Modelagem de EDOs

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Teoria

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma cultura de bactérias começa com 500   bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Após 2 horas existem 8000 bactérias na amostra. Em 4 horas serão:

  1. 250000 bactérias
  2. 16000 bactérias
  3. 128000 bactérias
  4. 100000 bactérias
  5. 32000 bactérias

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

A questão deu para gente uma relação entre um valor e a taxa de variação dele. Isso é o mesmo que uma relação entre uma função e a derivada dela, o que é uma equação diferencial!

Então a gente precisa montar uma EDO e resolvê-la usando os dados do enunciado.

Então, sendo a quantidade de bactérias y t ,   após t horas, pelo enunciado a gente tem que:

y 0 = 500 (quantidade inicial)

y 2 = 8000 (quantidade após duas horas)

Com isso a gente consegue achar y 4 . Vem comigo!

Passo 2

Ele diz que a taxa de variação da quantidade de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias. A gente sabe que taxa de variação é dada pela derivada, logo temos que:

d y d t = k y

Onde esse k é uma constante de proporcionalidade, tranquilo?

Passo 3

Essa equação é típica de um problema de modelagem de crescimento populacional. Ela é separável e a solução dela é da forma:

y ( t ) = C e k t

(sim, é bom ter essa solução gravada pra facilitar as coisas😊)

Passo 4

Agora a gente precisa descobrir esse C e esse k .

Vamos usar aquelas informações do enunciado:

y 0 = 500 ,     y 2 = 8000

Usando a primeira informação:

y ( t ) = C e k t

y 0 = C e k ⋅ 0 = 500

C ⋅ e 0 = 500

C ⋅ 1 = 500

C = 500

Show! Já achamos nosso C ! Vamos achar nosso k agora😉

Passo 5

Seguindo na mesma equação:

y ( t ) = C e k t

Só que agora já podemos reescrever como:

y t = 500 e k t

Substituindo a condição:     y 2 = 8000 :

y 2 = 500 e 2 k = 8000

E resolvendo a equação:

500 e 2 k 500 = 8000 500

e 2 k = 16

Pra achar aquele k ali, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados pra eliminar essa exponencial, beleza?

Passo 6

Vamos lá:

ln ⁡ e 2 k = ln ⁡ 16

E olha que legal, com isso aquele e pode sair dali, porque: ln ⁡ e x = x :

2 k = ln ⁡ 16

k = ln ⁡ 16 2

E achamos nosso k ! Nossa equação então é:

y t = 500   e ln ⁡ 16 2   t

Passo 7

Com y t , podemos achar y ( 4 ) , apenas substituindo o t = 4 :

y 4 = 500   e ln ⁡ 16 2   4

= 500   e 2 ln ⁡ 16

Vamos usar umas propriedades de logaritmos para fazer essa conta:

y 4 = 500   e 2 ln ⁡ 16

Esse 2 que está na frente do ln ⁡ 16 pode ir para dentro do ln ⁡ em forma de expoente no 16 , assim:

= 500   e ln ⁡ 16 2

Como isso, poderemos cortar o e com o ln ⁡ novamente. E teremos:

= 500 ⋅ 16 2

= 128000  

Logo, a nossa resposta é a letra c. 😊

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #2

A reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) , no ponto ( x , y ) , intercepta o eixo y no ponto de ordenada x y . Determine f sabendo que f 1 = 1 .

Passo 1

Opa, reta tangente aqui também? Pois é, ela está sempre presente haha...

Vamos lá, primeiro vamos interpretar o enunciado. Nesse caso, ele fala da reta tangente. A equação da reta tangente, é dessa forma aqui, tá lembrado?

y - y 0 = m x - x 0

Com a inclinação da reta igual a m e essa reta passando pelo ponto x 0 , y 0 .

Mas calma, nós sabemos a inclinação da reta tangente, não é mesmo?

Assim:

m =   y '

Agora vamos identificar o ponto x 0 , y 0 .

Passo 2

Ele fala que essa reta intercepta o eixo y no ponto x y , então podemos escrever:

x 0 = 0 y 0 = x y

Certo?

Agora basta substituir na equação da reta tangente para resolvermos a EDO.

Passo 3

Substituindo os valores encontrados:

y - x y = y ' ( x - 0 )

y - x y = y ' x

Essa é uma EDO separável, então vamos separar a equação e resolver.

y - x y = y ' x

y ' = y - x y x

y ' = y 1 - x x

Passo 4

Então:

1 y y ' = 1 - x x

Assim, podemos escrever:

1 y d y = 1 - x x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 1 y d y = ∫ 1 - x x d x

Passo 5

A primeira integral:

∫ 1 y   d y = ln ⁡ | y |

E a segunda...

