Modelagem de EDOs

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Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma cultura de bactérias começa com 500   bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Após 2 horas existem 8000 bactérias na amostra. Em 4 horas serão:

  1. 250000 bactérias
  2. 16000 bactérias
  3. 128000 bactérias
  4. 100000 bactérias
  5. 32000 bactérias

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

A questão deu para gente uma relação entre um valor e a taxa de variação dele. Isso é o mesmo que uma relação entre uma função e a derivada dela, o que é uma equação diferencial!

Então a gente precisa montar uma EDO e resolvê-la usando os dados do enunciado.

Então, sendo a quantidade de bactérias y t ,   após t horas, pelo enunciado a gente tem que:

y 0 = 500 (quantidade inicial)

y 2 = 8000 (quantidade após duas horas)

Com isso a gente consegue achar y 4 . Vem comigo!

Passo 2

Ele diz que a taxa de variação da quantidade de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias. A gente sabe que taxa de variação é dada pela derivada, logo temos que:

d y d t = k y

Onde esse k é uma constante de proporcionalidade, tranquilo?

Passo 3

Essa equação é típica de um problema de modelagem de crescimento populacional. Ela é separável e a solução dela é da forma:

y ( t ) = C e k t

(sim, é bom ter essa solução gravada pra facilitar as coisas😊)

Passo 4

Agora a gente precisa descobrir esse C e esse k .

Vamos usar aquelas informações do enunciado:

y 0 = 500 ,     y 2 = 8000

Usando a primeira informação:

y ( t ) = C e k t

y 0 = C e k ⋅ 0 = 500

C ⋅ e 0 = 500

C ⋅ 1 = 500

C = 500

Show! Já achamos nosso C ! Vamos achar nosso k agora😉

Passo 5

Seguindo na mesma equação:

y ( t ) = C e k t

Só que agora já podemos reescrever como:

y t = 500 e k t

Substituindo a condição:     y 2 = 8000 :

y 2 = 500 e 2 k = 8000

E resolvendo a equação:

500 e 2 k 500 = 8000 500

e 2 k = 16

Pra achar aquele k ali, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados pra eliminar essa exponencial, beleza?

Passo 6

Vamos lá:

ln ⁡ e 2 k = ln ⁡ 16

E olha que legal, com isso aquele e pode sair dali, porque: ln ⁡ e x = x :

2 k = ln ⁡ 16

k = ln ⁡ 16 2

E achamos nosso k ! Nossa equação então é:

y t = 500   e ln ⁡ 16 2   t

Passo 7

Com y t , podemos achar y ( 4 ) , apenas substituindo o t = 4 :

y 4 = 500   e ln ⁡ 16 2   4

= 500   e 2 ln ⁡ 16

Vamos usar umas propriedades de logaritmos para fazer essa conta:

y 4 = 500   e 2 ln ⁡ 16

Esse 2 que está na frente do ln ⁡ 16 pode ir para dentro do ln ⁡ em forma de expoente no 16 , assim:

= 500   e ln ⁡ 16 2

Como isso, poderemos cortar o e com o ln ⁡ novamente. E teremos:

= 500 ⋅ 16 2

= 128000  

Logo, a nossa resposta é a letra c. 😊

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #2

A reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) , no ponto ( x , y ) , intercepta o eixo y no ponto de ordenada x y . Determine f sabendo que f 1 = 1 .

Passo 1

Opa, reta tangente aqui também? Pois é, ela está sempre presente haha...

Vamos lá, primeiro vamos interpretar o enunciado. Nesse caso, ele fala da reta tangente. A equação da reta tangente, é dessa forma aqui, tá lembrado?

y - y 0 = m x - x 0

Com a inclinação da reta igual a m e essa reta passando pelo ponto x 0 , y 0 .

Mas calma, nós sabemos a inclinação da reta tangente, não é mesmo?

Assim:

m =   y '

Agora vamos identificar o ponto x 0 , y 0 .

Passo 2

Ele fala que essa reta intercepta o eixo y no ponto x y , então podemos escrever:

x 0 = 0 y 0 = x y

Certo?

Agora basta substituir na equação da reta tangente para resolvermos a EDO.

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

y - x y = y ' ( x - 0 )

y - x y = y ' x

Essa é uma EDO separável, então vamos separar a equação e resolver.

y - x y = y ' x

y ' = y - x y x

y ' = y 1 - x x

Passo 4

Então:

1 y y ' = 1 - x x

Assim, podemos escrever:

1 y d y = 1 - x x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 1 - x x d x

Passo 5

A primeira integral:

∫ 1 y   d y = ln ⁡ | y |

E a segunda...

