Modelagem de EDOs
Teoria
Módulo 1
Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Uma cultura de bactérias começa com bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Após horas existem bactérias na amostra. Em horas serão:
- bactérias
- bactérias
- bactérias
- bactérias
- bactérias
Passo 1
Fala aí, tudo joia?
A questão deu para gente uma relação entre um valor e a taxa de variação dele. Isso é o mesmo que uma relação entre uma função e a derivada dela, o que é uma equação diferencial!
Então a gente precisa montar uma EDO e resolvê-la usando os dados do enunciado.
Então, sendo a quantidade de bactérias após horas, pelo enunciado a gente tem que:
(quantidade inicial)
(quantidade após duas horas)
Com isso a gente consegue achar Vem comigo!
Passo 2
Ele diz que a taxa de variação da quantidade de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias. A gente sabe que taxa de variação é dada pela derivada, logo temos que:
Onde esse é uma constante de proporcionalidade, tranquilo?
Passo 3
Essa equação é típica de um problema de modelagem de crescimento populacional. Ela é separável e a solução dela é da forma:
(sim, é bom ter essa solução gravada pra facilitar as coisas😊)
Passo 4
Agora a gente precisa descobrir esse e esse .
Vamos usar aquelas informações do enunciado:
Usando a primeira informação:
Show! Já achamos nosso ! Vamos achar nosso agora😉
Passo 5
Seguindo na mesma equação:
Só que agora já podemos reescrever como:
Substituindo a condição::
E resolvendo a equação:
Pra achar aquele ali, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados pra eliminar essa exponencial, beleza?
Passo 6
Vamos lá:
E olha que legal, com isso aquele pode sair dali, porque: :
E achamos nosso ! Nossa equação então é:
Passo 7
Com podemos achar , apenas substituindo o :
Vamos usar umas propriedades de logaritmos para fazer essa conta:
Esse que está na frente do pode ir para dentro do em forma de expoente no , assim:
Como isso, poderemos cortar o com o novamente. E teremos:
Logo, a nossa resposta é a letra c. 😊
Resposta
Letra c
Exercício Resolvido #2
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo Vol. 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, Pg 453exercício 6
A reta tangente ao gráfico de , no ponto , intercepta o eixo no ponto de ordenada . Determine sabendo que .
Passo 1
Opa, reta tangente aqui também? Pois é, ela está sempre presente haha...
Vamos lá, primeiro vamos interpretar o enunciado. Nesse caso, ele fala da reta tangente. A equação da reta tangente, é dessa forma aqui, tá lembrado?
Com a inclinação da reta igual a e essa reta passando pelo ponto .
Mas calma, nós sabemos a inclinação da reta tangente, não é mesmo?
Assim:
Agora vamos identificar o ponto
Passo 2
Ele fala que essa reta intercepta o eixo no ponto , então podemos escrever:
Certo?
Agora basta substituir na equação da reta tangente para resolvermos a EDO.
Passo 3
Substituindo os valores encontrados:
Essa é uma EDO separável, então vamos separar a equação e resolver.
Passo 4
Então:
Assim, podemos escrever:
Integrando dos dois lados:
Passo 5
A primeira integral:
E a segunda...
Assim:
Passo 6
Vamos isolar o agora, aplicando exponencial dos dois lados:
Beleza! Encontramos nossa solução geral aqui!
Passo 7
Agora vamos encontrar o valor da constante , pois sabemos que:
Então, substituindo aqui:
Temos:
Logo:
Substituindo o valor de em :
Essa é a nossa reta então:
Prontinho😊
Resposta
Exercício Resolvido #3
Fator Integrante
Uma doença rara se espalha em uma aldeia indígena de habitantes, e a taxa de variação das pessoas infectadas é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas. Inicialmente, há apenas uma pessoa infectada, porém após um dia, pessoas estão infectadas. Qual alternativa é o modelo matemático apropriado para estudar a evolução dessa doença?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das outras opções
Passo 1
E aí, beleza?
Vamos chamar de a quantidade de pessoas infectadas em função dos dias, show?
O enunciado diz que “inicialmente, há apenas uma pessoa infectada”. Esse “inicialmente” é o dia zero, então quando , . Ou seja,
Ok, vamos caminhar...
Passo 2
Ele também diz que “após um dia, pessoas estão infectadas”. Seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que:
Só assim, já eliminamos algumas alternativas! :D
Passo 3
Beleza, agora vamos tentar achar a expressão de , que é a taxa de variação das pessoas infectadas em função do tempo.
E o enunciado fala que essa taxa “é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas”. Vamos traduzir isso pra matemática?
Em um dia , o número de infectados é . E o número de não infectados, nada mais é que a população total menos o número de infectados!
A população total é fixa em pessoas, então o número de não infectados é . Certo?
Passo 4
Além disso, o quadrado da quantidade de pessoas infectadas, pode ser escrito como:
Então como a taxa é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas, temos que:
é proporcional a
Sendo uma constante de proporcionalidade, obtemos
ou simplesmente
Juntando essas informações, chegamos na alternativa (a) 😉
Resposta
Alternativa (a)
Exercício Resolvido #4
Equações Separáveis
A taxa com que o vírus da gripe "C" se espalha em uma comunidade é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. No início da prova de Cálculo II, em uma sala com 60 alunos, haviam 3 alunos gripados e 2 horas depois 35 alunos estavam contaminados. Seja o número de pessoas gripadas após minutos e . O modelo matemático que melhor representa este problema é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Opa! Tudo joia?
