EDOs Exatas

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Exercício nº 1 letra “e” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a equação diferencial.

d y d x = - x + x y 2 y + x 2 y

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Passo 1

Primeira coisa a fazer é ajeitar essa EDO para ver a cara que ela tem, mas da pra ver que separável não deve ser, muito difícil separar isso(Se é que é possível)!

Multiplicando cruzado e passando tudo pro mesmo lado:

x + x y 2 d x + y + x 2 y d y = 0

Opa, ficou com aquela cara bacana para ver se é uma EDO exata!

M x , y = x + x y 2 e N x , y = y + x 2 y

Para ser exata: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ M ∂ y = 2 x y

∂ N ∂ x = 2 x y

Logo é uma EDO Exata!!

Passo 2

Integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ ( x + x y 2 ) d x = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y ∂ y = x 2 y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

x 2 y + g ' y = y + x 2 y → g ' y = y

Integrando com relação a y :

g y = y 2 2

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + g y = x 2 2 + x 2 y 2 2 + y 2 2

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2 = C

Passo 7

Resposta

C = x 2 + y 2 2 + x 2 y 2 2

Exercício Resolvido #2

Exercício nº 1 letra “a” - lista 2 de Cálculo III – IME - UERJ – Profa. Paula Clemente -2014

Resolva a seguinte equação exata:

e y d x + x e y - 2 y d y = 0

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Passo 1

Vamos ver se é uma EDO exata!(Mesmo ele dizendo que é, só para treinar)

M x , y = e y e N x , y = x e y - 2 y

Para ser exata: ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

∂ M ∂ y = e y

∂ N ∂ x = e y

Logo é uma EDO Exata!!

Passo 2

Integrar M x , y com relação a x

∫ M x , y d x = ∫ e y d x = x e y + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ x e y + g y ∂ y = x e y + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

x e y + g ' y = x e y - 2 y → g ' y = - 2 y

Integrando em relação a y temos

g y = - y 2

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2  

u x , y = x e y + g y = x e y - y 2

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u ( x , y ) = x e y - y 2 = C

Resposta

C = x e y - y 2

Exercício Resolvido #3

Apostila Cálculo 2A –Prof.ª Cristiane R.R. Argento, Prof. Freddy Hernández

Resolva a equação diferencial

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) y ' + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

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Passo 1

Primeiro a gente precisa saber que tipo de equação é essa. Com essa aí temos que manipular um pouco pra ver que ela tem mesmo cara de exata.

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) d y d x + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

cos ⁡ x cos ⁡ y d y + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = 0

Agora ela já tá com cara de exata, só vou trocar as posições dos diferenciais para não nos confundirmos depois.

tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0

Agora já estamos prontos pra resolver a equação. Ou melhor a equação já está pronta pra ser resolvida huauha.

Verificando se ela é exata!

Dada tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x + cos ⁡ x cos ⁡ y d y = 0 é só olhar e ver que M x ,   y = tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y e que N x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y . Logo

∂ M ∂ y = - sen ⁡ x cos ⁡ y = ∂ N ∂ x

Concluímos então que a equação é exata.

Passo 2

Integrando M em relação à x

∫ tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y )

Lembrando que:

ln ⁡ sec ⁡ x = ln ⁡ 1 cos ⁡ x = - ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g ( y ) ∂ y = cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

cos ⁡ y cos ⁡ x + g ' y = cos ⁡ x cos ⁡ y → g ' y = 0 ∴ g y = 0

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x + g y = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x

Passo 6

A solução é dada implicitamente por u x , y = c

u = - ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Resposta

As soluções da EDO são dadas implicitamente pela equação

- ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ y cos ⁡ x = C

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2014.1, Questão 1 item b

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dadas.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

y 1 = 1

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Passo 1

Essa equação tem muito cara de ser exata, mas precisamos verificar isso antes de utilizar o método para resolver EDO’s exatas.

Para isso vamos usar o critério de Euler sabendo que M x , y = 2 y 2 x - 3 e N x , y = 2 y x 2 + 4 . A função M é sempre a que multiplica d x e a função N é sempre a que multiplica d y .

∂ M ∂ y = 4 y x

∂ N ∂ x = 4 y x

Como ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x ela é exata e podemos partir pro abraço porque o método é tranquilo né?

Passo 2

Integrando M x , y em relação a x

∫ 2 y 2 x - 3   d x = 2 y 2 x 2 2 - 3 x + g y = y 2 x 2 - 3 x + g ( y )

Passo 3

Derive o obtido no passo 2 com relação a y

∂ y 2 x 2 - 3 x + g ( y ) ∂ y = 2 y x 2 + g ' ( y )

Passo 4

Compare o obtido no passo 3 com N ( x , y )

2 y x 2 + g ' y = 2 y x 2 + 4 → g ' y = 4 ∴ g y = 4 y

Passo 5

Obtenha a função u ( x , y ) inserindo o obtido no passo 4 dentro da função do passo 2

u x , y = y 2 x 2 - 3 x + 4 y