∫ 1 - x x d x

= ∫ 1 x - x x   d x

= ∫ 1 x - 1   d x

= ln ⁡ | x | - x + c

Assim: ∫ 1 y d y = ∫ 1 - x x d x

ln ⁡ | y | = ln ⁡ | x | - x + c

Passo 6

Vamos isolar o y agora, aplicando exponencial dos dois lados:

e ln ⁡ y = e ln ⁡ x - x + c

y = e ln ⁡ x ⋅ e c - x

y = x ⋅ e c - x

Beleza! Encontramos nossa solução geral aqui!

Passo 7

Agora vamos encontrar o valor da constante C , pois sabemos que:

f 1 = 1

Então, substituindo aqui:

y = x ⋅ e c - x

Temos:

1 = 1 ⋅ e c - 1

ln ⁡ 1 = ln ⁡ e c - 1

0 = c - 1

Logo:

c = 1

Substituindo o valor de c em y = x ⋅ e c - x :

y = x e 1 - x

Essa é a nossa reta y = f ( x ) então:

f x = x e 1 - x

Prontinho😊

Resposta

y = f x = x e 1 - x

Exercício Resolvido #3

Uma doença rara se espalha em uma aldeia indígena de 5000 habitantes, e a taxa de variação das pessoas infectadas é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas. Inicialmente, há apenas uma pessoa infectada, porém após um dia, 200 pessoas estão infectadas. Qual alternativa é o modelo matemático apropriado para estudar a evolução dessa doença?

(a) p ' t = k p 2 5000 - p ,       p 0 = 1 ,     p 1 = 200

(b) p ' t = k p 2 5000 - p ,       p 0 = 1 ,     p 1 = 5000

(c) p ' t = 5000 p k - p ,       p ' 0 = 0 ,     p 1 = 200

(d) p ' t = 5000 p k - p 2 ,       p 0 = 200 ,     p 1 = 200

(e) Nenhuma das outras opções

Passo 1

E aí, beleza?

Vamos chamar de p ( t ) a quantidade de pessoas infectadas em função dos dias, show?

O enunciado diz que “inicialmente, há apenas uma pessoa infectada”. Esse “inicialmente” é o dia zero, então quando t = 0 , p t = 1 . Ou seja,

p 0 = 1

Ok, vamos caminhar...

Passo 2

Ele também diz que “após um dia, 200 pessoas estão infectadas”. Seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que:

p 1 = 200

Só assim, já eliminamos algumas alternativas! :D

Passo 3

Beleza, agora vamos tentar achar a expressão de p ' ( t ) , que é a taxa de variação das pessoas infectadas em função do tempo.

E o enunciado fala que essa taxa “é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas”. Vamos traduzir isso pra matemática?

Em um dia t , o número de infectados é p ( t ) . E o número de não infectados, nada mais é que a população total menos o número de infectados!

A população total é fixa em 5000 pessoas, então o número de não infectados é 5000 - p ( t ) . Certo?

Passo 4

Além disso, o quadrado da quantidade de pessoas infectadas, pode ser escrito como:

p t 2

Então como a taxa é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas, temos que:

p ' ( t ) é proporcional a p t 2 ⋅ ( 5000 - p t )

Sendo k uma constante de proporcionalidade, obtemos

p ' t = k p t 2 5000 - p t

ou simplesmente

p ' t = k p 2 5000 - p

Juntando essas informações, chegamos na alternativa (a) 😉

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #4

A taxa com que o vírus da gripe "C" se espalha em uma comunidade é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. No início da prova de Cálculo II, em uma sala com 60 alunos, haviam 3 alunos gripados e 2 horas depois 35 alunos estavam contaminados. Seja p ( t ) o número de pessoas gripadas após t minutos e k ≥ 0 . O modelo matemático que melhor representa este problema é:

(a) d p d t = k p 60 - p ,     p 0 = 3 ,     p 120 = 35 .

(b) d p d t = k 3 60 - p ,     p 0 = 0 .

(c) d p d t = k 35 60 - p ,     p 0 = 3 .

(d) d p d t = k p 35 - p ,     p 0 = 3 .

(e) d p d t = k 35 60 - p ,     p 0 = 3 ,     p 120 = 35 .

Passo 1

Opa! Tudo joia?