∫ 1 - x x d x

= ∫ 1 x - x x   d x

= ∫ 1 x - 1   d x

= ln ⁡ | x | - x + c

Assim: ∫ 1 y d y = ∫ 1 - x x d x

ln ⁡ | y | = ln ⁡ | x | - x + c

Passo 6

Vamos isolar o y agora, aplicando exponencial dos dois lados:

e ln ⁡ y = e ln ⁡ x - x + c

y = e ln ⁡ x ⋅ e c - x

y = x ⋅ e c - x

Beleza! Encontramos nossa solução geral aqui!

Passo 7

Agora vamos encontrar o valor da constante C , pois sabemos que:

f 1 = 1

Então, substituindo aqui:

y = x ⋅ e c - x

Temos:

1 = 1 ⋅ e c - 1

ln ⁡ 1 = ln ⁡ e c - 1

0 = c - 1

Logo:

c = 1

Substituindo o valor de c em y = x ⋅ e c - x :

y = x e 1 - x

Essa é a nossa reta y = f ( x ) então:

f x = x e 1 - x

Prontinho😊

Resposta

y = f x = x e 1 - x

Exercício Resolvido #3

Uma doença rara se espalha em uma aldeia indígena de 5000 habitantes, e a taxa de variação das pessoas infectadas é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas. Inicialmente, há apenas uma pessoa infectada, porém após um dia, 200 pessoas estão infectadas. Qual alternativa é o modelo matemático apropriado para estudar a evolução dessa doença?

(a) p ' t = k p 2 5000 - p ,       p 0 = 1 ,     p 1 = 200

(b) p ' t = k p 2 5000 - p ,       p 0 = 1 ,     p 1 = 5000

(c) p ' t = 5000 p k - p ,       p ' 0 = 0 ,     p 1 = 200

(d) p ' t = 5000 p k - p 2 ,       p 0 = 200 ,     p 1 = 200

(e) Nenhuma das outras opções

Passo 1

E aí, beleza?

Vamos chamar de p ( t ) a quantidade de pessoas infectadas em função dos dias, show?

O enunciado diz que “inicialmente, há apenas uma pessoa infectada”. Esse “inicialmente” é o dia zero, então quando t = 0 , p t = 1 . Ou seja,

p 0 = 1

Ok, vamos caminhar...

Passo 2

Ele também diz que “após um dia, 200 pessoas estão infectadas”. Seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que:

p 1 = 200

Só assim, já eliminamos algumas alternativas! :D

Passo 3

Beleza, agora vamos tentar achar a expressão de p ' ( t ) , que é a taxa de variação das pessoas infectadas em função do tempo.

E o enunciado fala que essa taxa “é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas”. Vamos traduzir isso pra matemática?

Em um dia t , o número de infectados é p ( t ) . E o número de não infectados, nada mais é que a população total menos o número de infectados!

A população total é fixa em 5000 pessoas, então o número de não infectados é 5000 - p ( t ) . Certo?

Passo 4

Além disso, o quadrado da quantidade de pessoas infectadas, pode ser escrito como:

p t 2

Então como a taxa é proporcional ao quadrado da quantidade de pessoas infectadas vezes a quantidade de pessoas não infectadas, temos que:

p ' ( t ) é proporcional a p t 2 ⋅ ( 5000 - p t )

Sendo k uma constante de proporcionalidade, obtemos

p ' t = k p t 2 5000 - p t

ou simplesmente

p ' t = k p 2 5000 - p

Juntando essas informações, chegamos na alternativa (a) 😉

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #4

A taxa com que o vírus da gripe "C" se espalha em uma comunidade é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas. No início da prova de Cálculo II, em uma sala com 60 alunos, haviam 3 alunos gripados e 2 horas depois 35 alunos estavam contaminados. Seja p ( t ) o número de pessoas gripadas após t minutos e k ≥ 0 . O modelo matemático que melhor representa este problema é:

(a) d p d t = k p 60 - p ,     p 0 = 3 ,     p 120 = 35 .

(b) d p d t = k 3 60 - p ,     p 0 = 0 .

(c) d p d t = k 35 60 - p ,     p 0 = 3 .

(d) d p d t = k p 35 - p ,     p 0 = 3 .

(e) d p d t = k 35 60 - p ,     p 0 = 3 ,     p 120 = 35 .

