Modelagem de EDOs

Teoria Completa

Módulo 1

Opa, tudo bem? Vamos escrever uma matemática aqui embaixo: (basta apertar ‘ALT + =’ )

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Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp134-9

Considere a lei de resfriamento de Newton, d T d t = k T - T m ,   k < 0 , em que a temperatura do meio ambiente T m varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja T 1 e que a temperatura inicial do meio ambiente seja T 2 e T m = T 2 + B ( T 1 - T ) , em que B > 0 seja uma constante.

  1. Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante t .
  2. Qual é o valor limite da temperatura quando t → ∞ ?
  3. Qual o valor limite de T m quando t → ∞ ?
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Passo 1

a) Para encontrar a nossa solução temos que resolver a EDO, pra isso vamos primeiro substituir T m na nossa equação. Dessa forma.

d T d t = k ( T - T 2 - B T 1 - T )

d T d t = k ( T 1 + B - T 2 - B T 1 )

Vamos agora escrever a equação naquele formato pra resolução de equação separável.

d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = k d t

Passo 2

Vamos integrar ambos os lados e resolver cada uma das integrais indefinidas. Resolvendo a equação da esquerda

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1

Podemos ficar um pouco assustados com esse divisor gigantesco, mas temos que manter em mente que somente o T é varíavel e o resto são constantes. Lembrando que

∫ d x k x + a = ln ⁡ k x + a k

Tomando

k = 1 + B

a = - T 2 - B T 1

Temos:

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = ln ⁡ T 1 + B - T 2 - B T 1 1 + B

Passo 3

Resolvendo o lado direito da igualdade temos.

∫ k d t = k t

Igualando as duas integrais que calculamos.

∫ d T T 1 + B - T 2 - B T 1 = ∫ k d t

ln ⁡ T 1 + B - T 2 - B T 1 1 + B =   k t + C

Essa constante C que a gente adicionou foi justamente pelas constantes das integrais indefinidas que nós não colocamos lá atrás. Manipulando as equações teremos:

T = e 1 + B ( k t + C ) + T 2 + B T 1 1 + B

Você deve se lembrar daquela propriedade da exponencial que e b + a = e b e a . Vamos usar ela pra escrever essa nossa constante de uma forma mais bonita:

e 1 + B ( k t + C ) = e k t 1 + B + C 1 + B = e 1 + B k t e 1 + B C

T = e 1 + B k t e 1 + B C + T 2 + B T 1 1 + B

Chamando a constante e 1 + B C de D, temos:

T = D e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Passo 4

No inicio do problema ele diz que a temperatura inicial é igual a T 1 . Com isso temos que T 0 = T 1 . Vamos usar essa informação pra achar a constante D .

T 0 = D e 1 + B k * 0 + T 2 + B T 1 1 + B = T 1

Como e 0 = 1 .

D + T 2 + B T 1 1 + B = T 1

D = T 1 - T 2

Substituindo D na nossa equação de T .

T = ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Passo 5

b) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função T que achamos na letra a quando t → ∞ . Vamos colocar a mão na massa.

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

Vamos relembrar que lim t → ∞ ⁡ e a t = 0   quando a < 0 . Dessa forma.

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t 1 + B = 0

lim t → ∞ ⁡ ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B = T 2 + B T 1 1 + B

Passo 6

c) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função T m quando t → ∞ .

T m = T 2 + B T 1 - T

lim t → ∞ ⁡ T m = lim t → ∞ ⁡ T 2 + B T 1 - T

lim t → ∞ ⁡ T 2 + B T 1 - T = T 2 + B T 1 - B lim t → ∞ ⁡ T

Calculamos no item anterior que lim t → ∞ ⁡ T = T 2 + B T 1 1 + B .

lim t → ∞ ⁡ T m = T 2 + B T 1 - B T 2 + B T 1 1 + B = B T 1 + T 2 1 + B

Resposta

a)

T = ( T 1 - T 2 ) e 1 + B k t + T 2 + B T 1 1 + B

b)

T 2 + B T 1 1 + B

c)

B T 1 + T 2 1 + B

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Cálculo 2, P1 2009.2, Questão 1

Suponha que no instante t = 0 , a metade de uma população de 100.000 coelhos é infectada por um vírus que começa crescendo com uma taxa de 1000 coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o vírus se espalha é proporcional à quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos não infectados, determine o tempo que levará para que o vírus se espalhe por 80 % da população.

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Passo 1

Formulação do problema:

Chamemos de Q ( t ) a quantidade de coelhos infectados e P = 100.000 a população total de coelhos.

A taxa com que o vírus se espalha é a taxa com que coelhos são infectados.

Portanto:

Q ' ( t ) = k Q ( P - Q )

Onde k é uma constante.

O problema diz que a taxa inicial é 1000 coelhos por dia.

Logo:

Q ' 0 = 1000

E também diz que metade da população está infectada inicialmente.

Então:

Q 0 = P 2

Agora temos um PVI:

Q ' t = k Q P - Q   Q ' 0 = 1000   Q 0 = P 2

Queremos descobrir o tempo T para o qual:

Q T = 0,8 P

Ou seja, em que tempo a quantidade de coelhos infectados é igual a 80 % da população total.

Passo 2

Como Q ' ( 0 ) e Q ( 0 ) são conhecidos, podemos calcular a constante k substituindo na EDO:

Q ' 0 = 1000

Q ' t = k Q P - Q

⇒ Q ' 0 = k ⋅ Q 0 ⋅ P - Q 0

⇒ 1000 = k ⋅ 50.000 ⋅ 100.000 - 50.000

⇒ 1 = k ⋅ 50.000 ⋅ 50

⇒ k = 4 ⋅ 10 - 7

Passo 3

Encontrar solução geral:

Colocar a derivada na forma d Q d t em vez de Q ' ( t ) e escrever apenas Q em vez de Q ( t ) :

d Q d t = k Q ( P - Q )

Passo 4

Isolar o termo d Q d t de um lado da equação e o resto do outro:

Já está!

Passo 5

Multiplicar cruzado:

d Q = k Q P - Q   d t

Passo 6

Separar tudo que tem t para o lado do d t e tudo que tem Q para o lado do d Q :

d Q Q P - Q = k   d t

Como jogamos o termo Q ( P - Q ) para o denominador, temos que dizer que é diferente de zero:

Q P - Q = 0

⇒ Q ≠ { 0 ,   P }

Passo 7

Integrar os dois lados:

∫ d Q Q P - Q = ∫ k   d t

Para integrar o lado esquerdo da equação, precisamos desmembrar em frações parciais:

1 Q P - Q = A Q + B P - Q

⇒ 1 Q P - Q = A ( P - Q ) + B Q Q ( P - Q )

⇒ 1 Q P - Q = - A + B Q + A P Q ( P - Q )

Igualando os numeradores temos que

- A + B = 0 A P = 1