Ele deu muita informação, então vamos organizar tudo pra não embolar:

  • p ( t ) é o número de alunos gripados após t minutos
  • temos 60 alunos na sala
  • no começo tínhamos 3 alunos gripados
  • depois de 2 horas já eram 35 contaminados
  • a taxa com que o vírus se espalha é proporcional a i n f e c t a d o s × n ã o   i n f e c t a d o s

Beleza, agora vamos ver o que tiramos disso!

Passo 2

No começo, ou seja, quando t = 0 , tinham 3 pessoas infectadas.

Logo, p 0 = 3 , certo?

E depois de 2 horas, ou seja, t = 120 minutos (perceba que t é contado em minutos), tinham 35 contaminados.

Então p 120 = 35 .

Tranquilo né? Com essas informações já eliminamos 3 alternativas!

Passo 3

Agora vamos achar a taxa de variação de infectados em relação ao tempo d p d t .

Sabemos que a taxa é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas.

O número de infectados a gente já sabe que é p . E os não infectados são simplesmente todo mundo menos os infectados. Como o total de alunos é 60 , os não infectados são:

60 - p

O número de pessoas infectadas vezes o número das não infectadas então é:

p ( 60 - p )

Passo 4

A taxa de variação d p d t é proporcional a p ( 60 - p ) .

Show! Então, sendo k uma constante de proporcionalidade, temos:

d p d t = k p ( 60 - p )

Juntando as informações que tiramos, a alternativa correta é a ( a ) 😊

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #5

Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população varia com o tempo, e que o número de indivíduos y ( t ) da mesma no instante t satisfaz a equação diferencial:

d y d t = 0,5 + t y t 5

i) Se y 0 = 1 encontre (ou estime) o instante t no qual a população dobra.

Determine se o tempo t no qual o número de indivíduos dobra dependa da população inicial.

ii) Suponha que a parcela t na equação diferencial é substituída por 2 π t , isto é, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente maior. Qual é o efeito dessa mudança no tempo de duplicação da população?

Passo 1

E aí, tudo bem? Vamos começar a resolver essa questão pelo item i).

Bom, a gente tem essa EDO aqui:

d y d t = 0,5 + t y t 5

Essa EDO é separável, já que a gente pode jogar tudo que é y para um lado e o que é x para o outro, ficando com:

d y y t = 0,5 + t 5 d t

Passo 2

Vamos começar reescrevendo essas divisões:

d y y t = d y y

E nessa parte aqui:

0,5 + t 5 d t

Podemos separar:

0,5 5 + t 5   d t

= 0,1 + t 5   d t

Jogando 0,1 para fração temos:

= 1 10 + t 5 d t

E aí ficamos com:

d y y = 1 10 + t 5 d t

Passo 3

Integrando os dois lados:

∫ d y y = ∫ 1 10 + t 5 d t

ln ⁡ y = t 10 + t 2 5 ⋅ 2 + C

ln ⁡ y = t 10 + t 2 10 + C

Para deixar o y sozinho, podemos aplicando exponencial dos dois lados da equação:

e ln ⁡ y = e t 10 + t 2 10 + C

Assim podemos cortar o ln ⁡ com o e , ficando com:

y = e t 10 + t 2 10 + C

Como no lado direito temos o expoente com somas e uma das parcelas é a constante C . Podemos abrir esses expoente em uma multiplicação de potências de bases iguais.

y = e t 10 + t 2 10 . e C

E e C é uma constante. Então ficaremos com:

y = C e t 10 + t 2 10

Considerando o | y | :

y t = ± C e t 10 + t 2 10

E prontinho! Essa é a solução geral da EDO😊

Passo 4

Agora vamos atrás de descobrir o valor de C . Como a condição inicial é y 0 = 1 , vamos substituir:

y t = ± C e t 10 + t 2 10

Como t = 0 , podemos tirar o ± :

y 0 = C e 0 10 + 0 2 10

y 0 = C e 0 = 1

y 0 = C 1 = 1

y 0 = C = 1

Agora que já sabemos que C = 1 , vamos colocar isso lá na nossa solução geral:

y t = e t 10 + t 2 10

Passo 5

O instante s no qual a população dobra é dado por

y s = 2

e 1 10 s + s 2 = 2

Então, aplicando logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ e 1 10 s + s 2 = ln ⁡ 2

1 10 s + s 2 = ln ⁡ 2

Multiplicando tudo por 10 :

s 2 + s = 10 ln ⁡ 2

Essa é uma equação de segundo grau, então vamos escrevê-la na forma:

s 2 + s - 10 ln ⁡ 2 = 0

Passo 6

Pra resolver essa equação, vamos aplicar a fórmula de Bháskara:

s = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Onde aqui a gente tem:

a = 1 ,   b = 1 ,   c = - 10 ln ⁡ 2

Substituindo:

s = - 1 ± 1 + 40 ln ⁡ 2 2  

Pegando só a raiz positiva já que não faz sentido termos um tempo negativo, ficamos com:

s = - 1 + 1 + 40 ln ⁡ 2 2  

Que representa o tempo no qual a população dobra.

Passo 7

Suponha que a população inicial é dada por

y 0 = C > 0

Então, se s c é o tempo que a população dobra, teremos:

y s c = 2 y 0

2 C = C e t 10 + t 2 10

O que implica que

2 = e t 10 + t 2 10

Portanto, s c = s não depende de C .

Passo 8

ii) Ao fazer a substituição t → 2 π t temos que

d y d t = 0,5 + 2 π t y t 5

Como já vimos na anterior:

y t = C e t 10 + 2 π t 2 10

E o tempo de duplicação fica:

s ' = - 1 2 π + 1 + 40 2 π ln ⁡ 2 2 <   - 1 + 1 + 40 ln ⁡ 2 2 = s

Portanto aumentando a variação na taxa de crescimento para 2 π t , o tempo de duplicação diminui.

Resposta

i)

s = - 1 + 1 + 40 ln ⁡ 2 2  

Não depende de C .

ii) O tempo de duplicação diminui.

Exercício Resolvido #6

Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente 3 mm e 1 h depois foi reduzido a 2 mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.

Passo 1

Opa! Vamos ver mais esse probleminha aqui!

A gota d’água evapora a uma taxa proporcional a área da superfície. Então, podemos representar a área da superfície pela relação

A t = A 0 ⋅ k t

Em que A 0 é a área da superfície no instante inicial e k é a constante de proporcionalidade a determinar.

Passo 2

Vamos começar com A 0 , de forma geral, a área da superfície de uma esfera é dada pela expressão

A = 4 π R 2

Como no caso o raio inicial é 3 mm, então:

A 0 = 4 π ⋅ 3 2 = 36 π   m m 2

Passo 3

Agora vamos para k usando os dados do problema. Considerando t em horas, para t = 1 h, o raio da gota vai ter reduzido para R = 2 mm, então temos:

A 1 = 36 π ⋅ k 1

Sendo:

A 1 = 4 π 2 2 = 16 π   m m 2

Assim, igualando as duas: 36 π k = 16 π

k = 16 π 36 π

Simplificando:

k = 4 9

E nossa expressão para área será:

A t = A 0 ⋅ k t

A t = 36 π ⋅ 4 9 t

Passo 4

Legal, encontramos a expressão para área, mas o problema quer saber do raio. Substituímos a relação, então: A t = 36 π ⋅ 4 9 t  

4 π R 2 = 36 π ⋅ 4 9 t  

Isolando o raio, teremos: R 2 = 9 4 9 t

Jogamos o quadrado para o lado direito em forma de raiz e tiramos a raiz de todos os valores:

R = 3 ⋅ 2 3 t

Prontinho! Essa é a expressão do raio em função do tempo😊

Resposta

R = 3 ⋅ 2 3 t

Exercício Resolvido #7

Suponha que no instante t = 0 , a metade de uma população de 100.000 coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de 1000 coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por 80 % da população.

Passo 1

Opa! Tudo bem? Vamos começa entendendo esse problema...

Chamemos de Q ( t ) a quantidade de coelhos infectados e P = 100.000 a população total de coelhos.

A quantidade de coelhos não infectados então é: P - Q .

A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados, e como ela é proporcional à quantidade de coelhos infectados ( Q ) , vezes a quantidade de coelhos não infectados ( P - Q ) , temos:

Q ' ( t ) = k Q ( P - Q )

Onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 2

O problema diz que a taxa inicial é 1000 coelhos por dia. Sempre que falarmos de início, é em t = 0 , beleza?

Então:

Q ' 0 = 1000

E também diz que metade da população está infectada inicialmente.

Então:

Q 0 = P 2

Com essas informações temos um PVI:

Q ' t = k Q P - Q   Q ' 0 = 1000   Q 0 = P 2 = 50.000

Passo 3

Queremos descobrir o tempo T para o qual:

Q T = 0,8 P

Ou seja, em que tempo a quantidade de coelhos infectados é igual a 80 % da população total.