Ele deu muita informação, então vamos organizar tudo pra não embolar:
- é o número de alunos gripados após minutos
- temos 60 alunos na sala
- no começo tínhamos 3 alunos gripados
- depois de 2 horas já eram 35 contaminados
- a taxa com que o vírus se espalha é proporcional a
Beleza, agora vamos ver o que tiramos disso!
Passo 2
No começo, ou seja, quando , tinham 3 pessoas infectadas.
Logo, , certo?
E depois de 2 horas, ou seja, minutos (perceba que é contado em minutos), tinham 35 contaminados.
Então .
Tranquilo né? Com essas informações já eliminamos 3 alternativas!
Passo 3
Agora vamos achar a taxa de variação de infectados em relação ao tempo .
Sabemos que a taxa é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas.
O número de infectados a gente já sabe que é . E os não infectados são simplesmente todo mundo menos os infectados. Como o total de alunos é , os não infectados são:
O número de pessoas infectadas vezes o número das não infectadas então é:
Passo 4
A taxa de variação é proporcional a .
Show! Então, sendo uma constante de proporcionalidade, temos:
Juntando as informações que tiramos, a alternativa correta é a 😊
Resposta
Alternativa (a)
Exercício Resolvido #5
EDO linear de 1ª Ordem
Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população varia com o tempo, e que o número de indivíduos da mesma no instante satisfaz a equação diferencial:
i) Se encontre (ou estime) o instante no qual a população dobra.
Determine se o tempo no qual o número de indivíduos dobra dependa da população inicial.
ii) Suponha que a parcela na equação diferencial é substituída por , isto é, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente maior. Qual é o efeito dessa mudança no tempo de duplicação da população?
Passo 1
E aí, tudo bem? Vamos começar a resolver essa questão pelo item i).
Bom, a gente tem essa EDO aqui:
Essa EDO é separável, já que a gente pode jogar tudo que é para um lado e o que é para o outro, ficando com:
Passo 2
Vamos começar reescrevendo essas divisões:
E nessa parte aqui:
Podemos separar:
Jogando para fração temos:
E aí ficamos com:
Passo 3
Integrando os dois lados:
Para deixar o sozinho, podemos aplicando exponencial dos dois lados da equação:
Assim podemos cortar o com o , ficando com:
Como no lado direito temos o expoente com somas e uma das parcelas é a constante . Podemos abrir esses expoente em uma multiplicação de potências de bases iguais.
E é uma constante. Então ficaremos com:
Considerando o :
E prontinho! Essa é a solução geral da EDO😊
Passo 4
Agora vamos atrás de descobrir o valor de . Como a condição inicial é , vamos substituir:
Como , podemos tirar o :
Agora que já sabemos que , vamos colocar isso lá na nossa solução geral:
Passo 5
O instante no qual a população dobra é dado por
Então, aplicando logaritmo dos dois lados:
Multiplicando tudo por :
Essa é uma equação de segundo grau, então vamos escrevê-la na forma:
Passo 6
Pra resolver essa equação, vamos aplicar a fórmula de Bháskara:
Onde aqui a gente tem:
Substituindo:
Pegando só a raiz positiva já que não faz sentido termos um tempo negativo, ficamos com:
Que representa o tempo no qual a população dobra.
Passo 7
Suponha que a população inicial é dada por
Então, se é o tempo que a população dobra, teremos:
O que implica que
Portanto, não depende de .
Passo 8
ii) Ao fazer a substituição temos que
Como já vimos na anterior:
E o tempo de duplicação fica:
Portanto aumentando a variação na taxa de crescimento para , o tempo de duplicação diminui.
Resposta
i)
Não depende de .
ii) O tempo de duplicação diminui.
Exercício Resolvido #6
Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente mm e h depois foi reduzido a mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.
Passo 1
Opa! Vamos ver mais esse probleminha aqui!
A gota d’água evapora a uma taxa proporcional a área da superfície. Então, podemos representar a área da superfície pela relação
Em que é a área da superfície no instante inicial e é a constante de proporcionalidade a determinar.
Passo 2
Vamos começar com , de forma geral, a área da superfície de uma esfera é dada pela expressão
Como no caso o raio inicial é mm, então:
Passo 3
Agora vamos para usando os dados do problema. Considerando em horas, para h, o raio da gota vai ter reduzido para mm, então temos:
Sendo:
Assim, igualando as duas:
Simplificando:
E nossa expressão para área será:
Passo 4
Legal, encontramos a expressão para área, mas o problema quer saber do raio. Substituímos a relação, então:
Isolando o raio, teremos:
Jogamos o quadrado para o lado direito em forma de raiz e tiramos a raiz de todos os valores:
Prontinho! Essa é a expressão do raio em função do tempo😊
Resposta
Exercício Resolvido #7
UFRJ, Cálculo 2, P1 2009.2, Questão 1
Suponha que no instante , a metade de uma população de coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por da população.
Passo 1
Opa! Tudo bem? Vamos começa entendendo esse problema...
Chamemos de a quantidade de coelhos infectados e a população total de coelhos.
A quantidade de coelhos não infectados então é: .
A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados, e como ela é proporcional à quantidade de coelhos infectados , vezes a quantidade de coelhos não infectados , temos:
Onde é a constante de proporcionalidade.
Passo 2
O problema diz que a taxa inicial é coelhos por dia. Sempre que falarmos de início, é em , beleza?
Então:
E também diz que metade da população está infectada inicialmente.
Então:
Com essas informações temos um PVI: