = ∫ tg ⁡ x   d x - sen ⁡ y   ∫ sen ⁡ x   d x

= ln ⁡ s e c   x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y )

Podemos escrever:

ln ⁡ sec ⁡ x = ln ⁡ 1 cos ⁡ x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Então:

= - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y )

Passo 4

Agora a gente deriva o resultado obtido no passo 3 com relação a y , considerando x como constante:

∂ - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g y ∂ y

= cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' ( y )

Passo 5

Compare o obtido no passo 4 com N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y :

cos ⁡ x cos ⁡ y = cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' ( y )

Daí vemos que: g ' y = 0 :

E com isso:

g y = ∫ 0   d y

g y = 0

Passo 6

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o resultado obtido no passo 5 dentro da função do passo 3:

u x , y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g y

= - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + 0

= - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x

Passo 7

A solução é dada implicitamente por u x , y = C , então vamos igualar o que achamos com C :

u = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

A solução então é:

- ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Prontinho! 😊

Resposta

- ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Exercício Resolvido #6

Verifique se a equação é exata e resolva-a

2 x y - 3 y 2 x 4 d x + 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y d y = 0

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bem, ele disse que é para ver se essa equação é exata, então vamos fazer isso, e depois vamor resolver essa EDO.

A cara da equação exata é

M x , y d x + N x , y d y = 0

Então temos

M x , y = 2 x y - 3 y 2 x 4

E

N x , y = 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y

Uma EDO é exata se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver isso então...

Passo 2

Derivando M   em relação a y , consideramos x constante:

M = 2 x y - 3 y 2 x 4

M = 2 x y - 1 + 3 x 4 y 2

Usando a regra do Tombo temos:

∂ M ∂ y = - 2 x y 2 - 6 y x 4

E derivando N   em relação a x , consideramos y constante:

N = 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y

N = 2 y   x - 3 - 1 y 2 x 2 + 1 y

Usando a regra do tombo:

∂ N ∂ x = - 6 y x 4 - 2 x y 2

E acabamos de ver que esses caras são iguais, então verificamos que essa EDO é exata.

Passo 3

Agora é hora de resolvê-la!

A primeira coisa que fazemos é integrar M em relação a x ...

u x , y = ∫ M x , y d x

= ∫ 2 x y - 3 y 2 x 4 d x

= 2 y ∫ x   d x - 3 y 2 ∫ 1 x 4 d x

= 2 y x 2 2 - 3 y 2 - 1 x 3 + g ( y )

= x 2 y + y 2 x 3 + g y

Passo 4

Ok, esse u x , y será nossa solução, mas temos uma expressão g y que a gente não conhece. Para encontrá-la, vamos derivar o que achamos em relação a y , considerando x constante:

x 2 y + y 2 x 3 + g y

= x 2 y - 1 + 1 x 3 y 2 + g ( y )

∂ u ∂ y = - x 2 y 2 + 2 y x 3 + g ' y

Passo 5

Comparamos essa expressão com N x , y para encontrar a expressão da derivada:

d u d y = N x , y

2 y x 3 - x 2 y 2 + g ' y = 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y

Assim, temos:

g ' y = 1 y

Passo 6

Portanto, para encontrar a expressão de g y , integramos:

∫ g ' y d y = ∫ 1 y   d y

g y = ∫ y - 1 2   d y

g y = y - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

g y = y - 1 2 + 2 2 - 1 2 + 2 2

g y = y 1 2 1 2

g y = 2 y 1 / 2

g y = 2 y

Passo 7

A solução da nossa equação exata vai ser dada de forma implícita por

u x , y = C

Substituindo a expressão que encontramos para g y :

= x 2 y + y 2 x 3 + g y

x 2 y + y 2 x 3 + 2 y = C

Prontinho! Essa é a solução da equação😊

Resposta

y 2 x 3 + x 2 y + 2 y = C

Exercício Resolvido #7

A condição necessária e suficiente para que a equação M ( x , y ) d x   +   N ( x , y ) d y   =   0 seja diferencial exata é que, sendo M e N funções contínuas e deriváveis, se tenha d M d y = d N d x .