Como Q ' ( 0 ) e Q ( 0 ) são conhecidos, podemos calcular a constante k substituindo seus valores na EDO:

Q ' 0 = 1000     e   Q 0 = 50.000

Q ' t = k Q P - Q

Substituindo:

Q ' 0 = k ⋅ Q 0 ⋅ P - Q 0

1000 = k ⋅ 50.000 ⋅ 100.000 - 50.000

1000 = k ⋅ 50.000 ⋅ 50.000

1000 = 2.500.000.000 k

1 = 2.500.000 k

k = 0,0000004

k = 4 ⋅ 10 - 7

Passo 4

Vamos agora encontrar a solução geral.

Colocando a derivada na forma d Q d t em vez de Q ' ( t ) e escrevendo apenas Q em vez de Q ( t ) ficamos com:

d Q d t = k Q ( P - Q )

Está ficando com uma carinha de EDO separável, não é mesmo. Vamos multiplicar cruzado:

d Q = k Q P - Q   d t

Separar tudo que tem t para o lado do d t e tudo que tem Q para o lado do d Q :

d Q Q P - Q = k   d t

E assim chegamos a nossa EDO separável! Agora é partir pra solução dela.

Passo 5

Integrando os dois lados:

∫ d Q Q P - Q = ∫ k   d t

Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:

1 Q P - Q = A Q + B P - Q

1 Q P - Q = A ( P - Q ) + B Q Q ( P - Q )

1 = A P - Q + B Q

1 = A P - A Q + B Q

1 = Q - A + B + A P

Pra isso ser uma igualdade verdadeira, precisamos que:

- A + B = 0     ( t e r m o   c o m   Q )   A P = 1   ( t e r m o   i n d e p e n d e n t e )

Passo 6

Daí, tiramos que:

A P = 1

A = 1 P

- A + B = 0

- 1 P + B = 0 → B = 1 P

Substituindo:

1 Q ( P - Q ) = 1 P Q + 1 P P - Q

⇒ 1 Q ( P - Q ) = 1 P 1 Q + 1 P - Q

Logo:

  ∫ d Q Q ( P - Q ) = ∫ 1 P 1 Q + 1 P - Q d Q = 1 P ∫ d Q Q + ∫ d Q P - Q

Passo 7

Substituindo na nossa equação lá de cima:

1 P ∫ d Q Q + ∫ d Q P - Q = ∫ k   d t

∫ d Q Q + ∫ d Q P - Q = P ∫ k   d t

A primeira e a última integral são tranquilas:

ln ⁡ Q + ∫ d Q P - Q = P k t + c

Nessa integral daí, podemos resolver por uma mudança de variável:

P - Q = x

Derivando (levando em consideração que P é constante) temos:

d x = - d Q           o u           d Q = - d x

Logo...

ln ⁡ Q + ∫ - d x x = P k t + c  

ln ⁡ Q - ln ⁡ x = P k t + c  

Como x = P - Q ...

ln ⁡ Q - ln ⁡ P - Q = P k t + c

Passo 8

Queremos isolar Q ( t ) :

Como apareceu um ln ⁡   , vamos aplicar a exponencial nos dois lados:

e ln ⁡ Q P - Q = e P k t + c

Q P - Q = e c ⋅ e P k t

Q P - Q = ± e c ⋅ e P k t

Substituindo a = ± e c , já que ambos são constantes...

Q P - Q = a e P k t

Multiplica cruzado:

Q = a P e P k t - a Q e P k t

Q 1 + a e P k t = a P e P k t

Q t = a P e P k t 1 + a e P k t

Ufaa! Isolamos Q ( t ) !

Passo 9

Vamos resolver o PVI agora, usando:

Q 0 = P 2

Substituindo t = 0 na solução geral:

Q ( 0 ) = a P e 0 1 + a e 0

Q 0 = a P 1 + a

Substituindo condição inicial:

P 2 = a P 1 + a

a 1 + a = 1 2

(Multiplica cruzado:)

2 a = 1 + a

a = 1

Substituindo valor da constante na solução geral:

Q t = P e P k t 1 + e P k t

Passo 10

Agora vamos encontrar T tal que Q T = 0,8 P :

Basta substituir Q = 0,8 P para encontrar T correspondente:

Q T = P e P k T 1 + e P k T = 0,8 P

⇒ e P k T 1 + e P k T = 0,8

e P k T = 0,8 + 0,8 e P k T

0,2 e P k T = 0,8

e P k T = 4

Aplicando logaritmo dos dois lados:

P k T = ln ⁡ 4

Substituindo valores de P e k que achamos ali em cima:

100000 ⋅ 4 ⋅ 10 - 7 ⋅ T = ln ⁡ 4

⇒ T = 25 ln ⁡ 4 ≈ 34,66   d i a s

Então em aproximadamente 35 dias o vírus terá se espalhado por 80 % da população.

Resposta

T = 25 ln ⁡ 4 ≈ 34,66

Exercício Resolvido #8

Um trenó foguete com velocidade inicial de 150 milhas/h (cerca de 241km/h) tem sua velocidade diminuída por um canal de água. Suponha que durante o processo de freagem a aceleração a é dada por a v = - μ v 2 , onde v é a velocidade e μ é uma constante.

  1. Use a relação d v d t = v ( d v d x ) para escrever a equação de movimento em função de v e de x .
  2. Se é necessária uma distância de 2000 pés (cerca de 609.6m = 0,6096 km) para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h (cerca de 24,1 km/h), determine o valor de μ .
  3. Encontre o tempo τ necessário para o trenó atingir a velocidade de 15 milhas/h.

Passo 1

Opa! Vamos ver mais essa aqui?

  1. No item (a), ele quer que a gente escreva a equação diferencial em função de v e x . Vamos botar a mão na massa.
  2. Sabemos que:

    d v d t = a t = - μ v 2

    Substuindo aqui:

    d v d t = v d v d x

    d v d t = v d v d x = - μ v 2

    d v d x = - μ v

    Essa é a equação de movimento! E essa EDO é de que tipo? Acertou se falou separável!

    Passo 2

  3. Pra acharmos o valor de μ a partir da distância temos que resolver a equação separável que encontramos na letra a.

Primeiro vamos escrevê-la da forma separável:

d v = - μ v   d x

d v v = - μ d x

Agora integramos dos dois lados:

∫ d v v = ∫ - μ d x

Passo 2

Resolvendo...

∫ d v v = ln ⁡ v

∫ - μ d x = - μ x

ln ⁡ v = - μ x + C

Onde C é uma constante que a gente adiciona por estarmos lidando com integrais indefinidas.

Aplicando exponencial dos dois lados:

e ln ⁡ v = e - μ x + C

v = e - μ x + C

Trocando a constante e - C por uma outra constante A .

v ( x ) = A e - μ x

Passo 3

Para acharmos os valores de A e de μ temos que usar as informações iniciais que ele nos dá:

v 0 = 241   k m / h

e

v 0.6096 = 24,1   k m / h

Substituindo:

v 0 = A e - μ * 0 = 241

A = 241   k m / h

v 0.6096 = 241 e - 0.6096 μ

241 e - 0.6096 μ = 24,1

e - 0.6096 μ = 1 10

Aplicando logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ e - 0.6096 μ = ln ⁡ 1 10

Podemos cortar o ln ⁡ e o e , fincando com:

- 0.6096 μ = ln ⁡ 1 10

Usando uma calculadora esperta, vamos achar:

μ = - 1 0.6096 ln ⁡ 1 10 ≅ 3.777 k m - 1

Passo 4

c) Para resolvermos essa letra temos que resolver:

d v d t = - μ v 2

Porquê? Porque ele quer relacionar velocidade e tempo e não velocidade e espaço como nos outros itens!

Escrevendo naquele formato característico de resolver equação separável e integrando de ambos os lados:

d v = - μ   v 2 d t

d v v 2 = - μ   d t

∫ d v v 2 = ∫ - μ d t

Resolvendo cada uma das integrais, teremos:

∫ d v v 2 = - 1 v

∫ - μ d t = - μ t

Igualando de novo:

- 1 v = - μ t + D

Onde D é uma constante.

Passo 5

Vamos substituir o valor da velocidade inicial, v 0 = 241   k m / h para achar D .

- 1 v = - μ t + D

- 1 241 = - μ * 0 + D

D = - 1 241  

Assim teremos:

- 1 v = - μ t + D

- 1 v = - μ t + - 1 241

- 1 v = - 241 μ t 241 - 1 241

v t = 241 241 μ t + 1 ,     μ = 3.777 k m - 1

Passo 6

Calculando τ tal que v τ = 24,1   k m / h

v τ = 241 241 μ τ + 1 = 24,1      

241 = 241 μ τ + 1 24,1  

241 24,1 = 241 μ τ + 1

10 = 241 μ τ + 1

10 - 1 = 241 μ τ  

τ = 9 241 μ = 0.009887   h

Transformando em segundos...

= 35.594 s

Esse é o tempo necessário😊

Resposta

a) d v d x = - μ v

b)

μ = - 3.777 k m - 1

c)

τ = 35.594 s

Exercício Resolvido #9

Uma tigela de sopa sai do aparelho de micro-ondas a 80 ℃ e é levada para uma sala onde a temperatura é de 25 ℃ . A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. Sabemos também que esta sopa esfria a uma taxa de 1 ℃ por minuto quando sua temperatura é de 60 ℃ :

Escreva a equação diferencial que expressa a lei de resfriamento de Newton nesta situação particular.

Passo 1

E aí, tudo joia?

a) Vamos com calma, você não precisa saber a lei de resfriamento de Newton. Vamos encontra-la através do Cálculo! Repara que ele explicou direitinho como é essa lei né? Vamos entender bem essa parada.

Primeiro vamos fazer y t sendo a temperatura em do objeto.

y t = T o b j e t o

Esse t vai ser o tempo, repara que o enunciado nos dá a taxa em por minuto, assim vamos fazer t em minutos para facilitar nossa vida.

Além disso, ele disse que a lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de resfriamento é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança. “Taxa de resfriamento” quer dizer a taxa que a temperatura varia, ou seja, a derivada de y t . Assim:

y ' t = k y t - T v i z i n h a n ç a

Esse k que colocamos aí, é justamente porque ele disse que é proporcional, então ele é nossa constante de proporcionalidade.

Passo 2

Continuando...

No enunciado ele diz que a temperatura na vizinhança (aqui é a temperatura da sala) vai ser:

T v i z i n h a n ç a = 25 ℃

Substituindo ali, vamos ter a seguinte EDO para achar y :

y ' t = k y t - 25

Passo 3

Você pode olhar e achar que está certinha essa EDO né? Mas temos um k ali. Precisamos achar o seu valor. Repara que ele diz no enunciado que

“esta sopa esfria a uma taxa de 1 ℃ por minuto quando sua temperatura é de 60 ℃ :”

Isso nos diz que

y ' t = - 1 ℃ / m i n

y t = 60 ℃

A taxa vai ser - 1 porque a temperatura está diminuindo. Então vamos substituir essas informações:

y ' t = k y t - 25

- 1 = k 60 - 25

Agora temos uma equação, e basta isolarmos o k :

- 1 = 35 k

k = - 1 35   m i n - 1

Show, achamos o valor da constante de proporcionalidade. Agora vamos reescrever nossa EDO:

y ' t = - y t - 25 35

Prontinho! 😊

Resposta

y ' t = - y t - 25 35

Exercício Resolvido #10

Dois compostos químicos A e B são combinados para formar um terceiro composto C . A taxa ou velocidade da reação é proporcional à quantidade instantânea de A e B não convertida em C .

Inicialmente há 40 gramas de A e 50 gramas de B , e para cada grama de A ,   2 gramas de B são usados. É observado que 10 gramas de C são formados em 5 minutos. Qual é a quantidade remanescente de A e B depois de um longo período de tempo?

Passo 1

Olá, tudo bem?

Pra resolvermos essa questão, temos primeiro que chegar na equação da variação de C com o tempo.

Para isso temos que resolver uma equação separável que usada em problemas de misturas.

Montaremos nossa fórmula a partir da quantidade inicial dos reagentes ( A   e   B ) , que foi consumida pra formar o produto ( C ) . A reação nos diz que precisamos do dobro de B para cada quantidade de A :

A + B = C A = 2 B

Escrevendo A   e   B em função de C , teremos:

A = 2 3 C ,     B = 1 3 C

Passo 2

A quantidade de A   e   B não convertida em C , é dada por:

A - 2 3 C B - 1 3 C

E temos que a taxa de variação é proporcional a isso, então:

d C d t = k A - 2 3 C B - 1 3 C

Como inicialmente temos A = 40   e   B = 50 , substituímos:

d C d t = k 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C

Passo 3

Vamos escrever essa equação naquele formato de resolução de equação separável que já estamos acostumados, colocando tudo que tem C para a esquerda e o que tem t para a direita:

d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = k d t

Integrando o lado esquerdo, vamos utilizar aquele método das frações parciais.

1 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = A 50 - 1 3 C + B 40 - 2 3 C

1 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = A 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C + B 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Cortando os denominadores e fazendo a distributiva:

1 = 40 A - 2 A C 3 + 50 B - B C 3

0 C + 1 = - 2 A C 3 - B C 3 C + 40 A + 50 B

Passo 4

Igualando os coeficientes correspondentes:

Disso obtemos o sistema.