Passo 1

Opa! Tudo joia?

Ele deu muita informação, então vamos organizar tudo pra não embolar:

  • p ( t ) é o número de alunos gripados após t minutos
  • temos 60 alunos na sala
  • no começo tínhamos 3 alunos gripados
  • depois de 2 horas já eram 35 contaminados
  • a taxa com que o vírus se espalha é proporcional a i n f e c t a d o s × n ã o   i n f e c t a d o s

Beleza, agora vamos ver o que tiramos disso!

Passo 2

No começo, ou seja, quando t = 0 , tinham 3 pessoas infectadas.

Logo, p 0 = 3 , certo?

E depois de 2 horas, ou seja, t = 120 minutos (perceba que t é contado em minutos), tinham 35 contaminados.

Então p 120 = 35 .

Tranquilo né? Com essas informações já eliminamos 3 alternativas!

Passo 3

Agora vamos achar a taxa de variação de infectados em relação ao tempo d p d t .

Sabemos que a taxa é proporcional ao número de pessoas infectadas vezes o número de pessoas não infectadas.

O número de infectados a gente já sabe que é p . E os não infectados são simplesmente todo mundo menos os infectados. Como o total de alunos é 60 , os não infectados são:

60 - p

O número de pessoas infectadas vezes o número das não infectadas então é:

p ( 60 - p )

Passo 4

A taxa de variação d p d t é proporcional a p ( 60 - p ) .

Show! Então, sendo k uma constante de proporcionalidade, temos:

d p d t = k p ( 60 - p )

Juntando as informações que tiramos, a alternativa correta é a ( a ) 😊

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #5

Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população varia com o tempo, e que o número de indivíduos y ( t ) da mesma no instante t satisfaz a equação diferencial:

d y d t = 0,5 + t y t 5

i) Se y 0 = 1 encontre (ou estime) o instante t no qual a população dobra.

Determine se o tempo t no qual o número de indivíduos dobra dependa da população inicial.

ii) Suponha que a parcela t na equação diferencial é substituída por 2 π t , isto é, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente maior. Qual é o efeito dessa mudança no tempo de duplicação da população?

Passo 1

E aí, tudo bem? Vamos começar a resolver essa questão pelo item i).

Bom, a gente tem essa EDO aqui:

d y d t = 0,5 + t y t 5

Essa EDO é separável, já que a gente pode jogar tudo que é y para um lado e o que é x para o outro, ficando com:

d y y t = 0,5 + t 5 d t

Passo 2

Vamos começar reescrevendo essas divisões:

d y y t = d y y

E nessa parte aqui:

0,5 + t 5 d t

Podemos separar:

0,5 5 + t 5   d t

= 0,1 + t 5   d t

Jogando 0,1 para fração temos:

= 1 10 + t 5 d t

E aí ficamos com:

d y y = 1 10 + t 5 d t

Passo 3

Integrando os dois lados:

∫ d y y = ∫ 1 10 + t 5 d t

ln ⁡ y = t 10 + t 2 5 ⋅ 2 + C

ln ⁡ y = t 10 + t 2 10 + C

Para deixar o y sozinho, podemos aplicando exponencial dos dois lados da equação:

e ln ⁡ y = e t 10 + t 2 10 + C

Assim podemos cortar o ln ⁡ com o e , ficando com:

y = e t 10 + t 2 10 + C

Como no lado direito temos o expoente com somas e uma das parcelas é a constante C . Podemos abrir esses expoente em uma multiplicação de potências de bases iguais.

y = e t 10 + t 2 10 . e C

E e C é uma constante. Então ficaremos com:

y = C e t 10 + t 2 10

Considerando o | y | :

y t = ± C e t 10 + t 2 10

E prontinho! Essa é a solução geral da EDO😊

Passo 4

Agora vamos atrás de descobrir o valor de C . Como a condição inicial é y 0 = 1 , vamos substituir:

y t = ± C e t 10 + t 2 10

Como t = 0 , podemos tirar o ± :

y 0 = C e 0 10 + 0 2 10

y 0 = C e 0 = 1

y 0 = C 1 = 1

y 0 = C = 1

Agora que já sabemos que C = 1 , vamos colocar isso lá na nossa solução geral:

y t = e t 10 + t 2 10

Passo 5

O instante s no qual a população dobra é dado por

y s = 2

e 1 10 s + s 2 = 2

Então, aplicando logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ e 1 10 s + s 2 = ln ⁡ 2