Resolva a equação exata x 3 + y 2 d x + 2 x y + cos ⁡ y d y = 0

Passo 1

Opaa, vamos lá! A questão quer que a gente resolva a equação exata:

x 3 + y 2 d x + 2 x y + cos ⁡ y d y = 0

Vamos começar definindo quem são as funções M ( x , y ) e N ( x , y ) da nossa equação.

M x , y = x 3 + y 2

N x , y = 2 x y + cos ⁡ y

Vamos verificar se ela é uma equação exata, vendo se temos d M d y = d N d x , como o próprio exercício nos informa...

Passo 2

Derivando a função M x , y = x 3 + y 2 em relação a y , e considerando x constante:

d M d y = 2 y

E agora derivando N x , y = 2 x y + cos ⁡ y em relação a x :

d N d x = 2 y

Como encontramos d M d y = d N d x , vemos que a equação é exata!

Passo 3

O nosso próximo passo agora é integrar M em relação a x :

Para isso, começamos integrando M ( x , y ) em relação a x

∫ M x , y d x = ∫ x 3 + y 2 d x

= x 4 4 + y 2 x + g ( y )

Lembrando que essa g ( y ) apareceu porque ao derivarmos parcialmente em relação a x toda função que dependia apenas de y foi tratada como constante, então na integração, temos que considerar isso.

Passo 4

Agora, devemos derivar esse resultado em função de y .

d x 4 4 + y 2 x + g y d y

= 2 x y + g ' y

Show!! Esse resultado, a gente deve comparar com a função N ( x , y ) .

Passo 5

Comparando...

N x , y = 2 x y + cos ⁡ y = 2 x y + g ' y

Com isso, a gente tem que :

cos ⁡ y = g ' ( y )

Então pra achar o valor de g ( y ) , vamos integrar g ' ( y ) :

g y = ∫ cos ⁡ y d y

g y = sen ⁡ y

Passo 6

Essa é a última etapa para calcularmos u ( x , y ) e assim acharmos a nossa solução.

u x , y = x 4 4 + y 2 x + g ( y )

Substituindo o valor de g y = sen ⁡ y , ficará:

u x , y = x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y

E agora igualamos isso à constante C :

x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y = C

Uhuul!! Chegamos na resposta!

Resposta

u x , y = x 4 4 + y 2 x + sen ⁡ y = C

Exercício Resolvido #8

( i ) Determine todas as funções f : I ⊂ R → R que tornam exata a equação diferencial y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

i i Considere a função f tal que f 0 = - 1 e encontre a solução geral da equação dada em ( i )

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos começar pelo item ( i ) , a EDO é a seguinte:

y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

Como o problema pediu para que ela seja uma EDO exata. Definimos como:

M x , y = y 2 sen ⁡ x

N x , y = y f ( x )

A ideia para a EDO ser exata é de que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos verificar isso então...

Passo 2

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = 2 y sen ⁡ x

Agora derivando N em relação a x :

∂ N ∂ x = y f ' x

Como não sabemos quem é a função f ( x ) , deixamos a derivada representa como f ' ( x ) mesmo!

Então pra ela ser exata, precisamos que:

y f ' x = 2 y sen ⁡ x

Isolando f ' x :

f ' x = 2 sen ⁡ x

Passo 3

Como encontramos f ' x = 2 sen ⁡ x , vamos integrar pra achar f ( x ) :

f x = ∫ 2 sen ⁡ x   d x

f x = - 2 cos ⁡ x + C

Então todas as funções dessa forma fazem com que a EDO seja exata!