1 = 40 A + 50 B

0 = 2 A + B

Da segunda temos:

B = - 2 A

Substituindo na primeira:

1 = 40 A + 50 ( - 2 A )

1 = 40 A - 100 A

A = - 1 60

E então temos:

B = - 2 - 1 60

B = 1 30

Passo 5

Substituimos os valores encontrados de A e B , e partiremos para a integral:

∫ d C 40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = ∫ - 1 60 50 - 1 3 C d C + ∫ 1 30 40 - 2 3 C d C

Para resolver essa primeira integral do lado direito, podemos pensar em uma mudança de variável...

∫ - 1 60 50 - 1 3 C d C =   - 1 60 ∫ 1 50 - 1 3 C d C

50 - 1 3 C = x      

d x = - 1 3 d C         o u         d C = - 3 d x

Substituindo:

- 1 60 ∫ - 3 d x x

= 3 60 ∫ d x x

= 1 20 ln ⁡ x

E voltando para C :

= 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C

Passo 6

A segunda agora:

∫ 1 30 40 - 2 3 C d C = 1 30 ∫ 1 40 - 2 3 C   d C

Da mesma forma, aqui podemos fazer a substituição:

40 - 2 3 C = x      

d x = - 2 3 d C         o u         d C = - 3 2 d x

Substuindo:

1 30 ∫ - 3 2 d x x

= 1 30 ⋅ - 3 2 ∫ d x x

=   - 3 60 ln ⁡ x

Voltando para C :

=   - 1 20 ln ⁡ 40 - 2 3 C

Passo 7

Juntando as duas agora:

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C - 1 20 ln ⁡ 40 - 2 3 C

Usando a propriedade da subtração de logaritmo:

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = 1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Passo 8

Integrando o lado direito:

∫ k d t = k t + D

Igualando os dois lados da equação vamos ter:

∫ d C   40 - 2 3 C 50 - 1 3 C = ∫ k d t

1 20 ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C = k t + D

ln ⁡ 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C = 20 k t + 20 D

Aplicando logaritmo dos dois lados:

e 20 k t + D = 50 - 1 3 C 40 - 2 3 C

Passo 9

Vamos juntar as frações ali em cima:

50 - 1 3 C

= 150 3 - 1 3 C

= 150 - C 3

e

40 - 2 3 C

= 120 3 - 2 3 C

= 120 - 2 C 3

Substituindo:

e 20 k t + D = 150 - C 3 120 - 2 C 3

Cortando os 3 nos denominadores:

e 20 k t + D = 150 - C 120 - 2 C

Isolando o C agora:

C = 120 e 20 k t + D - 150   2 e 20 k t + D - 1  

Trocando e 20 D por uma nova contante E para facilitar os cálculos

C = 120 E e 20 k t - 150   2 E e 20 k t - 1

Passo 10

No problema ele diz que após 5 minutos são formados 10 gramas de C e devemos assumir também que no tempo inicial a quantidade de C é zero. Logo:

C 0 = 1 20 E e 20 k * 0 - 150   2 E e 20 k * 0 - 1 = 120 E - 150 2 E - 1 = 0

120 E - 150 = 0

120 E = 150

E = 150 120 = 5 4

Substituindo, temos:

C = 150 e 20 k t - 150   5 2 e 20 k t - 1

Passo 11

Como C 5 = 10 :

C = 150 e 100 k - 150   5 2 e 100 k - 1 = 10

25 e 100 k - 10 = 150 e 100 k - 150

140 = 125 e 100 k

ln ⁡ 140 = ln ⁡ 125 e 100 k

ln ⁡ 140   = ln ⁡ 125 + ln ⁡ e 100 k

ln ⁡ 140 = ln ⁡ 125 + 100 k

k = ln ⁡ 140 - ln ⁡ 125 100

k ≅ 0,0011 ≅ 0

Passo 12

Sabemos que a quantidade de B e A para um t tendendo ao infinito será dada pela expressão abaixo.

B = 50 - 1 3 C

A = 40 - 2 3 C

Calculemos o limite de C quando t tende ao infinito, sendo C = 150 e 100 k - 150   5 2 e 100 k - 1 :

lim t → ∞ ⁡ 150 e 20 k t - 150   5 2 e 20 k t - 1 = ∞ ∞

Aplicando a regra de L’Hospital

lim t → ∞ ⁡ C = lim t → ∞ ⁡ 3000 e 20 k t   50 e 20 k t = lim t → ∞ ⁡ 3000   50 = 60

Substituindo o valor nas expressões que temos.

B = 50 - 1 3 * 60 = 30

A = 40 - 2 3 * 60 = 0

E finalmente acabamos!

Resposta

B = 30 ,             A = 0