1 10 s + s 2 = ln ⁡ 2

Multiplicando tudo por 10 :

s 2 + s = 10 ln ⁡ 2

Essa é uma equação de segundo grau, então vamos escrevê-la na forma:

s 2 + s - 10 ln ⁡ 2 = 0

Passo 6

Pra resolver essa equação, vamos aplicar a fórmula de Bháskara:

s = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Onde aqui a gente tem:

a = 1 ,   b = 1 ,   c = - 10 ln ⁡ 2

Substituindo:

s = - 1 ± 1 + 40 ln ⁡ 2 2  

Pegando só a raiz positiva já que não faz sentido termos um tempo negativo, ficamos com:

s = - 1 + 1 + 40 ln ⁡ 2 2  

Que representa o tempo no qual a população dobra.

Passo 7

Suponha que a população inicial é dada por

y 0 = C > 0

Então, se s c é o tempo que a população dobra, teremos:

y s c = 2 y 0

2 C = C e t 10 + t 2 10

O que implica que

2 = e t 10 + t 2 10

Portanto, s c = s não depende de C .

Passo 8

ii) Ao fazer a substituição t → 2 π t temos que

d y d t = 0,5 + 2 π t y t 5

Como já vimos na anterior:

y t = C e t 10 + 2 π t 2 10

E o tempo de duplicação fica:

s ' = - 1 2 π + 1 + 40 2 π ln ⁡ 2 2 <   - 1 + 1 + 40 ln ⁡ 2 2 = s

Portanto aumentando a variação na taxa de crescimento para 2 π t , o tempo de duplicação diminui.

Resposta

i)

s = - 1 + 1 + 40 ln ⁡ 2 2  

Não depende de C .

ii) O tempo de duplicação diminui.

Exercício Resolvido #6

Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente 3 mm e 1 h depois foi reduzido a 2 mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.

Passo 1

Opa! Vamos ver mais esse probleminha aqui!

A gota d’água evapora a uma taxa proporcional a área da superfície. Então, podemos representar a área da superfície pela relação

A t = A 0 ⋅ k t

Em que A 0 é a área da superfície no instante inicial e k é a constante de proporcionalidade a determinar.

Passo 2

Vamos começar com A 0 , de forma geral, a área da superfície de uma esfera é dada pela expressão

A = 4 π R 2

Como no caso o raio inicial é 3 mm, então:

A 0 = 4 π ⋅ 3 2 = 36 π   m m 2

Passo 3

Agora vamos para k usando os dados do problema. Considerando t em horas, para t = 1 h, o raio da gota vai ter reduzido para R = 2 mm, então temos:

A 1 = 36 π ⋅ k 1

Sendo:

A 1 = 4 π 2 2 = 16 π   m m 2

Assim, igualando as duas: 36 π k = 16 π

k = 16 π 36 π

Simplificando:

k = 4 9

E nossa expressão para área será:

A t = A 0 ⋅ k t

A t = 36 π ⋅ 4 9 t

Passo 4

Legal, encontramos a expressão para área, mas o problema quer saber do raio. Substituímos a relação, então: A t = 36 π ⋅ 4 9 t  

4 π R 2 = 36 π ⋅ 4 9 t  

Isolando o raio, teremos: R 2 = 9 4 9 t

Jogamos o quadrado para o lado direito em forma de raiz e tiramos a raiz de todos os valores:

R = 3 ⋅ 2 3 t

Prontinho! Essa é a expressão do raio em função do tempo😊

Resposta

R = 3 ⋅ 2 3 t

Exercício Resolvido #7

Suponha que no instante t = 0 , a metade de uma população de 100.000 coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de 1000 coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por 80 % da população.

Passo 1

Opa! Tudo bem? Vamos começa entendendo esse problema...

Chamemos de Q ( t ) a quantidade de coelhos infectados e P = 100.000 a população total de coelhos.

A quantidade de coelhos não infectados então é: P - Q .

A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados, e como ela é proporcional à quantidade de coelhos infectados ( Q ) , vezes a quantidade de coelhos não infectados ( P - Q ) , temos:

Q ' ( t ) = k Q ( P - Q )

Onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 2

O problema diz que a taxa inicial é 1000 coelhos por dia. Sempre que falarmos de início, é em t = 0 , beleza?

Então:

Q ' 0 = 1000

E também diz que metade da população está infectada inicialmente.

Então:

Q 0 = P 2

Com essas informações temos um PVI:

Q ' t = k Q P - Q   Q ' 0 = 1000   Q 0 = P 2 = 50.000