Passo 4

( i i ) Substituindo a condição f 0 = - 1 na função encontrada ali em cima:

f x = - 2 cos ⁡ x + C

f 0 = - 2 cos ⁡ 0 + C = - 1

- 2 1 + C = - 1

C = - 1 + 2

C = 1

Assim:

f x = - 2 cos ⁡ x + 1

Passo 5

Substituindo isso na EDO:

y 2 sen ⁡ x d x + y ( - 2 cos ⁡ x + 1 ) d y = 0

Devemos agora solucionar essa EDO, sabemos que, ela é exata. Pra isso, vamos seguir o passo a passo de resolução de EDO exata:

Vamos integrar M em relação a x :

u x , y = ∫ M   d x = ∫ y 2 sen ⁡ x   d x

u x , y = y 2 ∫ sen ⁡ x   d x

u x , y = y 2 - cos ⁡ x + g ( y )

u x , y =   - y 2 cos ⁡ x + g ( y )

Passo 6

Agora vamos derivar essa expressão em relação a y :

∂ - y 2 cos ⁡ x + g y ∂ y

=   - 2 y cos ⁡ x + g ' ( y )

Comparando essa expressão com N :

N x , y =   ( - 2 y cos ⁡ x + y )

- 2 y cos ⁡ x + y = - 2 y cos ⁡ x + g ' ( y )

Concluímos que:

g ' y = y

Passo 7

Integrando g ' y = y , encontramos g ( y ) :

g y = ∫ y   d y

g ( y ) = y 2 2

Então substituindo g y = y 2 2 , nessa expressão aqui:

u x , y =   - y 2 cos ⁡ x + g ( y )

Temos:

u x , y = - y 2 cos ⁡ x + y 2 2  

E pra ficar completa, só falta igualar a uma constante agora e pronto:

- y 2 cos ⁡ x + y 2 2 = C

Passo 8

Resposta

- y 2 cos ⁡ x + y 2 2 = C

Exercício Resolvido #9

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dada.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

y 1 = 1

Passo 1

Essa equação tem muito cara de ser exata, né? Mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.

Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que

M x , y d x + N x , y d y = 0

Logo,

  M x , y = 2 y 2   x - 3  

N ( x , y ) = 2 y x 2 + 4

A função M é sempre a que multiplica d x e a função N é sempre a que multiplica d y .

Vamos ver as derivadas pra conferir se nossa equação realmente é exata.

∂ M ∂ y = 4 y x

∂ N ∂ x = 4 y x

Como ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ela é exata e podemos partir pro abraço porque agora é só aplicar o método.

Passo 2

Integrando M x , y em relação a x

∫ 2 y 2 x - 3   d x = ∫ 2 y 2 x   d x - ∫ 3 d x

Lembrando que as integrais são em relação a x ,   certo? Então o restante sai como constante

2 y 2 ∫ x   d x - 3 ∫ d x =

2 y 2 x 2 2 - 3 x + g y

Simplificando:

y 2 x 2 - 3 x + g ( y )

Passo 3

Derive o resultado obtido no passo 2 com relação a y

∂ ∂ y y 2 x 2 - 3 x + g y

Tiramos as constantes. Detalhe, derivada em relação a y . Atenção!

x 2 y 2 ' - ( 3 x ) ' + g ' y =

Lembrando que a derivada só da constante é zero. Como ( 3 x ) não tem a variável y , fica zero

2 y x 2 + g ' ( y )

Passo 4

Compare o resultado obtido no passo 3 com N ( x , y )

2 y x 2 + g ' y = 2 y x 2 + 4

g ' y = 4

Integrando acharemos g ( y )

g y = ∫ 4 d y

g y = 4 y

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o resultado obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = y 2 x 2 - 3 x + 4 y

Passo 6

Como u ( x , y ) = C , onde C é uma constante.

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = C

Show, estamos perto. Agora precisamos descobrir o valor da constante C .

Passo 7

Utilizando as informações do PVI que forma dadas no enunciado, y 1 = 1 , temos.

y = 1

x = 1

Substituindo em nossa solução:

1 2 1 2 - 3.1 + 4.1 = C

C = 2

Passo 8

Com isso, a solução é dada implicitamente pela equação

y 2 x 2 - 3 x + 4 y = 2

y 2 x 2 + 4 y - 3 x - 2 = 0

Precisamos resolver essa equação para achar y , se liga que ela é uma equação de 2 º grau onde

a = x 2

b = 4

c = - 3 x - 2

Então podemos resolver

y = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

y = - 4 ± 4 2 - 4 x 2 - 3 x - 2 2 x 2

y = - 4 ± 16 + 12 x 3 + 8 x 2 2 x 2

y = - 4 ± 4 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2

y = - 4 ± 2 4 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x 2

y = - 2 ± 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Passo 9

Temos que ver qual dos dois sinais que queremos, para isso é só usar a condição inicial, vamos ver o valor de y quando x = 1

y = - 2 ± 4 + 2 . 1 2 + 3 . 1 3 1 2 = - 2 ± 4 + 2 + 3 1 = - 2 ± 9 1 = - 2 ± 3 1

Como o valor de y = 1 neste ponto, a nossa função tem sinal positivo.

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Resposta

y = - 2 + 4 + 2 x 2 + 3 x 3 x 2

Exercício Resolvido #10

Considere as variáveis x e y relacionadas pela forma diferencial:

y e 2 x y + x d x + α x e 2 x y d y = 0

Encontre o valor de α para que o qual a equação acima seja exata.

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bem, sabemos que uma equação diferencial somente é exata se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Onde M e N são os termos da equação diferencial que acompanham d x   e d y respectivamente.

Aqui então: y e 2 x y + x d x + α x e 2 x y d y = 0

Temos:

M = y e 2 x y + x         e             N = α x e 2 x y

Basta calcular as derivadas então e ser feliz com a igualdade obtendo o α , não concorda?

Passo 2

Primeiro, calculemos aqui a derivada de M em relação a y :

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y y e 2 x y + x

Como é uma derivação em relação à y , o primeiro termo é o único que sobra, já que o segundo é apenas x considerado constante na integração com relação a y :

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y y e 2 x y  

Aplicando a regra do produto:

∂ M ∂ y = e 2 x y ∂ ∂ y y + y ∂ ∂ y e 2 x y

Ora, a derivada de y com relação à y é...

∂ M ∂ y = e 2 x y ⋅ 1 + y ∂ ∂ y e 2 x y

Para calcular essa segunda derivada, cuidado com a regra da cadeia:

∂ M ∂ y = e 2 x y ⋅ 1 + y e 2 x y ⋅ ∂ ∂ y 2 x y

∂ M ∂ y = e 2 x y ⋅ 1 + y 2 x e 2 x y

∂ M ∂ y = e 2 x y + 2 x y e 2 x y  

Logo... Colocando-se em evidência o termo da exponencial...

∂ M ∂ y = e 2 x y 1 + 2 x y

Passo 3

Agora, calculemos nesse outro passo a derivada do nosso N ...

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x α x e 2 x y

Como α é uma constante, ele pode sair da derivada:

∂ N ∂ x = α ∂ ∂ x x e 2 x y  

Aplicando-se então a regra do produto...

∂ N ∂ x = α e 2 x y ∂ ∂ x x + x ∂ ∂ x e 2 x y

∂ N ∂ x = α e 2 x y + x ∂ ∂ x e 2 x y

E a regra da cadeia...

∂ N ∂ x = α e 2 x y + x e 2 x y ⋅ 2 y

∂ N ∂ x = α e 2 x y + 2 x y e 2 x y

∂ N ∂ x = α e 2 x y 1 + 2 x y

Passo 4

Como vimos no passo 1 , essas duas derivadas que obtivemos devem ser iguais:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x  

Então vamos igualar nossos resultados:

e 2 x y 1 + 2 x y = α e 2 x y 1 + 2 x y    

Cortando os termos iguais dos dois lados, sobra:

α = 1

Então para que a equação seja exata, devemos ter α = 1 😊

Resposta

α = 1